[국내논문]인체의 윤상인대의 역학적 특성 모사를 위한 섬유 강화 모델에 관한 연구 A Study of Fiber-Reinforced Material Models for the Mechanical Characteristics of Human Annulus Fibrosus원문보기
인체의 근육, 힘줄, 피부와 혈관 등은 일상생활 속에서 다양한 손상을 입는 경우가 많으므로 관심을 갖고 연구해야할 주제이다. 인체의 윤상인대의 역학적 특성을 얻기 위해서는 부족한 실험 자료를 감안하고서도 대변형뿐만 아니라 이방성 및 압축성까지 고려해야 하는 어려움이 있다. 본 연구에서는 섬유강화재료 모델을 사용하여 초탄성 재료 모델을 사용하고, 모재, 섬유 및 모재와 섬유와의 상관관계를 포함하는 에너지 함수를 도입하여 실험값과 비교하여 보았다. 윤상인대의 내부에서 2종류의 섬유는 일정한 각도를 갖고 있다고 가정하였다. 섬유강화재료 모델을 사용함에 있어서 모재에 대한 두 종류의 다른 에너지 함수를 대입하여 Neo-Hookean 재료를 사용하여 계산한 결과 및 기존에 알려진 실험결과와 비교하였으며 본 연구에서 제시된 모재에 관한 에너지 함수의 타당성을 보였다.
인체의 근육, 힘줄, 피부와 혈관 등은 일상생활 속에서 다양한 손상을 입는 경우가 많으므로 관심을 갖고 연구해야할 주제이다. 인체의 윤상인대의 역학적 특성을 얻기 위해서는 부족한 실험 자료를 감안하고서도 대변형뿐만 아니라 이방성 및 압축성까지 고려해야 하는 어려움이 있다. 본 연구에서는 섬유강화재료 모델을 사용하여 초탄성 재료 모델을 사용하고, 모재, 섬유 및 모재와 섬유와의 상관관계를 포함하는 에너지 함수를 도입하여 실험값과 비교하여 보았다. 윤상인대의 내부에서 2종류의 섬유는 일정한 각도를 갖고 있다고 가정하였다. 섬유강화재료 모델을 사용함에 있어서 모재에 대한 두 종류의 다른 에너지 함수를 대입하여 Neo-Hookean 재료를 사용하여 계산한 결과 및 기존에 알려진 실험결과와 비교하였으며 본 연구에서 제시된 모재에 관한 에너지 함수의 타당성을 보였다.
Human soft tissues, including muscles, ligaments, skin, and blood vessels, are an interesting subject because damage to them can be observed in everyday life. Besides the lack of available experimental data and the large deformation upon loading, the anisotropic and compressible nature of annulus fi...
Human soft tissues, including muscles, ligaments, skin, and blood vessels, are an interesting subject because damage to them can be observed in everyday life. Besides the lack of available experimental data and the large deformation upon loading, the anisotropic and compressible nature of annulus fibrosus makes it more difficult to find a simple material model. A fiber-reinforced hyperelastic material model is used to determine the stress-strain curves upon uniaxial loading. The energy potential function for annulus fibrosus is composed of three different parts: matrix, fibers, and matrix-fiber interaction, which accounts for the angles between two families of fibers. In this paper, two different types of energy potential function for the matrix are considered, and are inserted into the fiber-reinforced model. The calculated results are compared with the Neo-Hookean model and experimental data, and reasonable agreement is observed overall.
Human soft tissues, including muscles, ligaments, skin, and blood vessels, are an interesting subject because damage to them can be observed in everyday life. Besides the lack of available experimental data and the large deformation upon loading, the anisotropic and compressible nature of annulus fibrosus makes it more difficult to find a simple material model. A fiber-reinforced hyperelastic material model is used to determine the stress-strain curves upon uniaxial loading. The energy potential function for annulus fibrosus is composed of three different parts: matrix, fibers, and matrix-fiber interaction, which accounts for the angles between two families of fibers. In this paper, two different types of energy potential function for the matrix are considered, and are inserted into the fiber-reinforced model. The calculated results are compared with the Neo-Hookean model and experimental data, and reasonable agreement is observed overall.
