[논문]저매개변수 요소를 사용한 2차원 선형탄성 직접 경계요소법의 Kernel 적분법

조준형; 박영목; 우광성

doi:10.7734/coseik.2012.25.5.413

저매개변수 요소를 사용한 2차원 선형탄성 직접 경계요소법의 Kernel 적분법
Kernel Integration Scheme for 2D Linear Elastic Direct Boundary Element Method Using the Subparametric Element 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.25 no.5, 2012년, pp.413 - 420

조준형 (한국전력공사 전력연구원) , 박영목 (영남대학교 건설시스템공학과) , 우광성 (영남대학교 건설시스템공학과)

초록
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본 논문은 2차원 선형탄성 직접 경계요소법에서 저매개변수 요소를 사용할 때 Kernel의 적분방법에 대하여 논의하였다. 일반적으로 등매개변수 요소의 경우 형상함수로 통칭되는 해의 기저함수와 요소의 적분을 위해 사용되는 사상함수를 동일하게 사용한다. 그러나 본 논문에서는 사상함수의 차수를 낮게 취하여 순수기저절점을 도입하고 그때 직접 경계요소의 Kernel을 적분하기 위한 방법이 모색되었다. 일반적으로 경계요소법의 적분 Kernel의 경우 Log수치적분과 코쉬주치(Cauchy principal value) 등을 통해 해결하는데, 본 논문에서는 대수적 조작을 통해 적분값의 정확도를 높일 수 있도록 새로운 수식을 유도하였다. 본 연구에서 저매개변수 기반의 직접 경계요소에 대한 강건성과 정확도를 검증하기 위해 2차원 타원형 편미분방정식으로 표현되는 평면응력과 평면변형문제에 대해 적용하였다. 적용 예제로는 단순연결영역(simple connected region)의 대표적 문제인 캔틸레버보와 다중연결영역(multiple connected region)의 대표적인 문제인 개구부가 있는 사각평면에 대해 각각 수치해석을 수행한 결과 대폭적인 자유도의 감소에 비해 정확도 측면에는 기존의 방법과 차이가 없음을 볼 수 있었다. 본 논문에서 제시된 방법은 기저함수 고차화 저매개변수 직접 경계요소법(subparametric high order boundary element)과 이에 기초를 둔 저매개변수 고차 이중경계요소법(subparametric high order dual boundary element)의 초석이 될 수 있을 것이다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this study, the Kernel integration scheme for 2D linear elastic direct boundary element method has been discussed on the basis of subparametric element. Usually, the isoparametric based boundary element uses same polynomial order in the both basis function and mapping function. On the other hand, the order of mapping function is lower than the order of basis function to define displacement field when the subparametric concept is used. While the logarithmic numerical integration is generally used to calculate Kernel integration as well as Cauchy principal value approach, new formulation has been derived to improve the accuracy of numerical solution by algebraic modification. The subparametric based direct boundary element has been applied to 2D elliptical partial differential equation, especially for plane stress/strain problems, to demonstrate whether the proposed algebraic expression for integration of singular Kernel function is robust and accurate. The problems including cantilever beam and square plate with a cutout have been tested since those are typical examples of simple connected and multi connected region cases. It is noted that the number of DOFs has been drastically reduced to keep same degree of accuracy in comparison with the conventional isoparametric based BEM. It is expected that the subparametric based BEM associated with singular Kernel function integration scheme may be extended to not only subparametric high order boundary element but also subparametric high order dual boundary element.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

