[논문]Copula 함수를 이용한 이변량분포의 VaR 추정

홍종선; 이재형

doi:10.5351/kjas.2011.24.3.523

Copula 함수를 이용한 이변량분포의 VaR 추정
VaR Estimation of Multivariate Distribution Using Copula Functions 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.24 no.3, 2011년, pp.523 - 533

홍종선 (성균관대학교 통계학과) , 이재형 (성균관대학교 응용통계연구소)

초록
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위험관리수단으로 시장위험을 정확하게 측정하는 방법 중의 하나로 VaR를 선호한다. 현실생활에서는 단일분포가 아닌 두 개 이상의 다변량분포에 대한 VaR를 추정해야 하는 경우가 많다. 이런 경우에는 VaR를 추정하기 위해 다변량분포를 고려해야 한다. 본 연구는 확률변수들의 종속적 구조를 파악하고 비정규성의 특성을 갖는 다변량 분포함수를 생성하기 위하여 Copula 함수를 사용한다. 여러 산업의 수익률분포에 적합한 Clayton, Gumbel, Frank Copula 함수가 포함된 Archimedean Copula 함수를 추정하여 다변량 수익률 분포함수를 결정하고 이에 대응하는 VaR를 유도한다. 국내의 두 산업체의 자료를 실증예제로 하여 세 종류의 Copula 함수의 모수를 추정하고 이에 대응하는 이변량 분포로부터 VaR와 각각의 주변 분포의 VaR를 구한다. 실제의 VaR를 기준으로 기존 방법으로 구한 VaR와 비교 분석하여 추정의 정확성을 토론한다.

Abstract ▼ AI-Helper

Most nancial preference methods for market risk management are to estimate VaR. In many real cases, it happens to obtain the VaRs of the univariate as well as multivariate distributions based on multivariate data. Copula functions are used to explore the dependence of non-normal random variables and generate the corresponding multivariate distribution functions in this work. We estimate Archimedian Copula functions including Clayton Copula, Gumbel Copula, Frank Copula that are tted to the multivariate earning rate distribution, and then obtain their VaRs. With these Copula functions, we estimate the VaRs of both a certain integrated industry and individual industries. The parameters of three kinds of Copula functions are estimated for an illustrated stock data of two Korean industries to obtain the VaR of the bivariate distribution and those of the corresponding univariate distributions. These VaRs are compared with those obtained from other methods to discuss the accuracy of the estimations.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

그러나 이변량 VaR를 추정하는 것이 본 연구의 연구 목적이며, Copula 함수가 가지는 장점인 종속성이 반영된 VaR를 산출할 수 있다는 장점이 있다. 그러므로 본 연구는 복잡한 상호작용이 항상 존재하는 실제 금융시장의 자산들간에서 비정규성의 문제를 해결하기 위하여 Copula 함수의 적용과 이변량 분포의 VaR를 추정방법을 제안하였고 Copula 함수의 효용성을 살펴보았다.

가설 설정

1절에서의 실증예제에 대하여 아르키메디안 Copula 함수에 속하는 Clayton, Gumbel, Frank Copula 함수를 사용한다. Copula 함수의 모수를 추정하기 위하여 3절에서 제시한 calibration 방법을 사용하며, 개별 주변분포함수는 student t 분포를 가정한다. Copula 함수를 이용하여 추정한 VaR와 많이 사용하는 기존의 방법인 분산-공분산 방법으로 산출한 VaR를 비교하고자 한다.

