[논문]비균일 수렴허용오차 방법을 이용한 분지한계법 개선에 관한 연구

정상진; 최경현; 최동훈

doi:10.3795/ksme-a.2012.36.4.361

[국내논문] 비균일 수렴허용오차 방법을 이용한 분지한계법 개선에 관한 연구
A Non-Uniform Convergence Tolerance Scheme for Enhancing the Branch-and-Bound Method 원문보기

大韓機械學會論文集. Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers. A. A, v.36 no.4, 2012년, pp.361 - 371

정상진 (한양대학교 대학원 기계공학과) , , 최경현 (한양대학교 산업공학과) , 최동훈 (한양대학교 최적설계신기술연구센터)

초록
AI-Helper

혼합이산비선형계획법(mixed-discrete nonlinear programming) 문제의 최적화를 위한 대표적인 기법 중에 하나인 분지한계법(branch-and-bound method)은 다른 기법에 비해 강건하지만 분지한계법 내부의 각 노드마다 연속최적화를 수행해야 하기 때문에 많은 함수 계산이 요구되는 것으로 알려져 있다. 이러한 분지한계법의 단점을 극복하기 위하여 크게 두 가지 연구를 수행하였다. 먼저, 분지한계법의 각 노드마다 동일한 수렴허용오차를 설정해주던 기존의 방법을 대체할 수 있는 비균일 수렴허용오차 방법을 제안하였다. 또한 분지한계법에 적용할 수 있는 5 가지 분지순서 방법 중에서 분지한계법의 성능을 가장 극대화할 수 있는 분지순서 방법을 제시하였다. 수렴허용오차 방법과 분지순서 방법들을 각각 선택하여 분지한계법에 적용한 후 7 개의 수학예제와 4 개의 공학예제에 대하여 테스트를 수행한 결과, 제안된 비균일 수렴허용오차 방법과 5 가지 분지순서 방법 중 최소간 격차이법을 분지한계법에 함께 적용할 경우 분지한계법의 성능이 가장 극대화 됨을 확인할 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

In order to improve the efficiency of the branch-and-bound method for mixed-discrete nonlinear programming, a nonuniform convergence tolerance scheme is proposed for the continuous subproblem optimizations. The suggested scheme assigns the convergence tolerances for each continuous subproblem optimization according to the maximum constraint violation obtained from the first iteration of each subproblem optimization in order to reduce the total number of function evaluations needed to reach the discrete optimal solution. The proposed tolerance scheme is integrated with five branching order options. The comparative performance test results using the ten combinations of the five branching orders and two convergence tolerance schemes show that the suggested non-uniform convergence tolerance scheme is obviously superior to the uniform one. The results also show that the branching order option using the minimum clearance difference method performed best among the five branching order options. Therefore, we recommend using the "minimum clearance difference method" for branching and the "non-uniform convergence tolerance scheme" for solving discrete optimization problems.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

