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방정식의 판별식과 교육과정에서 활용 방안
Discriminant of Polynomial in highschool mathematics curriculum 원문보기

한국수학사학회지 = The Korean journal for history of mathematics, v.24 no.4, 2011년, pp.143 - 155  

최은미 (한남대학교 수학과)

초록
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수학교육과정에서 이차방정식 풀이와 관련되어 소개되는 판별식이 삼차 이상의 방정식의 판별식으로 발전하는 역사적 과정을 살펴보고, 고차방정식의 판별식의 역할을 연구한다. 이를 바탕으로 학교수학에서 고차방정식 지도에 활용할 수 있는 방안을 알아본다.

Abstract AI-Helper 아이콘AI-Helper

The discriminant is one of the important concepts in school mathematics according to second degree polynomials. In this paper we survey the history of development to discriminant of any higher degree polynomials and investigate how the discriminant works for determining the graph of polynomials....

주제어

#판별식   #실베스터 행렬식  

AI 본문요약
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문제 정의

  • Dn 의 기하적 성질을 보기위해 최고차항의 계수가 a인 실수계수 n차방정식 f 를 생각해보자. r1 과 r2 가 f 의 연속하는 두 실근이라면, f 의 부호는 구간(r1, r2)에서 동일하다가 끝점 r1 과 r2 를 지나면서 부호가 반대로 바뀌어 f′(r1)과 f′(r2)는 서로 다른 부호를 갖는다.
  • 이 연구에서는 n차방정식의 판별식의 역사적 발전과정을 살펴보며, 이차방정식에서 근의 개수나 그래프 개형에 대한 판별식의 역할이 고차방정식에서는 어떻게 활용될 수 있는지를 알아본다. 그와 더불어 방정식의 차수가 커질수록 더욱 복잡해지는 판별식을 계산하기위해 정의된 실베스터 행렬식의 발생과 발전을 수학사적 관점에서 조사한다. 행렬과 일차변환의 간단한 이론은 수학교육과정에서 소개될 뿐만 아니라, 차수가 커지더라도 적어도 컴퓨터를 사용하여 구할 수 있기 때문에 고차방정식의 판별식을 학교수학에서 소개할 수 있는 방안을 조사한다.
  • 이 연구에서는 n차방정식의 판별식의 역사적 발전과정을 살펴보며, 이차방정식에서 근의 개수나 그래프 개형에 대한 판별식의 역할이 고차방정식에서는 어떻게 활용될 수 있는지를 알아본다. 그와 더불어 방정식의 차수가 커질수록 더욱 복잡해지는 판별식을 계산하기위해 정의된 실베스터 행렬식의 발생과 발전을 수학사적 관점에서 조사한다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
판별식의 역할은 무엇인가? 방정식은 수학교육과정의 핵심 영역중 하나로서, 현행 10단계는 일· · · 이차방정식과 간단한 고차방정식 그리고 연립방정식을 다루고, 더 나아가 이차곡선의 소개까지 포함한다. 판별식(discriminant)은 이차방정식과 관련하여 학교수학에서 가장 활용도가 높은 개념 중 하나인데 방정식의 근을 조사하고 중근의 존재를 확인하며 그래프를 그리는 중요한 척도가 된다. 함수 관련 학습에서 겪는 어려움을 연구한 김성문 [2]은 많은 고등학생들이 이차함수와 이차부등식 관련 문제에서 뿐만 아니라 그래프의 위치관계를 인식하는데 힘들어하며, 더욱이 이차부등식 ax2 + bx + c > 0 과 판별식의 관계를 이해하기 어려워한다고 했다.
학생들이 이차부등식 ax2 + bx + c > 0 과 판별식의 관계를 이해하기 어려워하는 이유는 무엇인가? 함수 관련 학습에서 겪는 어려움을 연구한 김성문 [2]은 많은 고등학생들이 이차함수와 이차부등식 관련 문제에서 뿐만 아니라 그래프의 위치관계를 인식하는데 힘들어하며, 더욱이 이차부등식 ax2 + bx + c > 0 과 판별식의 관계를 이해하기 어려워한다고 했다. 이는 학생들이 판별식을 공식으로 암기하고 있을 뿐 그 의미와 해석을 제대로 알지 못하기 때문에 겪는 어려움이라고 볼 수 있다. 학교수학에서는 특수한 형태의 고차방정식의 풀이법을 배우는데 김문정 [1]은 이차방정식을 배운 이후에 학생들은 다양한 고차함수를 접하면서 판별식 b2 − 4ac는 이차방정식에 국한되어 적용 가능한 것이며 삼차 이상의 방정식에서는 적용되지 않는다는 사실을 깨닫게 된다고 했다.
실수계수 이차방정식 f(x) = ax2 + bx + c의 근은 어떤 형태로 표현되는가? 실수계수 이차방정식 f(x) = ax2 + bx + c의 근은 ∆의 제곱근의 형태로 표현되므로, 방정식의 근이 실수체에 포함되기 위한 동치조건은 판별식이 실수의 완전제곱 꼴로 되는 것이다. 또한 방정식이 완전제곱 꼴이 되려면 ∆ = 0이어야 하므로, 판별식과 그래프 개형의 관계가 유도되어 수학교육과정 10단계에서 다음과 같이 소개된다.
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참고문헌 (8)

  1. 김문정, 접선개념 인식에 대한 연구, 이화여자대학교 교육대학원 석사논문, 2006. 

  2. 김성문, 고등학교 학생들의 함수 관련 학습에서 부진의 원인 분석, 한국교원대학교 대학원, 2010. 

  3. 이상구, 함윤미, 실베스터와 클라인 그리고 19세기 미국 수학, 한국수학사학회지 19 (2006), No.2, pp. 77-88. 

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  4. K. Fink, A brief history of mathematics, COSIMO Classics, New York, 2007. 

  5. S. Levy, Quadratics in geometry formulas and facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, CRC Press, 1995. http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/ 

  6. R.W.D. Nickalls, "A new approach to solving the cubic: Cardan's solution revealed", The Mathematical Gazette, 77(1993), No.480, pp. 354-359. 

  7. R.W.D. "Nichalls, R.H. Dye, The geometry of the discriminant of polynomial", The Mathematical Gazette, 80(1996), No.488, pp. 275-285. 

  8. J.J. Sylvester, "On a general method of determining by mere inspection the derivations from two equations of any degree", Philosophical Magazine 16(1840), pp. 132-135. 

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