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문제 정의
- 본 연구를 통해 개발된 불연속 갤러킨 해석자의 정확도를 측정하기 위해서 엄밀해가 존재하는 Poiseuille 유동에 대한 해석을 수행하였다. Poiseuille 문제는 Fig.
- 본 연구에서는 비정렬 격자계에서 점성 유동 해석시에 고 차의 공간 정확도를 얻기 위해 불연속 갤러킨 기법을 적용한 Navier-Stokes 유동 해석자를 개발하였다. 공간 이산화를 위해서 Bassi-Rebay의 BR2 기법을 이용하여 불연속 갤러킨 공간 차분화를 수행하였고 시간 적분을 위하여 Euler 후방차분법을 이용한 내재적 시간 적분법을 구현하였다.
- 그러므로 정상해석이나 시간 스케일이 매우 큰 비정상 문제에 대해서는 높은 시간 간격을 허용할 수 있는 내재적 시간 적분법이 요구된다. 본 연구에서는 잔류항의 선형화를 통해 선형 시스템을 구축하는 Newton계열의 내재적 시간 적분법을 적용하여 보다 효율적으로 수렴된 정상해를 얻고자 한다.
제안 방법
- source항이 없는 압축성 Naiver-Stokes 방정식을 지배 방정식으로 사용한 경우에도 k-independent convergence가 성립하는지 확인하기 위해 DG 기법의 차수 k에 따른 잔류항의 수렴곡선을 비교하였다. Fig.
- 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 이용하여 이차원 원형 실린더 주위 유동을 해석하였다. 정상 유동 해석을 위하여 자유류 마하수 0.
- 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 해석자의 정확도를 측정하기 위해서 엄밀해가 존재하는 Poiseuille 유동에 대한 해석을 수행하였다. x방향의 속도성분에 대한 L2 norm 오차가 감소되는 기울기를 측정한 결과 k차 다항식의 근사해를 사용할 때 최적의 정확도인 k＋1로 오차가 감소함을 확인하였다.
- 개발한 해석자의 정확도를 측정하기 위해 Fig. 3과 같이 80, 266, 1096개의 삼각형 요소로 구성된 비정렬 격자계를 사용하여 해석을 수행하였다.
- 마지막으로 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 실제적인 익형 형상인 NACA0012 익형 주위 유동에 대해 적용하였다. 계산에 사용된 유동 조건은 자유류 마하수 0.
- 불연속 갤러킨 해석자에 대한 추가적인 검증을 위하여 평판 층류 유동에 대한 해석을 수행하여 표면 마찰 계수와 유동 속도 분포를 Blasius의 상사해와 비교하였다. 해석에 사용된 유동 조건은 자유류 마하수 0.
- 3장에서는 개발된 내재적 불연속 갤러킨 기법을 이용한 유동 해석 결과를 제시하였다. 수치 해석은 엄밀해가 존재하는 Poiseuille 유동과 Blasius 상사해가 존재하는 평판 층류 유동, 그리고 엄밀해가 존재하지 않는 이차원 원형 실린더 및 익형 주위 유동에 대해 수행하였다. 마지막으로 4장에서는 결론을 기술한다.
- 를 곱하고 유한요소 K에 대해 적분을 취하면 weak formulation을 수행할 수 있다. 여기에 적분항 중 공간항에 대해 Green 정리를 적용하고 엄밀해 U를 근사해 Uh로 대체한다. 그리고 요소 경계면에서 유속을 수치 유속 #, #, #으로 대체하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
- 175d이다. 이때 격자질에 의한 오차를 최소화하기 위하여 상하 대칭의 격자를 생성하였고 실린더 표면 격자 요소는 실제 실린더 형상을 표현하기 위하여 곡선 경계를 가지는 삼각형 요소를 사용하였다.
- 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 이용하여 이차원 원형 실린더 주위 유동을 해석하였다. 정상 유동 해석을 위하여 자유류 마하수 0.1, 레이놀즈 수 40의 유동 조건을 채택하여 해석을 수행하였다. 해석에 사용된 격자계는 Fig.
- 해석자에 대한 상세한 검증을 위하여 Blasius 상사해가 존재하는 평판 층류 유동에 대해 해석을 수행하였다. 평판의 표면 마찰 계수와 normalized wall distance η에 대한 유동 속도 분포를 Blasius 상사해와 비교하였으며, 다항식의 차수가 높아짐에 따라 수치해의 정확도가 증가하는 것을 확인할 수 있었다.
대상 데이터
- 해석에 사용된 격자계는 Fig. 14에 나타낸 바와 같이 1424개의 삼각형 요소로 구성되어 있으며 실린더의 지름을 d라고 할 때 계산 영역의 크기는 60d × 40d이고 실린더 표면에서 격자 요소의 크기는 0.175d이다.
- 불연속 갤러킨 해석자에 대한 추가적인 검증을 위하여 평판 층류 유동에 대한 해석을 수행하여 표면 마찰 계수와 유동 속도 분포를 Blasius의 상사해와 비교하였다. 해석에 사용된 유동 조건은 자유류 마하수 0.2, 레이놀즈 수 100,000 이다. Fig.
