본 연구는 삼각형의 외심, 내심의 기능적 이해를 돕기 위한 목적으로 수행되었으며, 그들 의 정의에 대한 교수 학습 상황에 대한 도움을 제공하고자 하였다. 삼각형의 외심, 내심의 정의는 현 교과서에서 3가지로 분류될 수 있으며, 이들을 각각 구성에 초점을 맞춘 정의, 의미에 초점을 맞춘 정의, 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의로 구분하였다. 그리고 이들 각 정의가 갖는 맥락, 의도, 목적에 대한 이해를 도모하고자 삼각형의 외심, 내심의 각 정의 에 대한 특징을 분석하였다. 구성에 초점을 맞춘 정의는 개념의 실체와 무모순성을 강조한 정의로 학습자가 이 개념이 무모순임을 이해하기 위한 목적으로 선택된 것이라는 것을 분석 해 내었다. 한편, 이 정의는 다각형의 외심, 내심의 의미를 고려하여 정의를 하였으며, 이러한 사실로 미루어 볼 때 삼각형의 외심, 내심은 다각형의 외심, 내심과 연계된 지도가 필요함을 확인하였다. 또한 이 정의는 용어와 정의의 괴리로부터 발생하는 개념 혼란으로 인해 정의에 대한 숙지가 어렵다는 것을 알 수 있었다. 의미에 초점을 맞춘 정의는 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 정의를 숙지하는 것이 용이하지만, 개념의 실체를 발견하고자 할 때 구성이 어려운 상황을 연출한다는 점을 알 수 있었다. 한편, 결과적 지식이지만 발생적 맥락 을 간직한 정의이기 때문에 이러한 점을 고려하면 정의에 대한 지도는 개념 발생 맥락 및 과정이 분리되어 지도되어서는 안 된다는 점을 확인하였다. 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 시작점이 모호할 뿐 만 아니라 기존에 제시된 정의와는 다른 형태이기 때문에 개념 정의에 대한 인식이 어려울 수 있음을 확인하였다. 본 연구의 결과가 수학 교육 현장에서 삼 각형의 외심, 내심의 정의에 대한 이해를 향상시키는데 도움이 되길 바란다.
본 연구는 삼각형의 외심, 내심의 기능적 이해를 돕기 위한 목적으로 수행되었으며, 그들 의 정의에 대한 교수 학습 상황에 대한 도움을 제공하고자 하였다. 삼각형의 외심, 내심의 정의는 현 교과서에서 3가지로 분류될 수 있으며, 이들을 각각 구성에 초점을 맞춘 정의, 의미에 초점을 맞춘 정의, 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의로 구분하였다. 그리고 이들 각 정의가 갖는 맥락, 의도, 목적에 대한 이해를 도모하고자 삼각형의 외심, 내심의 각 정의 에 대한 특징을 분석하였다. 구성에 초점을 맞춘 정의는 개념의 실체와 무모순성을 강조한 정의로 학습자가 이 개념이 무모순임을 이해하기 위한 목적으로 선택된 것이라는 것을 분석 해 내었다. 한편, 이 정의는 다각형의 외심, 내심의 의미를 고려하여 정의를 하였으며, 이러한 사실로 미루어 볼 때 삼각형의 외심, 내심은 다각형의 외심, 내심과 연계된 지도가 필요함을 확인하였다. 또한 이 정의는 용어와 정의의 괴리로부터 발생하는 개념 혼란으로 인해 정의에 대한 숙지가 어렵다는 것을 알 수 있었다. 의미에 초점을 맞춘 정의는 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 정의를 숙지하는 것이 용이하지만, 개념의 실체를 발견하고자 할 때 구성이 어려운 상황을 연출한다는 점을 알 수 있었다. 한편, 결과적 지식이지만 발생적 맥락 을 간직한 정의이기 때문에 이러한 점을 고려하면 정의에 대한 지도는 개념 발생 맥락 및 과정이 분리되어 지도되어서는 안 된다는 점을 확인하였다. 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 시작점이 모호할 뿐 만 아니라 기존에 제시된 정의와는 다른 형태이기 때문에 개념 정의에 대한 인식이 어려울 수 있음을 확인하였다. 본 연구의 결과가 수학 교육 현장에서 삼 각형의 외심, 내심의 정의에 대한 이해를 향상시키는데 도움이 되길 바란다.
