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문제 정의
- 룬 논문에 대해서 이와 같은 양상을 보였다. 본 연구에서는 가우스 적분점에서의 응력을 최적화하기 위한 필요한 다항식으로 표현되는 응력함수를 얻기 위해 최소제곱법이 사용되었는데, 이 방법은 이미 인장력을 받는 L-형 평판문제와 균열 판 문제에 적용하여 좋은 결과를 보여주고 있다. 물론, 응력 함수를 구하기 위해 Z/Z가 제안한 최소제곱법 대신에 정규크리깅 보간법을 사용하여 복구응력에 가중치를 부여하여 최적으로 보간하려는 시도(우광성 등, 2006)도 있었다.
제안 방법
- 단 각 절점이 보유한 자유도는 증가하므로 요소를 재 생성시키는 알고리즘에 자유도와 경계조건의 생성부분을 수정하여 적용했다.
- 대체하여 에너지 노름 또는, 합응력노름(stress resultant norm)을 산정하며 , 이를 이용하여 각 요소의 상대오차를 평가한다. 따라서 , 유한요소해석에 의한 정해를 추정할 수 있게 되면 준정해를 사용하지 않고 직접적으로 오차를 정확하게 평가할 수 있게 된다.
- 이를 기반으로 형상함수의 차수를 요소망에 합응력의 수준이 높은 곳에서는 고차의 형상함수로, 낮은 곳에서는 저차의 형상 함수를 불균등(non-uniformly)하게 또는 선택적으로 배치하는 선택적 p■분배(selective p-distribution) 방식이 사용된다. 아울러 본 연구에서는 Z/Z의 초수렴해를 정해로 가정하는 것은 물론, Babuska가 제안한 p-Version 유한요소법의 오차추정식에 기초를 둔 외삽방정식에도 근거하여 정해를 추정한 후 사후오차평가를 별도로 실시하였다. 이 두 가지 방법을 서로 비교하여 제안하고 있는 오차평가 알고리즘의 적정성을 평가하였다.
- 반면에, 『version의 경우는 요소간의 형상 함수의 차수를 불균등하게 사용할 수 있으므로 그림 1과같이 비대칭의 가우스 적분점을 가질 수 있고, 차수가 증가함에 따라 가우스적분점의 갯수는 Ng 乂 N以 되며 , 식 (12)에 의해 Ng를 결정하도록 하였다. 요컨대, p-version 유한요소법에 사용된 형상함수에 맞추어 가우스적분점을 변화시키고 이에 대응하는 합응력을 이용함과 동시에 최소제곱법의 기저함수의 차수를 변화시켜서 오차량을 평가하였다.
- 아울러 본 연구에서는 Z/Z의 초수렴해를 정해로 가정하는 것은 물론, Babuska가 제안한 p-Version 유한요소법의 오차추정식에 기초를 둔 외삽방정식에도 근거하여 정해를 추정한 후 사후오차평가를 별도로 실시하였다. 이 두 가지 방법을 서로 비교하여 제안하고 있는 오차평가 알고리즘의 적정성을 평가하였다. 연구결과로부터 적응적, 체눈설계 단계가 진행됨에 따라 자유도의 증가에 따라 오차량은 급격히 감소되는 것을 알 수 있었고, 제안된 오차지표(error indicator) 에 의한 적응적 p■체눈 세분화는 최적 p■분배 진행 방향에 근접하는 것을 볼 수 있었다.
- »체눈 세분화에 사용된 오차평가기법은 Z/Z에 의해 제안된 응력값 복구를 이용하는 방법이 일차적으로 모색되었으며, 기존의 방식을 적응적 »체눈 세분화를 위해 다소 수정하였다. 즉, Z/Z 접근법으로 불리는 SPR 기법을 계증적 형상함수에 기초를 두는 기존의 p-version 유한요소법에 적용할 때 나타나는 결과와 오차를 평가하였다. 이 때 평면응력 문제나 평면변형 문제의 유한요소해석 후에 계산되는 2차원 응력(우광성 등, 2003) 대신 휨모멘트와 전단력으로 정의되는 합응력을 복구하는 방식을 취했다.
- 따라서, 합응력 불연속의 분배는 특정요소의 합 응력값이 둘러 싸여진 다른 요소들 중 어떤 요소들에 의해 영향을 크게 받는지를 평가하는 의미를 담고 있다. 즉, 합응력 불연속을 최소제곱법의 원리에 따라 주위의 요소로 배분시키는 과정이 일어나는데, 여기서 인접 요소의 영향을 가장 크게 받는 경우를 평가하도록 하였다.
- 처음 시작되는 초기체눈은 모두 0 = 1차로 고정하였다. 체눈설계는 그림 3과 그림 4에 나타난 바와 같이 대칭성을 감안하여 1/4모델을 해석하였으며 12-요소, 27-요소로 초기 요소망을 구축하였다. 각 해석 단계에서 형상함수는 불균등하게 분포되었으며 Energy Norm 을 이용해 상대오차를 계산하여 수렴정도를 판단하였다.
대상 데이터
- 해석예제는 그림 2와 같이 적응적 유한요소법의 예제로 많이 사용되는 휨을 받는 L-형 평판을 선택하였다. 영역은 a =0.