데이터처리
- 다음으로 사용한 DG 기법의 정확도에 따른 해석 결과의 차이를 확인하기 위해서 평판의 표면 마찰 계수를 Blasius 상사해와 비교하였다. 이때 Blasius 상사해는 자유류의 속도를 U∞, 동점성 계수를 ν라고 했을 때 식 (23)와 같이 나타난다.
이론/모형
- 18은 실린더 윗면에서의 압력 계수 분포와 표면 마찰 계수 분포를 Tseng[16]의 해석 결과와 비교하여 나타낸 것이다. Tseng은 실린더 표면에서 0.047d의 크기를 가지는 격자를 사용하였으며 정렬 격자계 기반의 유한체적법을 이용하여 해석을 수행하였다. 압력 계수 분포의 경우 DG[1]기법을 사용하였을 때 θ = 90°근처에서 다소 부정확한 결과를 보이나 그 이외의 고차 기법의 결과들은 기법의 차수에무관하게 Tseng의 결과와 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.
- 본 연구에서는 비정렬 격자계에서 점성 유동 해석시에 고 차의 공간 정확도를 얻기 위해 불연속 갤러킨 기법을 적용한 Navier-Stokes 유동 해석자를 개발하였다. 공간 이산화를 위해서 Bassi-Rebay의 BR2 기법을 이용하여 불연속 갤러킨 공간 차분화를 수행하였고 시간 적분을 위하여 Euler 후방차분법을 이용한 내재적 시간 적분법을 구현하였다.
- 여기서 식 (21)은 비압축성 유동의 엄밀해이므로 본 연구에서 개발한 해석자의 결과와 바로 비교하는 것은 곤란하다. 그러므로 본 해석에서는 압축성 Navier-Stokes 방정식에 점성이 일정하다는 조건과 source항을 추가하여 식 (21)이 지배방정식을 만족시키도록 하였다. 이때 추가된 source항은 다음과 같다.
- 잔류항의 수렴속도는 기법의 차수와 무관함을 확인할 수 있다. 본 연구에서 사용한 내재적 시간 적분법은 식 (19)의 좌변을 구성하고 있는 내재항과 우변을 구성하고 있는 외재항/잔류항이 동일한 정확도를 가지도록 구성되므로 동일한 격자계에서는 기법의 정확도와 무관한 수렴성(k-independent convergence)을 확보할 수 있다.
- 이러한 문제는 보조 변수를 유동 변수의 함수로 나타냄으로써 보조 변수를 소거하는 primal formulation으로 해결이 가능하다. 본 연구에서는 Bassi-Rebay가 제안한 BR2 기법[12]을 이용하여 primal formulation을 수행하였으며 보조 변수와 유동 변수의 관계 및 점성 수치 유속은 아래와 같다. 이때 비점성 수치 유속 #은 Roe의 유속 함수[13]을 사용하였다.
- 본 연구에서는 식 (16)를 n+1시간단계에서 풀이하는 완전 내재적 방법(fully implicit method)를 적용하였다. 하나의 유한 요소 K에 대해서 식 (16)의 시간항을 Euler 후방차분하면 다음과 같다.
- 최근에는 ellpitic type의 미분방정식에 대한 불연속 갤러킨 기법에 관한 연구도 진행되어 Navier-Stokes 방정식과 같이 advection과 diffusion이 동시에 존재하는 경우를 위한 다양한 불연속 갤러킨 기법이 제안되고 있다[9,10,11]. 본 연구에서는 이들 중에서 불연속 갤러킨 기법의 집적성(compactness)을 보장하고 안정성을 확보할수 있는 BR2 기법[12]을 채택하였다.
- 본 연구에서는 이차원 점성, 압축성 유동장을 모사하는 Navier-Stokes 방정식을 지배방정식으로 사용하였다. 이차원 Navier-Stokes 방정식을 공간 영역 Ω와 시간 영역 (0,T)에 대해 지수 표기법으로 표현하면 다음과 같다.
- 왼쪽과 윗면의 경계에서는 Riemann invariant를 이용한 아음속 흡입/배출 경계 조건을 사용하였고 오른쪽의 경계에서는 외삽 경계 조건(extrapolation boundary condition)을 사용하였다. 아랫면에서는 평판의 앞부분(x < 0)에서는 대칭 경계 조건(symmetry condition)을 사용하였고 평판(x ≥ 0)에서는 유동 점착 조건과 단열 조건을 사용하였다.
- )]의 행 및 열의 길이를 가진다. 이와 같이 구성된 선형 시스템은 Gauss-Seidel 기법을 이용하여 풀이되었다.
성능/효과
- Table 2는 원형 실린더의 항력 계수 값과 재순환 영역의 길이를 Tseng[16]의 2차 정확도 유한체적법 결과와 Luo[17]의3차 정확도 DG기법 결과와 비교한 것이다. DG 기법의 차수가 높아짐에 따라 항력 계수 값 및 재순환 영역의 길이가 타 연구자들의 결과와 유사한 값으로 수렴해 가는 것을 확인할 수 있다.
