[논문]연립방정식 풀이의 역사발생적 고찰-종결식을 중심으로

최은미

doi:10.14477/jhm.2013.26.2_3.149

초록
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본 논문에서 연립일차방정식의 풀이법 연구로부터 시작하여 연립고차방정식의 해법 연구로 발전되어가는 과정을 역사발생적 관점에서 고찰한다. 연립일차방정식을 푸는데 중요한 역할을 하는 가우스 소거법과 비교하여 상대적으로 덜 알려져 있지만, 연립고차방정식에는 오일러의 소거이론과 베조의 종결식이 있다. 이러한 발전의 역사적 과정을 알아보고 특별히 종결식을 처음으로 정의한 베조의 연구방법을 조명해 본다.

Abstract ▼ AI-Helper

The history of finding solutions of linear equations went back to some thousand years ago, and has been steadily developed to solve systems of higher degree polynomials. The method to eliminate variables came into use around the 17th and 18th century. This technique has been extended to the resultan...

The history of finding solutions of linear equations went back to some thousand years ago, and has been steadily developed to solve systems of higher degree polynomials. The method to eliminate variables came into use around the 17th and 18th century. This technique has been extended to the resultant theory that was laid in the 19th century by outstanding mathematicians as Euler, Sylvester, and B$\acute{e}$zout. In this paper we discuss the historical reflection about the development of solving system of polynomials. We add a special emphasis on E. B$\acute{e}$zout who gave the first account on the resultant which is a generalization of discriminant and Gauss elimination method.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

Poisson) 역시 미지수 소거문제를 다루었다. 라그랑주는 공통의 중근을 가질 조건을 설명했고 푸아송은 연립방정식의 공통근을 갖는 대칭함수를 결정하는 방법을 연구했다.
이 논문에서는 연립방정식의 풀이를 집중적으로 논의해왔던 17세기와 18세기의 수학 활동들을 역사발생적 관점에서 조명하였다. 연립일차방정식 풀이로부터 비선형 연립고 차방정식 풀이로 도약하는 전환점은 역사발생적으로 볼 때 선형대수적 기법에 직결되어 있음을 보았다.
이 논문에서는 연립일차방정식으로부터 출발하여 임의의 다변수 연립고차방정식의 풀이 방법의 연구로 발전되는 역사발생적 과정을 고찰하면서 그 가운데서 행렬과 행렬식의 역할을 살펴보고자 한다. 오일러의 소거이론을 받아 베조의 종결식(resultant)이 고안되며 그것을 실제적으로 계산하기 위해 실베스터 행렬식이 정의되기까지의 발전과정을 조명하였다.

제안 방법

선형적 문제에서 비선형적 문제로 전이되는 과정에서, 일변수 일차방정식의 판별식은 이변수 고차방정식의 종결식의 개념으로 확장되어 비선형 문제를 해결하는 중요한 도구가 되었음을 고찰하였다. 그 과정에서 수학자이며 교육자이며 또한 저술가었던 베조가 비선형 연립방정식을 풀어내기위해 수행했던 종결식 연구의 점진적 사고 발전의 과정을 살펴보았다.
그 후 자신의 특별한 기술인 ‘소거법’을 사용하여 하나의 변수를 갖는 단 하나의 방정식인 ‘종결식’으로 변형시켰다.
그는 하나의 일변수 방정식을 두 개의 이변수 방정식에서 변수 하나가 제거된 형태로 취급 하고자 했다. 더욱 간단히 하기 위해 방정식 두 개 중 하나는 아주 단순한 형태, 예컨대 n차 항과 상수항의 단 두 개의 항을 갖는 경우로 제한시켰다. 그 후 자신의 특별한 기술인 ‘소거법’을 사용하여 하나의 변수를 갖는 단 하나의 방정식인 ‘종결식’으로 변형시켰다.
종결식 연구에는 18세기의 걸출한 수학자인 오일러와 베조 등이 있었다. 두 개의 이변수 방정식으로부터 종결식을 생성해낸 오일러의 방법을 기반으로, 1764년에 베조는 n개 미지수를 갖는 n개 방정식으로 구성된 연립방정식의 종결식으로 확장시켰다. 오일러는 종결식의 차수에 대해 연구하였지만 베조는 고차 방정식에서 종결식의 차수를 사용하는 것은 의미가 없음을 알아냈다.
이 논문에서는 연립일차방정식으로부터 출발하여 임의의 다변수 연립고차방정식의 풀이 방법의 연구로 발전되는 역사발생적 과정을 고찰하면서 그 가운데서 행렬과 행렬식의 역할을 살펴보고자 한다. 오일러의 소거이론을 받아 베조의 종결식(resultant)이 고안되며 그것을 실제적으로 계산하기 위해 실베스터 행렬식이 정의되기까지의 발전과정을 조명하였다. 이러한 논의는 연립방정식 풀이에 대한 기초적인 사고가 어떻게 발전되어 다변수 연립고차방정식을 풀어낼 수 있게 되었는지를 보여주는 의미있는 분석이 될 것이다.