This paper was designed for the purpose of helping the functional comprehension on the concept of a circumcenter and an incenter of triangle and offering the help for teaching-learning process on their definitions. We analysed the characteristic of the definition on a circumcenter and an incenter of...
This paper was designed for the purpose of helping the functional comprehension on the concept of a circumcenter and an incenter of triangle and offering the help for teaching-learning process on their definitions. We analysed the characteristic of the definition on a circumcenter and an incenter of triangle and studied the context, mean and purpose on the definition. The definition focusing on the construction is the definition stressed on the consistency of the concept through the fact that it is possible to draw figure of the concept. And this definition is the thing that consider the extend of the concept from triangle to polygon. Meanwhile this definition can be confused because the concept is not connected with the terminology. The definition focusing on the meaning is easy to memorize the concept because the concept is connected with the terminology but is difficult to search for the concept truth. And this definition is the thing that has the grounds on the occurrence but is taught in a made-knowledge. The definition focusing on both the construction and meaning is the definition that the starting point is vague in the logical proof process. We hope that the results are used to improve the understanding the concept of a circumcenter and an incenter of triangle in the field of mathematical education.
This paper was designed for the purpose of helping the functional comprehension on the concept of a circumcenter and an incenter of triangle and offering the help for teaching-learning process on their definitions. We analysed the characteristic of the definition on a circumcenter and an incenter of triangle and studied the context, mean and purpose on the definition. The definition focusing on the construction is the definition stressed on the consistency of the concept through the fact that it is possible to draw figure of the concept. And this definition is the thing that consider the extend of the concept from triangle to polygon. Meanwhile this definition can be confused because the concept is not connected with the terminology. The definition focusing on the meaning is easy to memorize the concept because the concept is connected with the terminology but is difficult to search for the concept truth. And this definition is the thing that has the grounds on the occurrence but is taught in a made-knowledge. The definition focusing on both the construction and meaning is the definition that the starting point is vague in the logical proof process. We hope that the results are used to improve the understanding the concept of a circumcenter and an incenter of triangle in the field of mathematical education.
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문제 정의
· 왜 삼각형의 외심(내심)의 정의를 삼각형의 외접원의 중심(내접원의 중심)이 아닌 ‘삼각형의 세 변의 수직이등분선(세 내각의 이등분선)의 교점’으로 정의하였을까? 그 이유에 대해 이야기 해 보자.
· 삼각형에서 외심(내심)의 정의는 ‘두 변의 수직이등분선(두 내각의 이등분선)의 교점’으로 정의해도 달라지지 않는데, 왜 ‘세 변의 수직이등분선(세 내각의 이등분선)의 교점’으로 정의되었을까? 그 이유에 대해 탐구해 보자.
특히 Villers(1994)는 수학․교수 학습에서 용어의 정의가 갖는 기능적 이해의 중요성을 강조하였다. 본 연구는 중학교에 나오는 삼각형의 외심, 내심의 정의를 깊이 있는 이해를 도모하기 위해 다양한 이해의 관점 중 Villers의 기능적 이해의 측면에서 이들 용어의 정의를 분석하고자 한다. 이를 위해 본 장에서는 연구의 목적으로 제시된 용어 정의에 대한 기능적 이해와 관련된 선행 연구를 간략히 살펴보고자 한다.
본 연구에서는 중학교 2학년에 제시되는 삼각형의 외심, 내심의 정의를 정의 방식 별로 분류하고, 각 정의가 갖는 특징에 대해 고찰해 보았다. 중학교 수학 2 교과서에 제시된 삼각형의 외심, 내심은 구성, 의미, 그리고 구성과 의미 모두에 초점을 둔 세 가지 정의로 분류할 수 있었다.
본 장에서는 2007 개정 교육과정이 적용된 14개 중학교 수학 2 교과서에 제시된 삼각형의 외심 및 내심의 정의에 대해 살펴보고, 이를 제시된 정의에 따라 분류해 보고자 한다. 현재 중학교 2학년 수학 교과서의 삼각형의 외심과 내심의 정의하는 것은 세 종류로 분류되는데, 첫 번째는 삼각형의 외심을 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점, 내심을 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이라 정의한 구성에 초점을 맞춘 정의이다.
이러한 측면에서 본 연구에서는 중학교 2학년에 제시되는 서로 다른 삼각형의 외심, 내심의 정의에 대한 기능적 이해를 돕고, 이를 통해 이들 용어의 교수·학습 지도 과정에 도움을 제공하는 것을 연구의 목적으로 한다.
