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[국내논문] 예비교사들을 대상으로 한 증명활동과 반례생성 수행결과 분석 : 수열의 극한을 중심으로
Preservice Teachers' Writing Performance Producing Proofs and Counterexamples about Limit of Sequence 원문보기

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.21 no.4, 2011년, pp.379 - 398  

이정곤 (원광대학교) ,  류희찬 (한국교원대학교)

초록
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수학교육에서 증명과 반박은 명제가 왜 참인지 혹은 거짓인지를 판별하게 해주고 거짓으로 판명된 명제를 참인 명제로 정교화하는 과정에서 중요한 요소가 된다. 그렇기에 증명활동과 반례생성 두 가지를 함께 학습하는 것은 수학을 배우는 학생들에게 주어진 명제에 내포되어 있고 함축되어 있는 의미에 대한 깊은 통찰력과 명확한 이해를 제공해 줄 수 있다. 최근 많은 논문을 통해 학생들이 수학적 증명에 어려움을 겪고 있다는 증거가 나타나고 있다. 그러나 해당 연구의 대부분은 예비교사들이 수열의 극한 부분에 대하여 증명과 반례를 생산해 내는 능력에만 초점을 맞추고 있다. 따라서 본 연구에서는 예비교사들을 대상으로 하여 수열의 극한 부분에 대한 수행결과 분석을 통하여 증명활동과 반례생성에 대한 능력정도와 접근 방법 등을 알아보고자 한다. 본 연구의 목적은 예비교사들이 반례와 증명을 생성하는 것에 대한 조사에 공헌하는 것이며 예비교사들의 증명과 반례생성 능력 그리고 수학 개념들에 대한 이해의 정도를 식별하고 확인하는 것이다. 또한, 연구를 통하여 참가자들이 주어진 명제들에 대한 답을 작성하는 것에 어려움을 겪는다는 것을 알게 되었고 이를 바탕으로 증명과 반례를 가르치고 배우는 것에 더욱 노력을 기울여야만 한다는 것을 알 수 있었다. 덧붙여, 이 연구의 분석을 통하여 현행 커리큘럼과 교육 방법에 대하여 통찰력을 제공하게 될 수 있을 것이고 예비교사들의 수학과정 학습을 향상시킬 수 있는 방향을 제시한다는 교육적 시사점을 얻을 수 있을 것이다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

In learning environment at mathematics education, prove and refute are essential abilities to demonstrate whether and why a statement is true or false. Learning proofs and counter examples within the domain of limit of sequence is important because preservice teacher encounter limit of sequence in m...

주제어

#반례   #증명   #수열의 극한  

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
수학에서 증명은 어떤 과정인가? 수학에서 증명은 합성명제에서 전제(가설 또는 가정)를 통해 유효한 추론을 끌어내고 이를 통하여 참인 결론을 얻어내는 과정이다. 즉, 수학적 증명은 정의와 명제 그리고 여러 가지 조건들을 통해서 하나의 명제의 참을 판별해내는 과정에서 필요(Tall, 1989)하며 명제의 논리를 이해하고 해당 명제가 왜 그렇게 되는지 그리고 어떻게 그러한지에 대한 통찰력과 이해를 제공해 준다(Ferrini-Mundy and Lauten, 1993 ; Tall, 1992).
Harel과 Sowder(1998)가 분류한 세 가지 증명 스키마는 무엇인가? 첫 번째 분류 범주는 귀납적 증명 스키마로서 어떻게 학생들 스스로 확인하고 이해하며 하나 혹은 다양하게 주어지는 특별한 예시들을 통하여 다른 사람에게 설명할 수 있는지를 살펴보는 것이다. 이 과정에서는 Balacheff(1988)의 순수한 경험주의(naive empiricism)와 결정적 실험(crucial experiment)의 방법이 모두 포함되도록 했다. 순수한 경험주의는 무작위로 선택된 조건들에 의한 입증방법이라 말할 수 있으며 소수의 평범한 사례로부터 그 추측이 참일 것이라고 결론짓는 단계를 말한다. 또한, 결정적 실험은 신중하고 주의 깊게 선택된 조건들에 의한 입증방법을 뜻하며 매우 특별하고 극단적인 사례를 조사하여 명백하게 일반화하는 것에 대한 가능성을 다루는 것이다. 여기에 더하여, 본 연구에서는 포괄적인 예시와 사고실험(Knuth & Eliott, 1998)이 모두 효과적으로 적용되고 참고 될 수 있도록 했고 Finlow-Bates, Lerman과 Morgan(1993), Healy와 Hoyles(2000)가 사용한 것과 비슷한 용어를 사용하여 해당 실증방법을 적용했다. 두 번째 분류 범주는 참조가 없는 기호주의 증명 스키마(non-referential symbolic proof scheme)로서 다른 증명활동 방법이나 계획을 참고하지 않은 상태로 증명활동을 진행하는 것이며 학생 스스로가 실제적인 의미와는 일관성이 전혀 없거나 거의 없는 상태에서 개인적인 기호화와 조작을 통하여 입증하는 것이다. 다시 말하면, 의미 없는 기호 조작에 의존하는 것이며 학생들이 ‘질적이거나 양적인 참고’ 없이 증명활동을 진행해 나가는 것이다(Harel & Sowder, 1998, p.250). 세 번째 분류 범주는 구조적 증명 스키마(structual proof scheme)로서 학생 스스로가 공리의 특별한 집합(Knapp, 2006, p.28)을 통하여 증명활동과 증명과정에 속해있는 정리와 정의를 깨닫게 되는 것이다.
수학의 학습에서 증명과 반박이 중요한 요소인 이유는? 수학을 학습하는데 있어서 증명과 반박은 매우 중요한 요소가 된다. 왜냐하면 주어진 명제가 참인지 혹은 거짓인지 판별할 수 있게 하고 만약 그렇다면 왜 그러한지 입증하는데 필수불가결한 요소이기 때문이다. 즉, 수학학습에서 증명활동과 반례생성 과정은 구체적인 수학적인 지식을 구축하고 수학적 개념을 명확하게 이해하도록 해주는 것이며 증명과 반례는 불가분의 관계에 있다(Lakatos, 1976).
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