[논문]정적분 기호 이해의 특징과 교수학적 전략

최정현

문제 정의

이를 위하여 정적분 기호 탄생의 수학사적 배경을 분석하고, 현행 교과서의 정적분 단원 내용을 분석한다. 또한, 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 심상이 제대로 형성되어 있는 학생들의 정적분 기호에 대한 심상이 어떠한 것인지를 파악한다. 이러한 것들을 바탕으로 하여 정적분 기호 지도에 대한 교수학적 전략을 제안하고, 그 전략을 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 아무런 심상이 없는 이해 층위의 학생들을 대상으로 하여 적용한다.
본 연구는 리만합의 극한식과 정적분 기호 각각의 구성 요소의 의미와 두 기호의 상호관계 에 대한 학생들의 이해의 특징을 살펴보고, 그것을 바탕으로 정적분 기호의 지도에 대한 교수학적 전략을 제안함으로써, 넓이와 부피를 나타내는 정적분 기호를 리만합의 극한으로 올바르게 이해할 수 있는 심상을 형성할 수 있도록 하는 데 목적이 있다. 이를 위하여 정적분 기호 탄생의 수학사적 배경을 살펴보고, 현행 교과서의 정적분 단원 진술을 분석하였다.
<표 1>에서 알 수 있듯이, 70명의 학생들 모두 전국의 인문계 고등학교 2학년 학생들 중 상위 50% 내에 속하며, 그 중 상위 10% 내에 26명이 속해 있는 우수 집단이다. 본 연구에서는 70명의 학생들을 대상으로 하여 리만합의 극한식과 정적분 기호 각각의 구성 요소의 의미와 상호 관계에 대한 이해의 특징을 조사하기 위하여 설문 조사를 실시하며, 설문 조사의 분석을 통하여 학생들의 정적분 기호에 대한 이해의 특징을 알아보고, 이해의 층위를 구분한다.
설문지의 (1)번 문항은 리만합의 극한식과 정적분 기호 각각의 구성 요소의 의미와 두 기호의 상호관계에 대한 학생들의 이해의 특징을 알아보기 위한 것이다. 이 문항의 분석을 통하여 학생들의 정적분 기호에 대한 심상의 형태를 알아보고, 그 이해의 층위를 분류한다.
이러한 학생들이 정적분 기호의 뜻을 리만합의 극한으로서 제대로 이해하고, 그 기호를 넓이, 부피를 구함에 있어 원리를 제대로 적용하며, 부정적분의 역연산으로서의 정적분 계산을 유창하게 해 낼 수 있는 ‘개념’ 또는 ‘대상’ 단계로 도달할 수 있도록 하는 것이 이 연구의 목적이다.
이에 본 연구에서는 리만합의 극한식 #와 정적분 기호 # 각각의 구성 요소의 의미와 두 기호의 상호관계에 대한 학생들의 이해의 특징을 살펴보고, 그것을 바탕으로 정적분 기호의 지도에 대한 교수학적 전략을 제안함으로써, 넓이와 부피를 나타내는 정적분 기호를 리만합의 극한으로 올바르게 이해할 수 있는 심상을 형성할 수 있도록 하는 데 목적이 있다. 수학 개념 지도에 있어서 학생들이 수학 기호에 대한 올바른 심상을 형성하도록 하는 것이 중요한 문제임을 감안할 때, 넓이, 부피를 나타내는 정적분 기호에 대한 심상 형성을 위한 교수학적 전략의 제안은 주요한 시사점을 줄 수 있다.
이에 본 연구에서는 학생들의 정적분 기호과 리만합의 극한식의 상호 관계에 대한 학생들의 이해의 특징을 알아보고, 정적분 기호에 대한 수학사적 분석과 교과서 내용 분석을 바탕으로 하여 정적분 기호 지도에 대한 교수학적 전략을 제안하여 넓이, 부피를 나타내는 정적분 기호에 대한 학생들의 올바른 심상을 형성시키고자 하는 것이다.