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문제 정의
본 연구에서는 생체 연부 조직 중에서 척추 추간판(intervertebral disc)의 윤상 인대(annulus fibros us)에 대한 수학적 모델을 다른 연구자들이 실험에서 얻은 결과와 비교하며 타당성을 검증해 보았다. 윤상 인대에 대한 역학적 거동을 모사하기 위하여 필요한 재료 모델로서 섬유와 모재가 있는 복합체로서의 구성을 고려하고, 모재에 대한 두 가지 종류의 에너지 함수를 사용하여 전체 에너지 함수를 구성한 후 재료에 대한 구성 방정식을 유도하고 그 결과를 공개된 사체 실험 자료와 비교하여 보았다.
이번 절에서는 실험 데이터에 근거한 압축성 및 이방성의 초탄성 재료 모델에 대한 단축 인장 조건일 때의 거동을 살펴보기로 한다. 재료 모델에 사용된 물질 인자는 모재와 섬유, 그리고 모재와 섬유 간의 상호 작용의 세 부분을 순차적으로 Ebara(8)와 Elliot(9)의 데이터를 사용하여 이를 최소 자승법으로 근사하여 구하였으며 그 결과는 Table 2에 나타내었다.
본 연구에서는 2족 섬유를 포함하는 복합 재료의 성질을 갖는 인체의 윤상 인대에 대하여 에너지 모델에 대한 적합성을 보기 위한 과정을 수행하였다. 윤상 인대의 모재 부분에 대한 에너지 함수를 나타낸 식 (6)의 Ψm항에 Table 1에서 제시한 두 가지 종류의 에너지 함수를 적용하여 응력-변형률의 관계를 알아보았다.
본 연구에서는 인체의 윤상 인대에 대한 재료 모델을 사용하여 실제 실험 데이터와 비교하여 그 타당성을 검토해 보았다. 인체의 윤상 인대에 대한 재료 모델에 대하여는 여러 연구자들에 의해서 다양한 모델이 제시되고 있다.
본 연구에서는 2종 섬유를 포함한 윤상 인대 재료 모델의 타당성을 검증하기 위하여 모재 부분의 에너지 함수 Ψm를 압축성 조건으로 간주하여 하여 Neo-Hookean 재료 모델을 도입하였으며, 수식적인 정의는 다음과 같다.
가설 설정
는 사체 실험을 수행하여 20~30세의 나이를 가진 15명의 윤상 인대 시편을 사용하여 인장 하중 조건에서 실험을 진행하였다. 이때 윤상 인대에 대한 에너지 함수가 비압축성임을 가정하고, 섬유의 신장에 따른 미끄러짐 현상을 고려하였으며, 두 섬유가 이루는 각도를 60˚로 가정하여 적용하였다.
은 사체 실험을 통하여 27~72세의 나이를 가진 7명으로부터 추출된 윤상 인대 가운데서 원주방향, 축 방향, 반지름 방향의 각 위치와 형상에 따라 실험을 수행하였다. 이 때 윤상 인대의 각 판과 섬유는 서로 떨어지지 않고 완벽히 접착되었다고 가정하였으며 섬유는 오직 인장에만 영향을 받는다고 가정되었다. Lotz(10,11)는 16~38세의 나이를 가진 윤상 인대 시편 6개를 사용하여 인장 및 압축 하중의 조건에서 실험하였으며 윤상 인대의 에너지 함수를 두 가지 형태로 제시하여 원주 방향과 축 방향에 대하여 인장 하중과 압축 하중의 두 가지 조건에서 타당성을 검증하였다.
또한 섬유들은 모재에 완벽하게 접착되었으며 섬유와 모재 사이는 분리되지 않는다고 가정하였다. 여기서 모재와 섬유 간의 상호 작용은 반드시 고려해야 할 중요한 요소인데, 이는 하중이 작용될 때 두 섬유의 방향이 변하게 되어 두 섬유가 이루는 각도에 따라 재료의 성질에 미치는 영향이 달라지기 때문이다.
한편, 섬유 부분의 에너지 함수 Ψf는 섬유의 신장에 기초해 제안된 Guo(12~15)의 모델을 사용하였으며, 섬유의 압축이 변형에 미치는 영향이 없다고 가정하였다.
윤상 인대와 같은 이방성 재료의 경우 연부 조직의 적절한 거동을 나타내기 위해서 Fig. 2에서 보는 바와 같이 등방성 모재(matrix) 내에 일정한 각도를 가진 2종의 섬유를 포함한 것으로 가정하였다.