대상 데이터

1779년에 저서 Théorie générale des équations algébriques를 출판하였다.
19세에 이미 왕립 과학 아카데미 (Académie Royale des Sciences)로부터 능력을 인정받아 겸임(adjunct) 회원으로 선출 되었으며 29세에 정식회원이 되었다.

성능/효과

이 논문에서는 연립방정식의 풀이를 집중적으로 논의해왔던 17세기와 18세기의 수학 활동들을 역사발생적 관점에서 조명하였다. 연립일차방정식 풀이로부터 비선형 연립고 차방정식 풀이로 도약하는 전환점은 역사발생적으로 볼 때 선형대수적 기법에 직결되어 있음을 보았다. 선형대수의 행렬이론은 자연과학의 여러 분야에 긴밀히 관계되어 있는데 이는 현대 과학의 많은 문제들이 선형대수적 방법에 크게 의존되어 있기 때문이다.

후속연구

오일러의 소거이론을 받아 베조의 종결식(resultant)이 고안되며 그것을 실제적으로 계산하기 위해 실베스터 행렬식이 정의되기까지의 발전과정을 조명하였다. 이러한 논의는 연립방정식 풀이에 대한 기초적인 사고가 어떻게 발전되어 다변수 연립고차방정식을 풀어낼 수 있게 되었는지를 보여주는 의미있는 분석이 될 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	중학교와 고등학교는 방정식과 연립방정식을 어떤식으로 사용하는가?	방정식과 연립방정식은 학교 수학과 교육과정의 중요한 주제 중 하나로서 중등과정 전체에 걸쳐 다루어진다. 중학교 과정에서는 가감법과 대입법을 사용한 연립일차방정식의 풀이가 소개되며, 고등학교 과정에서는 두 개의 미지수를 갖는 간단한 연립일차방정식, 고차방정식 그리고 연립이차방정식으로 확장된다. 연립방정식과 행렬이라는 단원에서 소거에 관련된 행렬의 기본 개념이 언급된다.
	방정식과 연립방정식은 어떻게 다루어지는가?	방정식과 연립방정식은 학교 수학과 교육과정의 중요한 주제 중 하나로서 중등과정 전체에 걸쳐 다루어진다. 중학교 과정에서는 가감법과 대입법을 사용한 연립일차방정식의 풀이가 소개되며, 고등학교 과정에서는 두 개의 미지수를 갖는 간단한 연립일차방정식, 고차방정식 그리고 연립이차방정식으로 확장된다.
	연립방정식의 풀이에 대한 기록은 어디에 나타나는가?	연립방정식의 풀이에 대한 기록은 기원전 200년경의 구장산술에서 나타난다. 두 방정식 에서 하나의 변수를 소거하는 방법은 12세기경에 개발되었는데, 이러한 기술은 17세기가 되어 유럽으로 전해졌다.

참고문헌 (10)

김연식 외,"수학교육학 용어 해설 (3)", 대한수학교육학회 수학교육학연구, 5(2) (1995), 227-239.
신경희,"선형대수의 역사와 교육과정―벡터공간과 행렬을 중심으로", 교과교육학연구, 8(1) (2004), 65-82.
심상길,"교과서 연립방정식 단원에 지시된 수학사의 소재 분석 및 교수학적 분석", 대한수학교육학회 학교수학, 11(3) (2009), 415-429.
조성민,"역사발생적 관점에서 본 행렬 지도의 재음미", 한국학교수학회논문집, 12(1) (2009), 99-114.

원문보기 상세보기
J. O'Connor, E. Robertson and Etienne Bezout,"Mac Tutor history of mathematics archive", http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bezout.html.
K. Fink, A brief history of mathematics , Cosimo classics, NY, 2007.
J. Gathen and J. Gerhard,Modern computer algebra, Cambridge University Press, 2003.
A. Morozov and S. Shakirov,"New and old results in resultant theory", Theoretical and Mathematical Physics, 163(2) (2010), 587-617.

상세보기
M. Trott, The mathematica guide book for symbolics, Springer-Verlag, NY., 2006, retrieve from www.mathematicaguidebooks.org.
H. Wimmer,"On the history of the Bezoutian and the resultant matrix", Linear Algebra Appl., 128(1990), 27-34.

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