제안 방법

개발된 교수학적 전략을 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 아무런 심상이 없는 이해 층위의 학생들을 대상으로 하여 적용 후, 각 학생들을 대상으로 하여 면담을 실시하여 회전체의 부피를 구하는 기호 #와 입체도형의 부피를 구하는 기호 #의 각 구성요소들의 의미에 대하여 설명하게 하고, 각 기호에 대한 학생들의 심상이 어떻게 형성되었는지를 알아본다.
를 소개할 때에도 직사각형의 폭을 나타내는 ∆x가 n → ∞일 때, dx로 대응됨을 학생들이 인식할 수 있도록 한다. 그리고, 이 기호를 만들어 낸 Leibnitz의 아이디어를 소개하여 정적분 기호를 구성하고 있는 각 구성 요소에 대한 자연스러운 심상히 형성될 수 있도록 한다.
리만합의 극한식과 정적분 기호에서 같은 의미끼리 대응되는 것끼리 전혀 짝짓지 못하면서 각 기호에 대한 아무런 의미를 갖지 않은 5명의 학생을 대상으로 한 정적분 기호에 대한 설명을 마친 후, 5명을 대상으로 개별 면담을 실시하였다. 면담에서 회전체의 부피를 구하는 기호 #와 입체도형의 부피를 구하는 기호 #의 각 구성요소들의 의미에 대하여 설명하게 하고, 각 기호에 대한 학생들의 심상이 어떻게 형성되었는지를 알아보았다.
리만합의 극한식과 정적분 기호에서 같은 의미끼리 대응되는 것끼리 전혀 짝짓지 못하면서 각 기호에 대한 아무런 의미를 갖지 않은 5명의 학생을 대상으로 한 정적분 기호에 대한 설명을 마친 후, 5명을 대상으로 개별 면담을 실시하였다. 면담에서 회전체의 부피를 구하는 기호 #와 입체도형의 부피를 구하는 기호 #의 각 구성요소들의 의미에 대하여 설명하게 하고, 각 기호에 대한 학생들의 심상이 어떻게 형성되었는지를 알아보았다. 5명 모두 회전체의 부피를 구하는 기호와 입체도형의 부피를 구하는 기호를 리만 합의 극한과 관련하여 설명할 수 있었으며, 정적분 기호 #에 대한 심상을 이용하여 기호 #들을 이해하였다.
이상의 설문 조사의 결과와 정적분 기호의 수학사적 의미, 교과서의 정적분 단원 분석을 바탕으로 하여 정적분 기호 지도를 위한 교수학적 전략을 세웠다. 이러한 교수학적 전략을 리만합의 극한식과 정적분 기호에서 같은 의미끼리 대응되는 것끼리 전혀 짝짓지 못하면서 각 기호에 대한 아무런 의미를 갖지 않은 5명의 학생들에게 적용하여 보았다. 적용 후, 5명의 학생들과 개별 면담을 실시하였으며, 면담 결과 단순 공식으로 암기하고 있던 회전체의 부피와 입체도형의 부피를 구하는 정적분 기호를 리만합의 극한과 관련된 방식으로 해석할 수 있음을 알 수 있었다.
이를 위하여 우선 정적분 기호 탄생과 관련된 수학적 아이디어의 역사적 배경을 살펴보고, 현행 교과서의 정적분 기호에 대한 진술 내용을 분석하였으며, 대구광역시 소재 D 고등학교 2학년 학생 70명을 대상으로 리만합의 극한 기호와 정적분 기호의 의미와 서로의 관계에 대한 설문 조사를 하였다. 이를 바탕으로 하여 정적분 기호에 대한 올바른 심상을 만들 수 있는 교수학적 전략을 제안, 적용하였으며, 그 결과를 면담 조사를 통하여 알아보았다. 본 연구는 대구의 D고등학교 2학년 학생 70명을 대상으로 하였으므로, 연구 결과를 일반화하는 데에 제한점이 있음을 밝히는 바이다.
이를 위하여 우선 정적분 기호 탄생과 관련된 수학적 아이디어의 역사적 배경을 살펴보고, 현행 교과서의 정적분 기호에 대한 진술 내용을 분석하였으며, 대구광역시 소재 D 고등학교 2학년 학생 70명을 대상으로 리만합의 극한 기호와 정적분 기호의 의미와 서로의 관계에 대한 설문 조사를 하였다. 이를 바탕으로 하여 정적분 기호에 대한 올바른 심상을 만들 수 있는 교수학적 전략을 제안, 적용하였으며, 그 결과를 면담 조사를 통하여 알아보았다.
설문 조사 결과에서 나타난 학생들의 정적분 기호에 대한 이해의 층위 중 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 아무런 심상이 없는 이해 층위의 학생들을 대상으로 한 교수학적 전략을 개발한다. 이를 위하여 정적분 기호 탄생의 수학사적 배경을 분석하고, 현행 교과서의 정적분 단원 내용을 분석한다. 또한, 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 심상이 제대로 형성되어 있는 학생들의 정적분 기호에 대한 심상이 어떠한 것인지를 파악한다.
본 연구는 리만합의 극한식과 정적분 기호 각각의 구성 요소의 의미와 두 기호의 상호관계 에 대한 학생들의 이해의 특징을 살펴보고, 그것을 바탕으로 정적분 기호의 지도에 대한 교수학적 전략을 제안함으로써, 넓이와 부피를 나타내는 정적분 기호를 리만합의 극한으로 올바르게 이해할 수 있는 심상을 형성할 수 있도록 하는 데 목적이 있다. 이를 위하여 정적분 기호 탄생의 수학사적 배경을 살펴보고, 현행 교과서의 정적분 단원 진술을 분석하였다. 설문 조사는 고등학교 2학년 학생 70명을 대상을 진행하였으며, 학생들의 정적분 기호에 대한 이해의 특징은 다음과 같다.
이상의 설문 조사의 결과와 정적분 기호의 수학사적 의미, 교과서의 정적분 단원 분석을 바탕으로 하여 정적분 기호 지도를 위한 교수학적 전략을 세웠다. 이러한 교수학적 전략을 리만합의 극한식과 정적분 기호에서 같은 의미끼리 대응되는 것끼리 전혀 짝짓지 못하면서 각 기호에 대한 아무런 의미를 갖지 않은 5명의 학생들에게 적용하여 보았다.
즉, 설문 조사의 분석을 통하여 학생들의 정적분 기호에 대한 이해의 특징 및 이해의 층위를 분류하고, 정적분 기호의 이해에 따른 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 이해의 상호 관계에 대하여 살펴본다.