- 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 해석자의 정확도를 측정하기 위해서 엄밀해가 존재하는 Poiseuille 유동에 대한 해석을 수행하였다. x방향의 속도성분에 대한 L2 norm 오차가 감소되는 기울기를 측정한 결과 k차 다항식의 근사해를 사용할 때 최적의 정확도인 k＋1로 오차가 감소함을 확인하였다. 추가적으로 외재적 시간 적분법과 내재적 시간 적분법의 계산 시간을 비교함으로써 내재적 시간 적분법의 효율성을 확인하였다.
- 계산된 수치해를 Blasius 상사해와 비교해 보면 수평 방향의 속도 분포는 DG[1] 기법일 때를 제외하고 기법의 정확도 차수에 따른 차이가 적은 반면, 수직방향의 속도 분포는 기법의 차수에 따른 차이가 크게 나타나 DG[4] 기법을 사용하였을 때 Blasius 상사해와 가장 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.
- 22는 DG 기법의 차수에 따른 익형 압전 주위의 마하수 분포를 비교한 결과이다. 기법의 정확도가 증가함에 따라 수치해의 해상도가 증가하는 것을 확인할 수 있다.
- 6과 Table 1은 Nel = 266격자에 대해 외재적 시간 적분법과 내재적 시간 적분법을 각각 적용하여 해석을 수행하였을 때 해가 수렴할 때까지 소요된 iteration 수와 CPU time을 비교한 결과이다. 내재적 시간 적분법이 외재적 시간 적분법보다 큰 시간 간격을 허용함으로 인해 해석에 필요한 CPU time이 더 작은 것을 알 수 있으며, 이를 통해 내재적 시간 적분법의 효율성을 확인할 수 있다.
- 10에서도 나타난다. 또한 기법의 정확도가 높아짐에 따라 수치해가 Blasius 상사해의 값으로 수렴해 가는 것을 확인할 수 있다.
- 추가적으로 외재적 시간 적분법과 내재적 시간 적분법의 계산 시간을 비교함으로써 내재적 시간 적분법의 효율성을 확인하였다. 또한 내재적 시간 적분법의 검증을 위하여 기법의 차수에 따른 잔류항 수렴속도를 비교한 결과 k-independet convergence를 확인할 수 있었다.
- 본 연구를 통해 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 해석자는 압축성 점성 유동에 대해 비정렬 격자계에서 효율적으로 고해상도 수치해를 얻을 수 있음을 확인하였다. 추후의 연구에서는 난류 유동에 대한 해석과 움직임을 가지는 물체에 대한 비정상 해석을 수행할 예정이다.
- 압력 계수 분포의 경우 DG[1]기법을 사용하였을 때 θ = 90°근처에서 다소 부정확한 결과를 보이나 그 이외의 고차 기법의 결과들은 기법의 차수에무관하게 Tseng의 결과와 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.
- 19는 DG 기법의 차수 k에 따른 잔류항의 수렴곡선을 나타낸 것으로 평판 문제와 동일하게 DG[1] 기법의 경우에 다소 빠른 수렴속도를 보일뿐 나머지 기법들은 거의 동일한 수렴속도를 가진다. 이를 통해 곡선 경계를 가지는 격자 요소를 사용하는 경우에도 k-independent convergence를 얻을 수 있음을 확인하였다.
- 평판의 표면 마찰 계수와 normalized wall distance η에 대한 유동 속도 분포를 Blasius 상사해와 비교하였으며, 다항식의 차수가 높아짐에 따라 수치해의 정확도가 증가하는 것을 확인할 수 있었다. 추가적으로 엄밀해가 존재하지 않는 이차원 원형 실린더와 NACA0012 익형 주위의 유동에 대한 해석을 수행하여 타 연구자들의 수치 해석 결과 및 실험값과 비교를 수행한 결과 곡선 경계를 가지는 형상에 대해서도 고차 정확도 해석이 가능함을 확인하였다.
- x방향의 속도성분에 대한 L2 norm 오차가 감소되는 기울기를 측정한 결과 k차 다항식의 근사해를 사용할 때 최적의 정확도인 k＋1로 오차가 감소함을 확인하였다. 추가적으로 외재적 시간 적분법과 내재적 시간 적분법의 계산 시간을 비교함으로써 내재적 시간 적분법의 효율성을 확인하였다. 또한 내재적 시간 적분법의 검증을 위하여 기법의 차수에 따른 잔류항 수렴속도를 비교한 결과 k-independet convergence를 확인할 수 있었다.
- 평판의 표면 마찰 계수와 normalized wall distance η에 대한 유동 속도 분포를 Blasius 상사해와 비교하였으며, 다항식의 차수가 높아짐에 따라 수치해의 정확도가 증가하는 것을 확인할 수 있었다.
후속연구
- 본 연구를 통해 개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 해석자는 압축성 점성 유동에 대해 비정렬 격자계에서 효율적으로 고해상도 수치해를 얻을 수 있음을 확인하였다. 추후의 연구에서는 난류 유동에 대한 해석과 움직임을 가지는 물체에 대한 비정상 해석을 수행할 예정이다.
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