제안 방법

3.2절에서 세 종류의 이변량 아르키메디안 Copula 함수의 다양한 분위수를 계산하여 구한 VaR와 이에 대응하는 주변 Copula 함수로부터 VaR를 산출하여 비교 분석한다.
3절에서는 Copula 함수를 이용한 수익률분포의 적합과 VaR 추정방법을 제안하는데 우선 이변량인 경우에 Copula 함수의 확률난수 추출방법과 이변량 분포로부터 VaR 그리고 이에 대응하는 단일 분포의 VaR를 추정하는 방법을 소개한다. 4절에서는 한국의 주식수익율 자료를 수집한 실증예제를 통해 세 종류의 Copula 함수의 모수를 추정하고 이에 대응하는 이변량 분포로부터 VaR와 각각의 주변 분포의 VaR를 추정하여, 실제의 VaR를 기준으로 기존의 다른 방법으로 구한 VaR들과 비교 분석한다. 마지막으로 5절에서 결론을 유도한다.
Copula 함수의 모수를 추정하기 위하여 3절에서 제시한 calibration 방법을 사용하며, 개별 주변분포함수는 student t 분포를 가정한다. Copula 함수를 이용하여 추정한 VaR와 많이 사용하는 기존의 방법인 분산-공분산 방법으로 산출한 VaR를 비교하고자 한다. 분산-공분산 방법을 사용한 이변량 VaR는 다음과 같이 추정한다 (Jorion, 1997).
본 연구에서 토론한 분산-공분산 방법과 Copula 함수를 이용하는 방법은 모두 이변량 이상의 다변량 분포에서 VaR를 추정하는 방법이며 원자료인 다변량에서 진실(true)의 VaR는 알려져 있지 않으므로 어느 방법이 우월하다고 판단하기 어렵다. 그러나 단변량 분포에서는 비교 가능함으로 4.3절에서는 이변량으로부터 주변분포를 유도한 다음 개별 VaR를 추정하고 진실 VaR와 비교분석한다.
5를 살펴보면, 세 종류의 Copula 함수를 이용하여 추정한 VaR는 진실의 VaR와 큰 차이를 보이지 않고 매우 유사함을 파악할 수 있다. 그러므로 본 연구에서 이용한 세 종류의 이변량 Copula 함수를 이용하여 VaR를 추정할 수 있다.
본 논문에서는 최근 재무 금융분야에서 활발히 응용되고 있는 Copula 함수를 이용하여 실증 예제의 수익률분포에 적합시켜 이변량 분포의 VaR를 산출하였다. 그리고 기존의 모수적 방법인 분산-공분산 방법과 비교를 통하여 Copula 함수를 이용하여 추정한 이변량 분포의 VaR의 효용성을 확인하였다. 또한 이를 바탕으로 주변분포의 VaR도 추정하여 실제분포에 적합한 정규혼합분포를 이용하여 추정한 VaR와 비교를 통해 얼마나 실제 VaR와 근사하는지를 탐색하였다.
따라서 본 연구에서는 위에서 제시한 방법을 이용하여 세 종류의 아르키메디안 Copula 함수를 이용하여 Copula 함수의 모수를 추정한 뒤, 제시한 몬테칼로 방법을 통해 다양한 분위수 1%, 2.5%, 5%, 7.5%, 10%의 VaR를 산출한다. 세 종류의 Clayton, Gumbel, Frank Copula 함수마다의 밀도함수의 특성에 따라 난수를 추출하는 과정이 각각 다르나, 난수를 추출한 후 VaR를 구하는 과정은 세가지 Copula 함수 모두 동일하다.
그리고 기존의 모수적 방법인 분산-공분산 방법과 비교를 통하여 Copula 함수를 이용하여 추정한 이변량 분포의 VaR의 효용성을 확인하였다. 또한 이를 바탕으로 주변분포의 VaR도 추정하여 실제분포에 적합한 정규혼합분포를 이용하여 추정한 VaR와 비교를 통해 얼마나 실제 VaR와 근사하는지를 탐색하였다.
본 논문에서는 최근 재무 금융분야에서 활발히 응용되고 있는 Copula 함수를 이용하여 실증 예제의 수익률분포에 적합시켜 이변량 분포의 VaR를 산출하였다. 그리고 기존의 모수적 방법인 분산-공분산 방법과 비교를 통하여 Copula 함수를 이용하여 추정한 이변량 분포의 VaR의 효용성을 확인하였다.
본 연구에서는 다변량 수익률자료에 적합한 세 종류의 아르키메디안 Copula 함수를 추정하고, 추정한 Copula 함수를 이용하여 이변량 자료의 VaR를 추정한다. Copula 함수를 이용해 VaR를 추정하면 여러 종목을 통합한 산업의 VaR를 측정할 수 있고, 추정된 VaR를 통해 투자자는 다양한 정보를 가지고 투자를 할 수 있다.
두 번째 방법은 IFM(Inference Function for Margins) 방법으로 주변확률분포의 모수와 Copula 함수의 모수를 분리하여 두 단계에 걸쳐서 추정하는 방법이다. 세 번째 방법은 CML(Canonical Maximum Likelihood) 방법으로 IFM 방법과 다른 점은 각각 주변확률분포함수에 대해 모수적 분포함수를 가정하지 않고 경험적 분포함수로 추정한 후에 Copula 함수의 모수벡터를 추정한다. 이 방법은 개별 주변확률분포의 형태를 모를 경우에 유용한 방법이 될 수 있다.
VaR를 추정하는 방법에는 세 가지의 측면으로 나누어 생각할 수 있다. 첫 번째는 모수적 방법과 비모수적 방법으로 나누고, 두 번째는 전통적인 방법과 극단치 이론(extreme value theory)을 이용한 방법으로 나눈다. 세 번째는 미래 현금흐름(cash flow)의 분포 측면에서 부분가치 평가법(local valuation)과 완전가치 평가법(full valuation)으로 나누어 볼 수 있다.
추정된 모수를 바탕으로 각각의 Copula 함수에 대하여 3.1절에서 제안한 방법으로 표본크기가 899인 확률난수를 생성하여 α가 1%, 2.5%, 5%, 7.5%, 10%일 때 C(u1α, u2α) = α를 만족하는 (u1α, u2α)를 구한다.