대상 데이터

70명의 학생 모두 자연계열에 속해 있는 학생들이며, 7차 개정 교육과정의 ‘적분과 통계’ 과목을 2010년 9월부터 2011년 2월까지 6개월에 걸쳐서 이수한 학생들이다.
70명의 학생들을 대상으로 설문 조사를 실시하고, 그 결과를 분석한다. 설문 문항은 다음과 같다.
70명의 학생들의 성적분포를 알아보기 위하여 2010년 9월 한국의 인문계 고등학교 2학년 전체 학생들을 대상으로 실시된 교육청 주관 전국연합학력평가에서 받은 수학 성적을 근거로 하여 과 같이 분석하였다.
본 연구는 2010년 3월부터 2011년 2월까지 연구자가 1년 동안 지도한 대구의 D고등학교 2학년의 2개 반 70명을 대상으로 하였다.
이를 위하여 정적분 기호 탄생의 수학사적 배경을 살펴보고, 현행 교과서의 정적분 단원 진술을 분석하였다. 설문 조사는 고등학교 2학년 학생 70명을 대상을 진행하였으며, 학생들의 정적분 기호에 대한 이해의 특징은 다음과 같다.
또한, 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 심상이 제대로 형성되어 있는 학생들의 정적분 기호에 대한 심상이 어떠한 것인지를 파악한다. 이러한 것들을 바탕으로 하여 정적분 기호 지도에 대한 교수학적 전략을 제안하고, 그 전략을 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 아무런 심상이 없는 이해 층위의 학생들을 대상으로 하여 적용한다.
이상과 같이 정적분 기호의 지도를 위한 교수학적 전략을 제안하며, 이 방법을 학생들에 게 적용하였다. 적용 대상은 설문 문항 (1)에서 리만합의 극한식과 정적분 기호에서 같은 의미끼리 대응되는 것끼리 전혀 짝짓지 못하면서 각 기호에 대한 아무런 의미를 갖지 않은 5명의 학생이며, 이 학생들의 동의를 구한 후, 약 1시간 동안 위의 방법으로 정적분 기호에 대한 설명을 하였다.