본 연구는 중학교에 나오는 삼각형의 외심, 내심의 정의를 깊이 있는 이해를 도모하기 위해 다양한 이해의 관점 중 Villers의 기능적 이해의 측면에서 이들 용어의 정의를 분석하고자 한다. 이를 위해 본 장에서는 연구의 목적으로 제시된 용어 정의에 대한 기능적 이해와 관련된 선행 연구를 간략히 살펴보고자 한다.
이상에서 살펴본 연구의 내용을 볼 때, 수학적 정의에 대한 이해는 정의 자체에 대한 것이 전부가 아니고, 정의에 대한 기능적 이해의 수준까지 도달하는 것이 중요함을 알 수 있으며, 본 연구에서는 이러한 점을 고려하여 중학교 2학년 기하단원에서 취급하는 삼각형의 외심, 내심을 대상으로 이들 정의가 갖는 이유, 상황, 맥락, 의도 등을 연구해 보고자 한다.
이제 삼각형의 외심과 내심을 다각형에서의 외심과 내심으로 개념을 확장하는 상황을 고려해 보자. 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점, 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점으로 삼각형의 외심과 내심을 각각 정의할 경우에는 n각형의 외심과 내심을 각각 n각형의 n개의 변의 수직이등분선의 교점, n각형의 n개의 내각의 이등분선의 교점으로 정의하는 것이 자연스럽다.
제안 방법
으로 간주되는 항목을 학생들이 인식할 수 있도록 수업 내용을 구성하였다. 원을 수학적으로 부적절하게 정의한 사례들을 제공하여, 학생들로 하여금 그 정의가 지닌 부적절함을 지적하고 수정하도록 하여 학생들 스스로 수학적 정의가 갖추어야 할 조건을 인식할 수 있도록 지도하였다. 특히, Borasi(1992)는 수학적 정의는 고정되어 변화하지 않는 것으로 간주되는 것에 우려를 표하며, 수학적 정의 역시 맥락, 가치 등에 따라 변화하는, 역동성을 지닌 것임을 인식시키려고 하였다.
성능/효과
이러한 분류로부터 각 정의의 특징을 분석해 본 결과 삼각형의 외심, 내심을 구성에 초점을 맞추어 개념을 정의한 방식은 개념이 구성되는 실체와 구성된 실체로부터 비롯된 개념의 무모순성을 강조한 정의, 삼각형에서 다각형으로 개념을 확장할 경우를 대비하여 다각형에서 정의될 외심과 내심의 정의와 연계된 정의, 용어 자체가 함의하는 바와 그 정의가 긴밀하게 연계되지 않기 때문에 개념 혼란이 발생하는 정의라는 것을 분석해 내었다. 그리고 삼각형의 외심, 내심을 의미에 초점을 맞추어 개념을 정의한 방식은 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 개념 정의를 기억하고 습득하는 것이 용이하지만 개념의 실체를 구성하는 것이 소홀하게 다루어질 수 있는 정의이고, 결과적 지식으로 나타난 정의이지만 발생적 맥락을 간직한 개념이므로 역사 발생적 원리를 통한 수학화 과정을 통해 지도되어야 할 개념임을 알았다. 한편, 삼각형의 외심과 내심을 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 개념 실체의 구성 과정과 의미가 긴밀하게 연결된 정의이지만 논리적 전개 과정에서 시작점이 분명하지 못할 뿐 만 아니라, 중학교에 등장하는 다양한 정의와 차이점을 갖고 있어 개념이 생성되는 총체적 과정 자체가 개념 정의임을 인식하기 쉽지 않아 정의 인식에 혼란을 초래할 수 있음을 분석해 내었다.
위와 같은 발견적 과정으로 이루어진 내용 지도를 통해 결과적 지식 그 자체로 정의된 삼각형의 외심과 내심의 개념은 각각 ‘삼각형의 세 변의 수직이등분선’, ‘삼각형의 세 내각의 이등분선’이 됨을 발견할 수 있고, 이러한 발견을 통해 삼각형의 외심과 내심의 의미로부터 이 개념들을 구성할 수 있는 방법을 연결 지을 수 있게 되는 것이다.