앞서 Kernel 함수를 적분하기 위하여 제시한 r식의 정확도를 검증하기 위해 다음과 같은 예제를 해석하였다. 변위와 응력의 상세한 검토는 생략했으며, 제시한 r식을 이용한 적분이 최종적으로 해에 미치는 영향을 검토하는 것을 주목적으로 하였다.
본 논문에서는 간략하게 직접 경계요소법에 대한 내용을 알아보았고, 저매개변수 경계요소의 구현과 그 구현에서 결정적인 역할을 하는 선형함수사상, 적분방법과 그에 의한 해의 성질변화에 대해 살펴보았다.
이러한 특이적분은 약특이적분(weak singular integral), 강특이적분(strong singular integral)으로 나눌 수 있는데, 경계 요소법을 통해 구한 해의 정확도에 결정적인 영향을 미치게 된다. 본 논문에서는 직접 경계요소법에 대해 간단히 정리하고 저매개변수 요소(subparametric element)를 사용할 경우 경계요소법의 핵심에 해당하는 커널(Kernel) 함수의 적분법에 대해 새로운 수식을 유도하고 정확도와 강건성을 검증하는 것을 목적으로 한다.
또한 기준값으로 설정한 FEM과 비교에서도 빠른 수렴을 보여주었다. 본 연구는 추후 진행될 저매개변수 고차경계요소(subparametric high order boundary element)를 구성하는데 기본적인 틀을 제공하는데 의의를 찾을 수 있다.

가설 설정

본 논문에서 구현하고자 하는 직접 경계요소는 해를 근사하는 기저함수의 경우 2차를, 영역을 모사하는 사상함수는 1차로 가정하였다. 아울러 본 연구에 사용된 함수는 모두 Lagrange 함수로, 유한요소법에서 사용한 함수와 같으며 2차원 문제를 다루고 있으나, 경계요소법의 특성상 1차원에 해당하는 함수를 사용하고 있다.

제안 방법

경계조건은 그림 4에서 보는 바와 같이 변형형상을 확실히 확인하기 위해 좌변고정을 선택하였고, 우변에는 등분포 하중 1N/mm를 오른쪽방향으로 적용했다. 재료상수는 앞선 예제와 동일하게 E = 1000N/mm² , v = 0.
다음으로 저매개변수요소의 수렴정도를 보이기 위해 표 1에서 나타낸 바와 같이 몇 단계별 해석을 수행하고 수렴곡선을 나타내어 보았다.
본 방법의 수렴상황을 알아보기 위해 표 1에 나타낸 바와 같이 단계적인 세분화 모델에 대하여 해석을 수행하였다. 표 2에서는 해석모델 3번의 결과와 FEM값을 비교해 본 논문에서 유도된 저매개변수요소 적분식의 옳음을 판단해 보았다.
비교의 기준값을 얻기 위해 FEM해석값을 사용했고 선형 및 등간격으로 분할하였으며 각 4가지의 모델 이용하여 해석을 수행하였다. 아울러 비교의 기준값을 결정하기 위해 응력 집중이 일어나는 σxx의 해석값을 나타내보았다.
아울러 해의 기저함수로 2차 함수를 영역의 사상 및 적분 시 자코비안(Jacobian)값 계산에는 1차 함수를 사용하여 직접 경계요소법을 구성하여 보았다. 그 결과, 해의 기저함수와 영역의 사상함수를 동일한 차수로 취하는 등매개변수(isoparametric)요소에 비해 정확도면에서 차이가 없음을 알 수 있었고 저매개변수를 사용할 경우 Kernel 함수를 적분하기 위해 유도한 r식이 제대로 작동하는 것을 검증할 수 있었다.
해석예제로서 닫힌 영역이며 다중연결영역의 대표적인 형태인 외부 경계와 가운데 구멍이 존재하는 영역을 해석하였다. 본 영역은 상자형 암거(box culvert) 형태를 나타내고 있으며 내부 빈영역은 요소번호를 시계방향으로 입력하였다.
해석예제로서 닫힌 영역이며 단순연결영역의 대표적인 형태인 외팔보를 해석했다. 왼쪽은 모두 고정단으로 처리하였고, 오른쪽 자유단부에 등분포하중 1N/mm을 아랫방향으로 작용하도록 했다.

대상 데이터

따라서 이 절점을 모우드라고 정의할 수 없으므로 순수기저 절점이라고 정의하였다. 본 논문에서는 이 순수기저절점의 위치를 Lagrange 형상함수의 3개중 가운데에 해당하는 함수의 대표절점 위치인 가운데로 선정했다. 왜냐하면 기저함수값이 해당절점위치에서 1(단위값)이 된다면, 선형방정식에서 도출되는 해당절점의 미지수 값을 추가적인 보간계산없이 직접적인 해로 인정될 수 있기 때문이다.
재료상수는 앞선 예제와 동일하게 E = 1000N/mm2 , v = 0.25로 설정하였고, 해의 기저함수로는 2차를 사용하였고, 사상함수로는 1차를 사용하였다.

