[논문]가우스(1855)의 동전 한 닢

이문호

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우리 선조들은 가끔 점을 쳐서 내일이 길흉화복(吉凶禍福)을 예측했다. 오늘날에는 복권 한 장에 마음을 졸이며 대박을 기다리는 현대인들에 이르기까지, 우리 인류는 항상 확률적인 상황에 직면해 왔다. '확률'이라는 말이 개입되는 순간부터, 우리의 삶은 하나의 도박이 되는 것이다. 병원에서 질병 감염 여부를 검사할 때나 법적 증거로 DNA 유전자를 감식할 때, 거기에는 항상 '확률'적 요인이 숨어있다. 그 중심에 가우스(Carl Fredrich Gauss, 1777-1855, 독일)가 있다. EU 통합 전 독일의 10 Mark 화폐 주인공 가우스, 가우스는 독일의 자존심이다. 고대부터 인간은 무엇인가를 결정할 때 확률적 결정에 따른다. 본고에서는 가우스 확률분포의 기원을 추적 요약하였다.

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문제 정의

이는 동전을 여러 차례 던졌을 때 앞면이 나타나는 횟수를 확률분포도로부터 예견하는 것과 비슷한 작업이라고 할 수 있다. 지금부터 드무아브르의 논리를 따져가면서, 특히 실행 횟수가 매우 많아졌을 때 나타나는 현상들을 주의 깊게 살펴보기로 하자.

제안 방법

이후 1795년 괴텡겐 대학에 입학한 후 더욱 왕성한 활동을 했다. 2차 형식에 관한 상호법칙과 최소자승법을 발견했고 복소수 평면을 도입했다. 대학을 졸업하던 해인 1798년, 열여덟의 나이로 2천년 이상 관심사였던 정17각형의 작도법을 발견해내기도 했다.
가우스의 천재적 재능을 일찍 안 브룬스바이크 공(公)의 도움으로 대학입학 전까지 학업에 전념할 수 있었다. 아카데미 시절 이항정리, 산술-기하 평균, 소수론과 보데의 법칙 등을 발견하였다. 이후 1795년 괴텡겐 대학에 입학한 후 더욱 왕성한 활동을 했다.

성능/효과

이 확률을 계산하는 방법은 드무아브르가 활동하던 시대에도 이미 알려져 있었지만, 손으로 직접 계산하기에는 엄청나게 번거로운 작업이었다. 드무아브르는 계산의 편이를 위해 정규분포 곡선으로 둘러싸인 면적을 계산하였는데, 이는 특정 범위 내의 결과가 나타날 확률을(비록 근삿값이긴 하지만) 매우 빠르게 계산할 수 있는 획기적인 방법이었다. 그가 연구하던 것은 측정오차의 확률분포가 아니라 불연속 확률분포였지만, 어쨌거나 그는 이로부터 정규분포 곡선의 공식을 최초로 유도해 낸 수학자가 되었다.

핵심어

질문

논문에서 추출한 답변

정상에서 벗어난 통계자료는 편향된 자료에 따라 어떻게 나뉘는가?

그러나 동전과 주사위를 던졌을 때 모든 눈금들이 동일한 확률로 나온다는 이 간단한 원리를 마음속 깊이 새겨둔다면, 잘못된 통계자료로 인한 오류는 상당부분 극복될수 있다. 정상에서 벗어난 통계자료가 편향(Biased)된 방향에 따라 ‘비관’과 ‘낙관’이 좌우된다. 세월이 흐를수록 우리의 주변 상황을 좌우하는 확률변수들이 날이 갈수록 많아진다.

동전을 던지는 횟수가 증가함에 따라 그래프 모양은 어떻게 되는가?

동전을 던지는 횟수가 증가함에 따라, 나타날 수 있는 결과의 종류도 다양해지기 때문에 그래프는 점점 옆으로 퍼진 모양을 하게 된다. 또한 결과의 종류가 많을수록 각각에 해당되는 확률값이 작아지므로 그래프의 키는 점차 작아진다.

가우스 확률분포가 중요한 이유는?

정상에서 벗어난 통계자료가 편향(Biased)된 방향에 따라 ‘비관’과 ‘낙관’이 좌우된다. 세월이 흐를수록 우리의 주변 상황을 좌우하는 확률변수들이 날이 갈수록 많아진다. 그러므로 이들을 종합하여 어느 쪽으로도 편향되지 않은 결과를 도출해 내는 능력이 필요하다. 즉, 가우스 확률분포가 중요한 이유이다.

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