Fig. 3에서 나타낸 것처럼 초기 섬유 방향 벡터는 a0이고 단축 인장 방향에 대하여 대칭을 이루는 것으로 가정하였으며, 윤상 인대의 하중에 대한 응답은 모재, 섬유, 그리고 모재와 섬유 간의 상호 작용으로부터 시작된다고 가정하였다. 이러한 가정 하에 윤상 인대의 전체 에너지 함수는 모재, 섬유 그리고 모재와 섬유의 상호작용에 의하여 다음과 같이 세 부분의 에너지 함수로 구성된다고 보았다.
제안 방법
는 복합 재료 이론을 기반으로 한 윤상인대에 대한 에너지 함수를 제시하였으며, 수학적으로 모델링하는 과정에서 모재와 섬유간의 상호작용이 윤상 인대의 모델링에 중요한 요소임을 밝혔다. 또한 모재 부분을 Neo-Hookean 재료 모델로 가정하여 모재와 섬유 각각의 강성 변화에 따른 재료의 거동을 확인하였으며, 제시된 윤상 인대 모델에 대한 유한 요소 해석을 통하여 그 타당성을 검증하였다.
본 연구에서는 생체 연부 조직 중에서 척추 추간판(intervertebral disc)의 윤상 인대(annulus fibros us)에 대한 수학적 모델을 다른 연구자들이 실험에서 얻은 결과와 비교하며 타당성을 검증해 보았다. 윤상 인대에 대한 역학적 거동을 모사하기 위하여 필요한 재료 모델로서 섬유와 모재가 있는 복합체로서의 구성을 고려하고, 모재에 대한 두 가지 종류의 에너지 함수를 사용하여 전체 에너지 함수를 구성한 후 재료에 대한 구성 방정식을 유도하고 그 결과를 공개된 사체 실험 자료와 비교하여 보았다.
그리고 모재 섬유 간의 상호 작용 관계식을 더한 후 얻어진 물질 인자를 모두 적용하여 윤상인대의 실험 데이터에 근사하여 상호 작용에 관한 물질 인자를 모두 구하는 방법을 택하였으며 본 연구에서도 그와 같은 방식으로 진행하였다.
윤상 인대의 두 섬유는 일정한 각도를 이루고 있다고 보고되고 있는데 Fig. 2에서 보는 바와 같이 두 섬유가 이루는 각도를 2α = 120°, 2α = 60°의 두 가지 경우로 적용하였다.
Fig. 9에서 2α = 60°일 때 인장 하중이 1방향으로 주어지는 경우에 두 종류의 에너지 함수에 대한 응력-변형률의 관계를 비교하였다.
7~8에 나타내었다. 모재에 대한 에너지 함수는 유일한 것이 아니기 때문에 다른 형태 즉, 보다 간단한 형태의 에너지 함수에 대한 도입 타당성을 검토해 보는 것이 중요하다고 사료되어 본 연구에서는 모재에 대한 두 가지 종류의 에너지 함수를 도입하여 실험 데이터와 비교 분석하였다.
두 가지의 섬유를 사용한 모델에서 섬유의 방향은 하중방향의 축을 중심으로 일정한 각도를 유지하고 있다고 보았으며 내부에서 이루는 각도를 60°와 120°의 두 가지로하여 각각의 경우에 대한 역학적 거동을 분석하였다.
한편, 모재에 대한 에너지 함수의 적합성을 검증하기 위해서 본 연구에서는 다항식 형태와 지수 형태의 두 가지 다른 에너지 함수를 사용하여 윤상인대에 대한 모사를 시도하였다. 모재에 대한 두가지의 에너지 함수를 실험 데이터와 비교하였을때 근사하게 모사가 이루어짐을 알 수 있었다.
본 연구에서는 모재에 대한 2가지의 서로 다른 에너지 함수를 2족 섬유 강화 모델(two family fiber-reinforced model)에 적용하여 비교 분석하였으며, 사용된 에너지 함수의 종류로는 다항식 (polynomial) 형태와 지수(exponential) 형태로 각각의 내용은 Table 1(16)에서 보는 바와 같으며, α,β는 물질 인자(material parameter)이다.
윤상 인대의 모재 부분에 대한 에너지 함수를 나타낸 식 (6)의 Ψm항에 Table 1에서 제시한 두 가지 종류의 에너지 함수를 적용하여 응력-변형률의 관계를 알아보았다.