중학교 수학 2 교과서에 제시된 삼각형의 외심, 내심은 구성, 의미, 그리고 구성과 의미 모두에 초점을 둔 세 가지 정의로 분류할 수 있었다. 이러한 분류로부터 각 정의의 특징을 분석해 본 결과 삼각형의 외심, 내심을 구성에 초점을 맞추어 개념을 정의한 방식은 개념이 구성되는 실체와 구성된 실체로부터 비롯된 개념의 무모순성을 강조한 정의, 삼각형에서 다각형으로 개념을 확장할 경우를 대비하여 다각형에서 정의될 외심과 내심의 정의와 연계된 정의, 용어 자체가 함의하는 바와 그 정의가 긴밀하게 연계되지 않기 때문에 개념 혼란이 발생하는 정의라는 것을 분석해 내었다. 그리고 삼각형의 외심, 내심을 의미에 초점을 맞추어 개념을 정의한 방식은 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 개념 정의를 기억하고 습득하는 것이 용이하지만 개념의 실체를 구성하는 것이 소홀하게 다루어질 수 있는 정의이고, 결과적 지식으로 나타난 정의이지만 발생적 맥락을 간직한 개념이므로 역사 발생적 원리를 통한 수학화 과정을 통해 지도되어야 할 개념임을 알았다.
이상에서 살펴 본 바에 따르면 삼각형의 외심, 내심의 구성적 정의는 용어와 개념 정의 사이의 괴리로부터 개념 정의 습득에 상당한 혼란을 초래할 수 있음에도 개념 실체의 구성 가능성으로부터 개념에 대한 무모순성의 획득과 다각형의 외심, 내심이 함께 고려된 정의임을 확인할 수 있었다. 이러한 구성적 정의의 맥락에 대한 학습자의 이해를 돕기 위해 다음과 같은 발문을 생각해 볼 수 있다.
한편, 삼각형의 외심과 내심은 두 가지 동치인 정의에 따른 개념의 모호성이 발생할 수 있으며, 이와 같은 모호성은 두 정의가 다른 한 가지로부터 충분히 연역 가능한 사실의 인식으로부터 극복 가능함을 알았고, 이러한 점을 고려할 때, 구성 위주의 정의와 의미 위주의 정의 사이의 쌍방향의 접근이 필요함을 확인하였다.
그리고 삼각형의 외심, 내심을 의미에 초점을 맞추어 개념을 정의한 방식은 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 개념 정의를 기억하고 습득하는 것이 용이하지만 개념의 실체를 구성하는 것이 소홀하게 다루어질 수 있는 정의이고, 결과적 지식으로 나타난 정의이지만 발생적 맥락을 간직한 개념이므로 역사 발생적 원리를 통한 수학화 과정을 통해 지도되어야 할 개념임을 알았다. 한편, 삼각형의 외심과 내심을 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 개념 실체의 구성 과정과 의미가 긴밀하게 연결된 정의이지만 논리적 전개 과정에서 시작점이 분명하지 못할 뿐 만 아니라, 중학교에 등장하는 다양한 정의와 차이점을 갖고 있어 개념이 생성되는 총체적 과정 자체가 개념 정의임을 인식하기 쉽지 않아 정의 인식에 혼란을 초래할 수 있음을 분석해 내었다.
후속연구
첫째, 학교 수학을 지도하는 과정에서 삼각형의 외심과 내심의 정의 별 특징을 적절히 인식하여 이를 고려한 개념 지도가 필요할 것으로 보인다. 둘째, 삼각형의 외심과 내심은 동치인 두 정의를 가질 수 있는 개념이기 때문에 학습자에게 발생할 수 있는 개념의 모호성을 인식하여 두 정의에 대한 쌍방향의 접근을 통해 두 정의의 개념이 필요 충분한 조건임을 충분히 인식시켜 줄 필요가 있다. 이와 같은 개념 지도로부터 두 개념 정의 중 어느 것을 선택하여도 무방하다는 사실을 인식하는 과정이 필요하며, 이러한 개념의 지도는 탐색 활동 위주로 이루어지는 것이 바람직할 것으로 사료된다.
용어 정의에 대한 단순한 접근 및 이해만으로는 지식의 동화가 일어나기 쉽지 않고, 지식의 동화가 이루어지기 위해서는 정의의 여러 측면을 다양하게 고찰해 보는 활동을 통해 정의를 깊이 있게 이해하는 것을 돕는 것이 필요하다고 사료된다. 따라서 주어진 용어에 대한 다양한 특징의 고찰이 이루어져야 하며, 이러한 고찰을 통해 교사는 용어의 정의가 갖는 특징을 충분히 숙지하여 학생들에게 전달하는 것이 필요할 것으로 보인다.