데이터처리

해의 기저함수로는 2차를 사용하였고, 사상 함수로는 2차와 1차를 사용하여 비교하였다. 해석영역은 높이가 10m에 달하여 깊은 보의 형태라고 할 수 있으며, 선형 탄성 2차원 평형방정식에 대한 평면응력 해와 비교를 하였다. 그림 1은 해석영역의 제원을 나타내고 있으며, 그림 2는 저매개변수 경계요소를 이용한 해석영영분할과 그에 따른 절점번호상황을 보여주고 있다.

이론/모형

이 특이적분은 적분값은 존재하나 피적분함수값에 ±∞가 존재하는 경우로 가우스적분에 의해 계산될 수 없으며, 로그가 피적분함수일 경우 log 수치적분법을 사용하여 적분한다.

성능/효과

표 2에서는 해석모델 3번의 결과와 FEM값을 비교해 본 논문에서 유도된 저매개변수요소 적분식의 옳음을 판단해 보았다. 그 결과 적분식은 올바르게 유도되었으며 정확도에 있어서도 문제가 없다고 판단할 수 있다
아울러 해의 기저함수로 2차 함수를 영역의 사상 및 적분 시 자코비안(Jacobian)값 계산에는 1차 함수를 사용하여 직접 경계요소법을 구성하여 보았다. 그 결과, 해의 기저함수와 영역의 사상함수를 동일한 차수로 취하는 등매개변수(isoparametric)요소에 비해 정확도면에서 차이가 없음을 알 수 있었고 저매개변수를 사용할 경우 Kernel 함수를 적분하기 위해 유도한 r식이 제대로 작동하는 것을 검증할 수 있었다. 또한 기준값으로 설정한 FEM과 비교에서도 빠른 수렴을 보여주었다.
그로 인해 식 (14,17,20)에 해당하는 특이 값을 분리하고 계산하기 위해 소스포인트와 필드포인트 간의 거리인 r값을 계산하는 수식을 새롭게 유도하여야 한다(Harari, 1997). 두 번째로 직선경계를 계산할 경우 불필요한 사상함수 계산을 배제할 수 있으므로 계산량의 감소와 계산정확도를 높일 수 있다. 그 외 사용해야 하는 적분점의 개수에 대해서는 기저함수의 차수에 지배를 받으므로 이에 있어서는 차이가 없고, 외형적으로 보이는 이산화 방정식인 식 (23)의 형태도 차이가 없다(Ameen, 2001).
그에 비해 해석값의 수렴상황은 저매개변수 BEM의 경우 빠르게 증가하여 해석모델 3에서 기준값으로 사용한 FEM 값과 비슷한 값을 보여주고 있다. 따라서 본 논문에서 사용한 방법이 수렴속도가 빠른 것을 알 수 있으며 저매개변수 BEM과 등매개변수 BEM에도 차이가 없는 것을 볼 수 있다. 또한 그림 10의 아래쪽 그래프에 나타낸 오차량도 감소하는 것을 볼 수 있다.
그 결과, 해의 기저함수와 영역의 사상함수를 동일한 차수로 취하는 등매개변수(isoparametric)요소에 비해 정확도면에서 차이가 없음을 알 수 있었고 저매개변수를 사용할 경우 Kernel 함수를 적분하기 위해 유도한 r식이 제대로 작동하는 것을 검증할 수 있었다. 또한 기준값으로 설정한 FEM과 비교에서도 빠른 수렴을 보여주었다. 본 연구는 추후 진행될 저매개변수 고차경계요소(subparametric high order boundary element)를 구성하는데 기본적인 틀을 제공하는데 의의를 찾을 수 있다.