이론/모형

현재의 적분법에 가장 근접한 방법을 사용한 Archimedes는 넓이 또는 부피를 구하는 데 있어서 그것을 매우 얇은 조각으로 가르는 ‘평형법(method of equilibrium)’ 이라는 방법을 사용하여 구의 부피를 계산하였다([10]).

성능/효과

둘째, 중상위 학생들은 정적분 기호와 리만합의 극한의 상호 관계에 대하여 말할 수 있었으나, 리만합을 f(x_k)와 ∆x의 곱으로 인식하지 못한 채 f(x_k)의 합으로 인식하는 경향이 있었으며, 정적분 기호에 대한 심상은 함숫값의 무한합과 부정적분의 역연산에 대한 개념이 혼재된 것이었다.
면담 내용에서 알 수 있듯이, 제안된 교수학적 전략을 통하여 설명을 들은 학생들은 입 체도형의 부피와 회전체의 부피를 구하는 기호를 리만합의 극한과 관련된 방식으로 해석할 수 있게 되었으며, 그 기호들에 대한 적절한 심상이 형성되는 것을 알 수 있었다.
본 연구는 정적분 기호에 대한 학생들의 이해의 특징을 분석하고, 이를 바탕으로 하여 정적분 기호 지도에 있어서의 교수학적 전략의 제안을 통해 정적분 기호 이해에 있어서 과정 (process) 단계—정적분 기호 계산에 치중되어 있는 상태—에 머물러 있는 학생들을 개념 (concept) 또는 대상(object)의 단계로 끌어올릴 수 있었음을 알 수 있었다.
설문 문항 (1), (2)의 응답 결과를 분석한 결과, 상위 학생일수록 정적분 기호를 불가불량 또는 무한소의 합으로 해석하며, 리만합의 극한식을 곱의 합 구조로 이해하고 있음을 알 수 있었다. 한편, 일반 학생들은 정적분 기호를 부정적분의 역연산으로 해석하고 있거나, 리만합의 극한식을 곱의 합 구조로 이해하지 못하고 있으며, 정적분 기호에 대한 특별한 심상 없이 단순 계산에만 치우쳐 있다는 것을 알 수 있었다.
셋째, 상위 학생들은 정적분 기호와 리만합의 극한의 상호 관계에 대하여 말할 수 있었으며, 리만합을 f(x_k)와 ∆x의 곱으로 인식하고 있었다. 또한, 정적분 기호에 대한 심상도 무한소의 합으로 형성되어 있었다.
이러한 교수학적 전략을 리만합의 극한식과 정적분 기호에서 같은 의미끼리 대응되는 것끼리 전혀 짝짓지 못하면서 각 기호에 대한 아무런 의미를 갖지 않은 5명의 학생들에게 적용하여 보았다. 적용 후, 5명의 학생들과 개별 면담을 실시하였으며, 면담 결과 단순 공식으로 암기하고 있던 회전체의 부피와 입체도형의 부피를 구하는 정적분 기호를 리만합의 극한과 관련된 방식으로 해석할 수 있음을 알 수 있었다.
첫째, 상위 학생이 아닌 일반 학생들은 정적분 기호와 리만합의 극한식의 각각의 구성 요소의 의미와 두 기호의 상호 관계를 제대로 알지 못했으며, 정적분 기호를 부정적분의 역연산으로 이해하고 있었으며, 회전체의 부피를 구하는 공식에 대하여도 리만합의 극한으로서의 이해 없이 단순 공식으로 암기하고 있음을 알 수 있었다.
한편, 정적분 기호에 대한 심상이 형성되어 있는 학생은 회전체의 부피를 구하는 기호에 대하여도 적절한 심상이 형성되어 있는 것을 알 수 있었으며, 정적분 기호에 대한 심상이 적절히 형성되어 있지 않는 학생은 회전체의 부피를 구하는 기호에 대해서도 적절한 심상 없이 단순 공식으로 암기하고 있다는 것을 알 수 있었다.