먼저 2α = 60°의 경우에 대하여 PK2 응력을 구하고, Fig. 3에서의 1 방향으로 단축 인장의 하중을 주었을 때 S22 = S33 = 0의 경계 조건을 적용하여 2, 3 방향의 신장률을 각각 구하였다.
이번 절에서는 실험 데이터에 근거한 압축성 및 이방성의 초탄성 재료 모델에 대한 단축 인장 조건일 때의 거동을 살펴보기로 한다. 재료 모델에 사용된 물질 인자는 모재와 섬유, 그리고 모재와 섬유 간의 상호 작용의 세 부분을 순차적으로 Ebara(8)와 Elliot(9)의 데이터를 사용하여 이를 최소 자승법으로 근사하여 구하였으며 그 결과는 Table 2에 나타내었다.
본 연구에서는 먼저 복합 재료 개념을 사용한 모델에 대한 타당성을 검토하기 위하여 모재를 NeoHookean 재료로 가정하고 계산을 수행하여 실험 자료와 비교하여 보았으며 비교적 잘 일치함을 알 수 있었다. 이는 윤상 인대가 섬유강화 복합재료의 거동과 유사하게 작동하고 있음을 암시하고 있다.
이론/모형
본 연구에서는 2종의 섬유가 포함된 모델에서 모재와 섬유 간의 상호 작용을 나타내기 위해서 Guo(15)가 제안한 모델을 사용하였으며 모재와 섬유간의 상호 작용을 고려한 불변량 x은 다음과 같이 정의한다.
윤상 인대의 모재 부분에 대한 에너지 함수를 나타낸 식 (6)의 Ψm항에 Table 1에서 제시한 두 가지 종류의 에너지 함수를 적용하여 응력-변형률의 관계를 알아보았다. 모재 부분의 에너지 식에서 필요한 물질 인자를 얻기 위하여 Table 1에서의 각 에너지 함수를 Elliott(9)의 실험 데이터에 최소자승법을 적용하여 물질 인자를 구하였으며 그 결과는 Table 3에서 주어진다. 에너지 함수에서 섬유 부분인 Ψf와 모재와 섬유 간의 상호 작용 요소인 Ψfm은 Guo(12~15)가 제안한 식 (15)와 식 (12)를 각각 사용하였으며 각 항의 물질인자는 Table 2와 같이 주어진다.
성능/효과
그러나 결과적으로는 각 에너지 함수를 모재 부분에 적용하였을 때 응력-변형률의 관계는 각각의 경향이 거의 비슷함을 알 수 있었다. Fig.
2α = 60°의 경우와 마찬가지로 각 에너지 함수를 모재 부분에 적용하였을 때 응력-변형률의 관계는 각각의 경향이 거의 비슷함을 알 수 있었다. 따라서 모재 부분의 에너지 함수는 본 연구의 2족 섬유가 포함된 재료의 모델링에서 매우 작은 영향만을 미치는 것을 알 수 있었다. 또한 섬유의 항과 모재와 섬유간의 상호 작용 요소의 항이 포함된 에너지 함수의 형태가 2족 섬유가 포함된 재료의 거동을 잘 나타냄을 알 수 있었다.
따라서 모재 부분의 에너지 함수는 본 연구의 2족 섬유가 포함된 재료의 모델링에서 매우 작은 영향만을 미치는 것을 알 수 있었다. 또한 섬유의 항과 모재와 섬유간의 상호 작용 요소의 항이 포함된 에너지 함수의 형태가 2족 섬유가 포함된 재료의 거동을 잘 나타냄을 알 수 있었다.
그러므로 실험 데이터에 근거한 모델을 만들기 위해서는 먼저 윤상인대에 대한 역학적인 거동이 파악된 후 상세한 모델링에 들어가야 한다. 본 연구에서는 최근 제안된 2종 섬유 모델을 사용하여 타당성을 검증하고 그 대안으로 2가지 종류의 다른 에너지 함수를 사용하여 재료 모델에 대한 적합성을 비교 검토하였으며 실험에서 얻어진 자료와 비교하였을 때 변형률에 대한 응력의 크기로 볼 때 3~5% 내외의 오차를 얻었다.