이러한 목적을 달성하기 위해 교과서에 제시된 삼각형의 외심, 내심의 정의를 분류하고, 분류된 각각의 정의가 갖는 특징을 분석하여 살펴보는 활동을 통해 삼각형의 외심, 내심 용어의 지도에 대한 교육적 시사점을 얻는 것을 연구 문제로 설정하였다. 본 연구가 삼각형의 외심, 내심의 서로 다른 정의에 대한 보다 깊은 이해를 돕는 자료가 될 수 있길 바란다.
본 연구에서 분석해 낸 이러한 연구 결과들이 수학 교육 현장에서 수학적 정의나 개념을 지도할 때, 유용한 자료로 활용되길 바란다.
이와 같은 개념 지도로부터 두 개념 정의 중 어느 것을 선택하여도 무방하다는 사실을 인식하는 과정이 필요하며, 이러한 개념의 지도는 탐색 활동 위주로 이루어지는 것이 바람직할 것으로 사료된다. 셋째, 현 교육과정 상의 대다수의 교과서에서 정의에 관계없이 삼각형의 외심과 내심은 결과적 지식으로 도입되고 있는 실정인데, 이들 정의는 수학적 발생적 맥락을 간직한 개념으로서 완성된 지식으로서의 개념이 아니라 수학을 탐구하는 과정에서 생성된 지식이라는 사실을 인식시켜 주는 기회를 제공할 필요할 것으로 보인다.
마지막으로 본 연구의 교육적 시사점을 다음과 같이 제시한다. 첫째, 학교 수학을 지도하는 과정에서 삼각형의 외심과 내심의 정의 별 특징을 적절히 인식하여 이를 고려한 개념 지도가 필요할 것으로 보인다. 둘째, 삼각형의 외심과 내심은 동치인 두 정의를 가질 수 있는 개념이기 때문에 학습자에게 발생할 수 있는 개념의 모호성을 인식하여 두 정의에 대한 쌍방향의 접근을 통해 두 정의의 개념이 필요 충분한 조건임을 충분히 인식시켜 줄 필요가 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수학에서 구성은 어떤 도구인가?
수학에서 구성은 수학적 개념의 실체를 밝히고 그러한 수학적 내용이 무모순임을 증명하는 중요한 도구이다. Borasi(1992)는 수학적 정의가 갖추어야 할 특징으로 용어의 정밀성, 개념의 분리, 본질성, 무모순성, 비순환성을 지적하는데, 이 중 정의의 무모순성은 정의의 구성적 측면과 밀접한 관련성을 지니고 있다.
수학에서 용어의 정의 서술이 중요하게 취급되는 이유는?
같은 맥락에서 Euclid & Heath(2006)는 많은 세월에 걸쳐 용어들의 정의에 대한 분석 및 비판이 이루어져 온 것을 보면 용어의 정의 서술이 얼마나 어렵고 중요한 것인지를 알 수 있다고 지적하였다. 이와 같이 수학에서 용어의 정의 서술이 중요하게 취급되는 것은 용어의 정의 자체가 용어에 대한 이해와 직결되는 부분으로서 용어와 관련된 내용의 이해에 직접적 영향을 미치기 때문이다.
중학교 2학년 수학 교과서에서 삼각형의 외심 및 내심의 정의는 어떻게 분류되는가?
본 장에서는 2007 개정 교육과정이 적용된 14개 중학교 수학 2 교과서에 제시된 삼각형의 외심 및 내심의 정의에 대해 살펴보고, 이를 제시된 정의에 따라 분류해 보고자 한다. 현재 중학교 2학년 수학 교과서의 삼각형의 외심과 내심의 정의하는 것은 세 종류로 분류되는데, 첫 번째는 삼각형의 외심을 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점, 내심을 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점이라 정의한 구성에 초점을 맞춘 정의이다. 두 번째는 삼각형의 외심을 삼각형의 외접원의 중심, 삼각형의 내심을 삼각형의 내접원의 중심이라 정의한 의미에 초점을 맞춘 정의이다. 세 번째는 구성과 의미 모두에 초점을 맞추어 정의이다. 다음은 이와 같이 분류된 정의 별로, 삼각형의 외심과 내심에 대한 교과서의 내용을 간략히 살펴보고자 한다.
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