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문제 정의
- 무엇보다도 지적할 것은 로바체프스키는 수학이론의 시초 진술은 의심의 여지가 없이 참이어야하고 즉각적으로 보아 확실한 것에 근거해야한다는 ‘경험론적 토대주의자(fundamentalist empiricism)’ 이었다는 사실이다. 따라서 기초적인 개념인 수 개념도 감각적 대상에 대한 직접적 행위의 결과로 도달한다고 생각했을 정도로 선험적 측면을 배제하려 했다. 수학이 확실한 참에 근거해야 한다는 점을 강조한 데에서 20세기 기초론적 논의의 문제의식을 그에게서도 엿볼 수 있다.
- 비유클리드기하에 관한 논문을 최초로 출간한 것은 로바체프스키이지만 일반적으로 그는 볼리아이 보다 더 비중이 있게 다루어지지는 않는 것으로 보인다. 본 논문은 유럽문화의 주변부에 있었던 것으로 보이는 로바체프스키가 어떻게 비유클리드기하를 제안할 수 있었을까?하는 물음에 대한 답을 그의 수학철학에서 찾아보려고 하는 것이다. 이를 위해 본고에서는 페르미노프(Perminov)의 작업을 중심으로 그의 수학철학의 특징을 살펴봄으로써 로바체프스키의 수학철학은 현대수학철학과 과학철학의 일종의 저수지였음을 주장한다.
- 뿐만 아니라 그의 철학은 20세기를 풍미했던 논리실증주의의 주된 주장의 원형이었던 것으로 보인다. 본고는 로바체프스키의 수학철학을 살펴 본 후 이러한 그의 수학철학이 새로운 기하학에 어떻게 영향을 미쳤는지 논의한다.
- 이러한 경향은 그가 비유클리드기하를 발견하게 되는데 결정적인 기여를 하게 된다. 이제 그의 첫 작업에서 유클리드기하를 특별한 의미에서 정당화하려고 했던 로바체프스키가 가졌던 문제의식이 무엇이었는지 그리고 이것이 어떻게 그의 수리철학과 결부되어 비유클리드기하를 발견하게 되었는지 살펴보기로 하자.
- 또한 로바체프스키는 오늘날 댄덜린-그레페 방법(Dandelin-Gräffe)이라고 알려진 대수방정식의 근사해를 구하는 방법을 1834년에 발견하기도 했고, 그의 연구는 기하학에서 뿐만 아니라 삼각급수론, 적분학, 확률론 등에서도 빛을 발했다. 이제 이러한 로바체프스키의 업적 특히 비유클리드기하의 발견과 같은 창의적 작업을 가능하게 한 그의 수학철학이 어떠했는지 살펴보기로 한다.
- 이제 이러한 비유클리드기하의 등장 배경아래 로바체프스키의 수학관을 살펴보기로 하자. 로바체프스키에 따르면 수학은 자연에 대한 측정의 과학이고, 기하는 공간측정의 방법을 규정하는 순수수학의 하나이다 [12, 5].
- 다시 로바체프스키의 수학철학을 요약하지면 그의 수학철학이 머물렀던 저수지는 수학이 유입되는 곳에는 경험주의라는 첫 관문이 있고 그곳을 통과한 후 형식주의라는 둘째 관문을 통과하여 흘러내리는 구조를 가지고 있었다고 할 수 있다. 이제 이러한 수학철학이 그의 새로운 기하에 어떻게 적용되었는지를 살펴보자.
- 특히 굿맨(Goodman)은 종래의 지배적 견해인 수학의 선험성을 부정하고 경험적 성격을 강조하며 예컨대 복소수와 전자가 존재론적으로 무슨 차이가 있는지를 묻는다. 이제 페르미노프(Perminov)의 작업을 중심으로 로바체프스키의 수학철학을 살펴보기로 하자.
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