대상 데이터

실증분석에서 사용한 자료는 2007월 10월 1일부터 2010년 9월 30일까지 총 899개의 일일 주식 종가자료를 사용하였다. 그림 4.

이론/모형

모수적 추정법에 대해서 살펴보면 최대가능도추정법을 기반으로 세가지 방법이 있다. 첫 번째 방법은 MLE(Maximum Likelihood Method) 방법인데 Copula 함수의 모수를 주변확률분포의 모수와 함께 추정한다. 두 번째 방법은 IFM(Inference Function for Margins) 방법으로 주변확률분포의 모수와 Copula 함수의 모수를 분리하여 두 단계에 걸쳐서 추정하는 방법이다.

성능/효과

또한 각각의 α에 대한 VaR의 변동의 추이도 분산-공분산 방법보다 Copula 함수를 이용한 VaR가 안정적인 값을 갖는다는 것을 파악할 수 있다.
또한 두 분포의 정규성 검정을 실시해 본 결과 두 분포 모두 정규성을 만족하지 못하는 것으로 나타났다 (Jarque-Berra 그리고 Shapiro-Wilk 검정통계량의 p-값 ≈0).
본 논문에서 제안한 Copula 함수를 이용하여 추정한 VaR를 정규혼합분포를 이용하여 추정한 VaR와 원자료의 VaR를 비교한 결과 Copula 함수로 추정한 개별 VaR는 진실의 VaR보다 위험을 과소추정한 것으로 나타났다. 여기서 구한 단변량에 대한 VaR 추정결과를 이변량으로 확대 해석이 가능하지 않다.
즉 임계값을 산출하기 위해 적합시키려는 분포 중 어떤 것이 가장 좋은 분포인지 알아보려는 노력이 계속 논의되어 왔다. 특히 지금까지의 방법은 금융자산의 수익률에 대한 분포를 정규분포로 가정하여 VaR를 추정하는 모수적 방법에 크게 의존해 왔으나 VaR 실증분석의 결과에 의하면 금융자산의 수익률분포는 정규분포보다 다른 분포들에 더 적합하다는 주장이 제기되었다. 예를 들어 Zangari (1996)는 미국의 주식을 이용한 금융자산들에 대한 수익률분포의 경우 꼬리부분이 더 두꺼운 것으로 보고하고 있으며, Li (1999)는 외환시장에서 이루어지는 환거래가 정규분포를 따르지 않는다는 사실을 보고한 바 있다.
표 4.3과 그림 4.2를 통하여 본 연구에서 제안한 Copula 함수를 이용하는 방법과 분산-공분산 방법으로 추정한 VaR를 비교한 결과, 수익률분포의 극단치 부분인 α가 1%, 2.5% 부분에서는 차이가 있었지만, α가 커질수록 차이를 보이지 않고 비슷한 값으로 수렴되는 것을 알 수 있다.