데이터처리
- 체눈설계는 그림 3과 그림 4에 나타난 바와 같이 대칭성을 감안하여 1/4모델을 해석하였으며 12-요소, 27-요소로 초기 요소망을 구축하였다. 각 해석 단계에서 형상함수는 불균등하게 분포되었으며 Energy Norm 을 이용해 상대오차를 계산하여 수렴정도를 판단하였다.
이론/모형
- 이들의 연구는 주로 잔차기법에 기초를 둔 방식인데 일정단계 力-체눈세분화를 진행하다가 요소의 형상함수를 전 요소에 균등하게 1차에서 2차로 증가시키는 방식이거나, p의 차수를 고차로 증가시킬 경우는 요소 망의 p■차수 분배를 수동으로 증가시키는 등 广체눈에 대한요소 자동화가 미흡한 단계①unuvant 등, 1983; Bertoti 등 1998)라 할 수 있다. Z/Z가 제안한 오차평가기법의 p- 체눈 세분화는 Oh와 Batra(1999)에 의해 시도되었다. 이들은 형상함수의 차수를 p=l차에서 최대 p=4차까지 균등하게 증가시키는 방식을 택하고 있기 때문에 초기체눈은 비교적 많은 개수의 요소망으로 시작하게 된다.
- 본 논문에 사용된 요소는 Reissner-Mindlin 평판 이론에 기초를 두었고, 기본적인 형태는 다음과 같다.
- 본 논문에서는 기존에 제안된 p■체눈 세분화 방법의 검증을 하기 위해 역학적 거동이 보다 보잡한 휨을 받는 L-형 평판 문제에 적용하였다. »체눈 세분화에 사용된 오차평가기법은 Z/Z에 의해 제안된 응력값 복구를 이용하는 방법이 일차적으로 모색되었으며, 기존의 방식을 적응적 »체눈 세분화를 위해 다소 수정하였다.
성능/효과
- 본 논문에서 제안한 방법은 요소의 절점자유도가 높아지면 높아질수록 줄어드는 자유도의 수도 많아지므로 더욱 더 높은 계산 효율을 나타내게 된다. 근래에 컴퓨터의 발달로 인해 상상을 초월하는 수억 단위 자유도 수를 사용해 해석을 수행하는 경우를 볼 수 있는데 결국 이러한 수행들은 적응적 해석을 동반하지 않는다면 그만큼의 자원낭비를 부른다.
- 이 두 가지 방법을 서로 비교하여 제안하고 있는 오차평가 알고리즘의 적정성을 평가하였다. 연구결과로부터 적응적, 체눈설계 단계가 진행됨에 따라 자유도의 증가에 따라 오차량은 급격히 감소되는 것을 알 수 있었고, 제안된 오차지표(error indicator) 에 의한 적응적 p■체눈 세분화는 최적 p■분배 진행 방향에 근접하는 것을 볼 수 있었다.
- 인장력을 받는 2차원 평면응력/변형 문제에 적용되어 유효함을 보인 적응적 p■세분화는 평판의 휨문제에 적용되어도 역시 유효함을 알 수 있었다. p-세분화의 경우 응력의 변화가 완만한 곳에서 저차함수, 즉 자유도의 양을 줄이고 합 응력 또는 응력의 변화가 급한 곳은 고차함수 즉 자유도의 수를 늘려서 계산하기 때문에 그 효율성은 더 높다고 할 수 있다.
- 평판의 휨문제에서 제안된 오차평가기법은 휨에 의한 합 응력이 집중되는 경우를 인식하여 형상함수의 차수를 높이는 효과를 볼 수 있었다.
후속연구
- 근래에 컴퓨터의 발달로 인해 상상을 초월하는 수억 단위 자유도 수를 사용해 해석을 수행하는 경우를 볼 수 있는데 결국 이러한 수행들은 적응적 해석을 동반하지 않는다면 그만큼의 자원낭비를 부른다. 아울러 수학적인 논의이며 본 논문의 바탕이 되는 유한요소법의 초수렴점의 위치에 관한 수학적인 고찰과 오차량 계산시 응력복구기법이 가진 수학적 의미는 깊이 있게 고려되어야 할 필요가 있다.
- 즉, 필요한 곳에 더 많은 자유도를 분배하는 개념이라 할 수 있다. 이러한 개념은 더 나아가 같은 요소의 비선형 문제에서도 휠씬 더 효율적인 해를 찾아낼 수 있는 수단을 제공할 것으로 생각된다.
- 또한, 적응적 유한 요소해석을 수행하기 위해 사용된 오차평가법의 오차를 현재 해석 값의 오차로 인정할 수 있다면 정확한 오차계산을 위해더 이상의 부가적 계산이 필요 없으므로 계산효율을 높일 수 있다. 이러한 효율성을 더 높이기 위해, 그리고 좀 더 안정적인 수치연산을 도모하기 위해서 hp■체눈 세분화 방식을 택해야 할 것으로 생각된다.
- 정확한 오차평가는 적응해석을 위해서도 중요하지만 해의 신뢰성을 높이는 목적을 위해 중요하다. 해의 신뢰성이 높다면 그 해를 사용 할 경우도 휠 씬 더 안정적으로 사용할 수 있을 것이다. 엄밀히 보면 근사해석을 수행해 문제를 해석한 후 오차량을 모른다는 것은 해석을 완전히 수행했다고 볼 수 없다.
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