후속연구

본 연구에서 틀을 마련한 저매개변수 선형탄성 직접 경계 요소는 특히 재료비선형해석, 동적해석, 파괴역학분야, 무한 영역을 해석해야 하는 지반분야에서 정확한 결과를 제공할 수 있을 것으로 기대된다.
마지막으로, 응력집중이 일어나는 부분에 대하여 응력값을 그림 10으로 나타내보았다. 이 부분은 응력집중현상으로 인해 부분적으로 항복영역이 발생하기 때문에 설정된 기준값이 매우 정확하다고 하기는 어려우나 자유도 사용수에 따른 해의 수렴정도를 비교할 수 있는 척도로 사용될 수 있을 것으로 판단된다. 그림 10에서 보는 바와 기준값의 자유도는 3646으로 저매개변수 경계요소 해석모델 4번에 비해서도 29.
저매개변수 요소(우광성, 2006; 2009; 조준형, 2011)는 근사해석에서 해의 기저를 이루는 기저함수(basis function)의 차수에 비해 해석영역을 사상(mapping)하기 위해 도입되는 함수의 차수가 낮은 것을 의미한다. 이 요소는 향후 진행될 저매개변수 고차경계요소(subparametric high order boundary element)를 구성하는데 기본적인 틀을 제공할 것으로 생각된다(우광성 등, 2009). 저매개변수 요소의 이론은 매우 간단하나, 아직까지 본격적으로 사용되지는 않고 있으며, 상자형 암거(box culvert) 등 형상이 사각형모양으로 간단하고 외부가 반무한 지반 등으로 둘러 쌓여있는 경우 필요한 계산량을 줄일 수 있는 대안이 될 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	특이적분의 종류는?	특히 기본해(fundamental solution)의 유무가 경계요소법의 구현에 결정적인 영향을 미치므로 그 적용분야가 유한요소법에 비해 넓지 않은 것이 사실이며, 기본해가 존재해도 계수행렬을 구하기 위해 수행해야 하는 적분에 특이적분(singular integral)이 발생하여 계산이 쉽지 않다. 이러한 특이적분은 약특이적분(weak singular integral), 강특이적분(strong singular integral)으로 나눌 수 있는데, 경계 요소법을 통해 구한 해의 정확도에 결정적인 영향을 미치게 된다. 본 논문에서는 직접 경계요소법에 대해 간단히 정리하고 저매개변수 요소(subparametric element)를 사용할 경우 경계요소법의 핵심에 해당하는 커널(Kernel) 함수의 적분법에 대해 새로운 수식을 유도하고 정확도와 강건성을 검증하는 것을 목적으로 한다.
	저매개변수 요소란 무엇인가?	저매개변수 요소(우광성, 2006; 2009; 조준형, 2011)는 근사해석에서 해의 기저를 이루는 기저함수(basis function)의 차수에 비해 해석영역을 사상(mapping)하기 위해 도입되는 함수의 차수가 낮은 것을 의미한다. 이 요소는 향후 진행될 저매개변수 고차경계요소(subparametric high order boundary element)를 구성하는데 기본적인 틀을 제공할 것으로 생각된다(우광성 등, 2009).
	미분방정식의 근사해석 방법 중에서 경계요소법이 유한요소법만큼 널리 사용되고 있지 못하는 이유는?	그러나 유한요소법대비 선형방정식을 유도하는 방식과 적분을 수행하는 방법 등에서 차이를 보여 유한요소법만큼 널리 사용되고 있지는 못하다(Basu, 2003; Oden, 1982; Reddy, 1996). 특히 기본해(fundamental solution)의 유무가 경계요소법의 구현에 결정적인 영향을 미치므로 그 적용분야가 유한요소법에 비해 넓지 않은 것이 사실이며, 기본해가 존재해도 계수행렬을 구하기 위해 수행해야 하는 적분에 특이적분(singular integral)이 발생하여 계산이 쉽지 않다. 이러한 특이적분은 약특이적분(weak singular integral), 강특이적분(strong singular integral)으로 나눌 수 있는데, 경계 요소법을 통해 구한 해의 정확도에 결정적인 영향을 미치게 된다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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