후속연구

VaR를 추정하는데 중요한 문제는 실제 수익률분포의 비대칭성 및 두꺼운 꼬리와 같은 비정규성과 관련된 문제들을 해결하는 것이다. 그리고 단일분포의 VaR가 아닌 다변량 분포에 대한 VaR가 현실적으로 적절하게 사용될 것이다. 따라서 이러한 VaR를 추정하기 위해 비정규성을 따르는 다변량 자료를 고려해야 한다.
다변량 Copula 함수를 이용한 VaR 추정은 함수의 특성상 두 확률변수에 대한 VaR의 추정만이 가능하다. 따라서 이차원 이상의 다차원 Copula 함수를 이용하여 다변량에 대한 VaR 추정은 두 변수의 쌍에 대한 VaR의 추정량들로 구성된 행렬형태의 VaR 추정량들로 설명되어야 하며 이에 대하여는 향후 연구과제로 남겨둔다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	VaR는 무엇인가?	VaR는 금리, 주가, 환율 등의 기초적 시장가격들에 대한 주어진 신뢰수준에서 목표기간에 걸쳐 발생할수 있는 최대손실금액(largest losses amount)을 말한다 (Jorion, 1997). 현재까지 VaR를 추정하기 위하여 많은 방법론과 다양한 기법들이 제시되었다.
	VaR를 추정하는 세 가지 측면의 방법은 무엇인가?	VaR를 추정하는 방법에는 세 가지의 측면으로 나누어 생각할 수 있다. 첫 번째는 모수적 방법과 비모수적 방법으로 나누고, 두 번째는 전통적인 방법과 극단치 이론(extreme value theory)을 이용한 방법으로 나눈다. 세 번째는 미래 현금흐름(cash flow)의 분포 측면에서 부분가치 평가법(local valuation)과 완전가치 평가법(full valuation)으로 나누어 볼 수 있다.
	Copula 함수를 대칭형과 비대칭형으로 구분할 때, 어떤 함수가 대표적인가?	Copula 함수는 대칭형 Copula 함수와 비대칭형 Copula 함수로 구분되는데, 대칭형 함수로는 Gaussian Copula, student t Copula, Frank Copula 함수가 있으며, 비대칭형 함수로는 Clayton Copula와 Gumbel Copula 함수가 대표적이다. 또한 Copula 함수의 종류를 타원형(Elliptical) Copula, 아르키메디안(Archimedian) Copula로 구분되는데, 타원형 Copula 에서는 상관계수행렬을 모수로 가지는 Gaussian Copula와 상관계수행렬과 자유도를 모수로 가지는 student t Copula 함수가 있다.

참고문헌 (14)

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황수영 (2005). Copula 함수와 극단치 이론을 이용한 Value at Risk 측정에 관한 실증연구, 한국과학기술원, 박사학위논문.
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Zangari, P. (1996). An Improved Methodology for Measuring VaR, RiskMetrics Monitor, 2, 7-25.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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