후속연구

이상의 연구 결과는 대구광역시 소재 자연계열 고등학생 70명을 대상으로 한 것으로 이를 전체 고등학생들에 일반화 하는 데에는 한계가 있다. 그러나, 이 연구는 고등학생들을 대상으로 한 정적분의 개념 지도를 위한 교수학적 전략을 세우는 데 기여할 수 있을 것이다.
이를 바탕으로 하여 정적분 기호에 대한 올바른 심상을 만들 수 있는 교수학적 전략을 제안, 적용하였으며, 그 결과를 면담 조사를 통하여 알아보았다. 본 연구는 대구의 D고등학교 2학년 학생 70명을 대상으로 하였으므로, 연구 결과를 일반화하는 데에 제한점이 있음을 밝히는 바이다.
설문 조사 결과에서 나타난 학생들의 정적분 기호에 대한 이해의 층위 중 회전체의 부피를 구하는 기호에 대한 아무런 심상이 없는 이해 층위의 학생들을 대상으로 한 교수학적 전략을 개발한다. 이를 위하여 정적분 기호 탄생의 수학사적 배경을 분석하고, 현행 교과서의 정적분 단원 내용을 분석한다.
이러한 증명 방법을 통하여 정적분 기호를 단순히 부정적분의 역연산이 아닌 리만합의 극한으로 다시 생각해 볼 수 있는 계기가 될 것이다. 한편, 교과서에서는 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 방법을 다음과 같이 설명하고 있다.
본 연구는 정적분 기호에 대한 학생들의 이해의 특징을 분석하고, 이를 바탕으로 하여 정적분 기호 지도에 있어서의 교수학적 전략의 제안을 통해 정적분 기호 이해에 있어서 과정 (process) 단계—정적분 기호 계산에 치중되어 있는 상태—에 머물러 있는 학생들을 개념 (concept) 또는 대상(object)의 단계로 끌어올릴 수 있었음을 알 수 있었다. 이상의 연구 결과는 대구광역시 소재 자연계열 고등학생 70명을 대상으로 한 것으로 이를 전체 고등학생들에 일반화 하는 데에는 한계가 있다. 그러나, 이 연구는 고등학생들을 대상으로 한 정적분의 개념 지도를 위한 교수학적 전략을 세우는 데 기여할 수 있을 것이다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	수학을 학습하는 것은 무엇인가?	수학을 학습하는 것은 여러 수학 기호의 의미를 파악하고, 수학 공동체에서 약속한 규칙을 올바르게 사용하고, 수학 기호를 통하여 정신적 능력을 발전시키며, 적절한 순간에 다른 사람이 이해할 수 있도록 독창적인 기호를 생산하는 방법을 배우는 것이다([5]). 이러한 수학 기호는 정신적 실체의 형성과 적용을 지원하는 것은 물론 개념적 실체를 대 신할 수도 있다.
	Gray & Tall([12])은 수학 기호는 어떻다고 하였는가?	수학 기호는 종이 위에 표시되어 있는 표현일 뿐 아니라, 그 표현이 지시하는 대상이 무 엇인지에 대한 해석이 요구되는 역동적 대상이다([1]). Gray & Tall([12])은 수학기호는 ‘과정(process)’ 과 ‘개념(concept)’ 을 동시에 표상하는 이중적 성격을 가졌다고 하였 다. 예를 들어 ‘3+4’ 는 3에 4를 더하는 계산의 의미와 가법(加法) 연산의 개념의 의미 를 동시에 포함하고 있는데, 이러한 덧셈 기호의 이중적 성격이 학생들의 인지 과정에서 유연하게 상호작용하면서 학생들의 수학 학습에 도움이 되기도 하고, 장애가 되기도 한 다고 하였다.
	수학 기호의 특징은 무엇인가?	수학을 학습하는 것은 여러 수학 기호의 의미를 파악하고, 수학 공동체에서 약속한 규칙을 올바르게 사용하고, 수학 기호를 통하여 정신적 능력을 발전시키며, 적절한 순간에 다른 사람이 이해할 수 있도록 독창적인 기호를 생산하는 방법을 배우는 것이다([5]). 이러한 수학 기호는 정신적 실체의 형성과 적용을 지원하는 것은 물론 개념적 실체를 대 신할 수도 있다. 수학자들은 자신이 갖고 있는 기존 개념들을 표현하고 정교화하기 위하여 기호를 만들었는데, 학교에서는 이러한 기호에 대한 심상(心象)들을 만들 수 있는 경험을 충분히 제공하기 전에 기호의 조작에 집중하는 경향이 많으며, 적분의 학습에서도 이러한 상황은 빈번히 나타난다([13]).

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