한편, 모재에 대한 에너지 함수의 적합성을 검증하기 위해서 본 연구에서는 다항식 형태와 지수 형태의 두 가지 다른 에너지 함수를 사용하여 윤상인대에 대한 모사를 시도하였다. 모재에 대한 두가지의 에너지 함수를 실험 데이터와 비교하였을때 근사하게 모사가 이루어짐을 알 수 있었다. 두가지의 다른 에너지 함수를 사용하였음에도 실험 데이터와 유사한 결과를 얻는 것으로 볼 때, 2종의 다른 섬유가 존재하는 재료 모델에서는 모재와 섬유 간의 상호 작용에 관한 요소가 모재 자체에 대한 에너지 함수의 차이보다 더 많은 영향을 미치는 것을 알 수 있었다.
모재에 대한 두가지의 에너지 함수를 실험 데이터와 비교하였을때 근사하게 모사가 이루어짐을 알 수 있었다. 두가지의 다른 에너지 함수를 사용하였음에도 실험 데이터와 유사한 결과를 얻는 것으로 볼 때, 2종의 다른 섬유가 존재하는 재료 모델에서는 모재와 섬유 간의 상호 작용에 관한 요소가 모재 자체에 대한 에너지 함수의 차이보다 더 많은 영향을 미치는 것을 알 수 있었다. 보다 사실적인 윤상 인대의 재료 모델링을 위해서는 모재와 섬유간의 다양한 영향을 살펴보아야 할 것으로 본다.
후속연구
두가지의 다른 에너지 함수를 사용하였음에도 실험 데이터와 유사한 결과를 얻는 것으로 볼 때, 2종의 다른 섬유가 존재하는 재료 모델에서는 모재와 섬유 간의 상호 작용에 관한 요소가 모재 자체에 대한 에너지 함수의 차이보다 더 많은 영향을 미치는 것을 알 수 있었다. 보다 사실적인 윤상 인대의 재료 모델링을 위해서는 모재와 섬유간의 다양한 영향을 살펴보아야 할 것으로 본다.
앞으로의 연구 주제로서는 수핵의 압축 및 인장에 대한 정확한 변형 형태와 내부 액체의 압력과 유동을 고려한 재료 모델에 대한 필요성이 대두되고 있으며, 추간판의 위치에 따른 하중의 영향 및 2축 방향 인장이나 압축, 또는 반복적인 하중의 영향, 전단 하중의 영향 등을 고려한 재료 모델에 대한 다각적인 연구가 필요하다고 사료된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
변형률 에너지란?
물체에 힘이 가해지면 변형으로 인하여 물체의 내부에 에너지가 저장되는데 이를 변형률 에너지라고 한다. 변형률 에너지를 변형률의 함수로 표현한 것을 에너지 함수라고 하며 초탄성 이론을 사용한 재료의 특성을 표현하는데 필수적인 요소이다.
에너지 함수란?
물체에 힘이 가해지면 변형으로 인하여 물체의 내부에 에너지가 저장되는데 이를 변형률 에너지라고 한다. 변형률 에너지를 변형률의 함수로 표현한 것을 에너지 함수라고 하며 초탄성 이론을 사용한 재료의 특성을 표현하는데 필수적인 요소이다. 물체내의 임의의 한 점 X를 초기 상태의 질점 위치라 하고, x를 변형 후 위치라 하면 변형 구배는 F= ∂x/∂X 와 같이 정의되며, 우편 Cauchy-Green 변형 텐서(right Caucy-Green deformation tensor)는 C = FT⋅F 이다.
윤상 인대에 대한 상해의 정도나 파손 현상 규명을 위해 역학적 거동을 아는 것은 매우 중요하나, 역학적 자료를 얻기 어려운 이유는?
윤상 인대에 대한 상해의 정도나 파손 현상을 규명하기 위해 역학적인 거동을 아는 것은 매우 중요하며 이에 대하여는 지속적인 관심으로 인해 많은 연구가 이루어지고 있다. 그럼에도 불구하고 인체의 일부분이라는 특성 때문에 역학적 자료를 얻기 위해서는 사체에서 시편을 추출하여 실험해야 한다는 점, 온도 및 습도의 영향이 크다는 점, 나이 및 성별에 따라 다르다는 점, 반복적인 실험이 어려운 점 등등의 많은 제약이 따르고 있다. 이러한 현실적인 제약 때문에 인간 신체의 연부 조직에 대한 역학적인 모델을 찾고 규명하는 것은 중요하다고 사료되며 이를 통하여 인체의 부분에 대한 민감한 실험 조건에 의한 제약과 비용 문제를 다소나마 완화 시킬 수 있을 것으로 생각된다.
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