먼저, 분지한계법의 각 노드마다 동일한 수렴허용오차(convergence tolerance)를 설정해주던 기존의 방법을 대신할 수 있는 비균일 수렴허용오차 방법(non-uniform convergence tolerance scheme)을 제안한다. 또한 기존에 알려져 있는 다양한 분지순서 방법(branching order method)간의 비교를 통해 분지한계법의 성능을 가장 극대화시키는 분지순서 방법을 제시하고자 한다.
이러한 분지한계법의 단점을 극복하기 위하여 본 연구에서는 각 노드마다 수렴허용오차를 다르게 설정해주는 비균일 수렴허용오차 방법을 제안하였다. 또한 분지한계법에서 분지를 수행할 때 상하한 범위를 재설정 할 설계변수를 선정하기 위해 개발된 5 가지 분지순서 방법 중 분지한계법의 성능을 가장 극대화할 수 있는 분지순서 방법이 무엇인지 알아보기 위한 연구를 수행하였다.
한편, Step 4 에서 볼 수 있듯이 분지한계법에서는 각 노드마다 최적화를 수행하기 때문에 다른 MDNLP 기법에 비해 효율성이 떨어지는 단점이 존재한다. 본 연구에서는 각 노드마다 수렴조건을 다르게 설정하여 분지한계법의 전체적인 효율성을 높이는 비균일 수렴허용오차 방법을 제안하였다. 2.
이때 어떤 설계변수를 선정하느냐에 따라 분지한계법의 효율성이 크게 달라진다. 본 연구에서는 다양한 예제를 통해 분지한계법의 성능을 가장 극대화할 수 있는 분지순서 방법이 무엇인지 분석해 볼 것이다.
본 연구에서는 분지한계법의 효율성을 높이기 위해서 Table 1 과 같이 각 노드의 수렴허용오차를 다르게 설정해주는 비균일 수렴허용오차 방법을 제안한다. Table 1 에서 볼 수 있듯이 이 방법에서는 g_max 의 크기에 따라 t_C, t_RF 값이 상대적으로 조정된다.
본 연구에서는 분지한계법의 효율성을 향상시키기 위하여 크게 두 가지 방법을 제안하였다. 먼저, 분지한계법의 각 노드마다 동일한 수렴허용오차(convergence tolerance)를 설정해주던 기존의 방법을 대신할 수 있는 비균일 수렴허용오차 방법(non-uniform convergence tolerance scheme)을 제안한다.
MDNLP 기법 중에서 가장 널리 이용되고 있는 기법 중에 하나인 분지한계법은 다른 MDNLP 기법에 비해 강건하지만 각 노드마다 부문제 최적화를 수행하기 때문에 많은 함수 계산이 요구되는 단점이 존재한다. 이러한 분지한계법의 단점을 극복하기 위하여 본 연구에서는 각 노드마다 수렴허용오차를 다르게 설정해주는 비균일 수렴허용오차 방법을 제안하였다. 또한 분지한계법에서 분지를 수행할 때 상하한 범위를 재설정 할 설계변수를 선정하기 위해 개발된 5 가지 분지순서 방법 중 분지한계법의 성능을 가장 극대화할 수 있는 분지순서 방법이 무엇인지 알아보기 위한 연구를 수행하였다.
그러나 기존의 분지한계법에서는 이러한 특성을 고려하지 않고 모든 노드에 동일한 수렴허용오차가 적용되었기 때문에, 불필요한 함수 계산으로 인해 분지한계법의 효율성이 나빠지는 경우가 많았다. 이를 개선하기 위하여 본 연구에서는 새로운 비균일 수렴허용오차 방법을 제안하고자 한다.

제안 방법

그러나 5 가지 방법 중 어떤 방법이 분지한계법의 성능을 가장 극대화 시키는지에 대한 연구가 부족한 상태이다. 3 장에서는 다양한 예제에 Tseng 이 제안한 분지순서 방법들을 적용하여 이 중 가장 효과적인 방법이 무엇인지 분석해 보고자 한다. 5 가지의 분지순서 방법은 다음과 같다.
Fig. 1 에서 볼 수 있듯이 만약 새로운 후보이산최적해가 얻어졌을 때 gmax 가 tC0/α 보다 크거나 같을 경우, tC, tRF를 각각 tC = tC0, tRF = tRF0로 재설정하여 SQP 가 종료된 시점부터 다시 알고리즘을 진행한다.
본 연구에서는 분지한계법의 효율성을 향상시키기 위하여 크게 두 가지 방법을 제안하였다. 먼저, 분지한계법의 각 노드마다 동일한 수렴허용오차(convergence tolerance)를 설정해주던 기존의 방법을 대신할 수 있는 비균일 수렴허용오차 방법(non-uniform convergence tolerance scheme)을 제안한다. 또한 기존에 알려져 있는 다양한 분지순서 방법(branching order method)간의 비교를 통해 분지한계법의 성능을 가장 극대화시키는 분지순서 방법을 제시하고자 한다.
본 논문의 2 장에서는 분지한계법의 소개, 제안된 비균일 수렴허용오차 방법, 분지순서 방법에 대해서 차례로 기술하고자 한다. 3 장에서는 7 개의 수학예제와 4 개의 공학예제를 이용하여 제안된 방법의 성능을 검증하고자 한다.
본 연구에서는 분지한계법의 효율성 비교를 위하여 식 (16)을 이용한 비교 방법을 이용하였다. 본 연구에서 이용한 11 가지 예제들은 설계변수의 개수 및 범위, 목적함수와 구속조건의 특성 등이 각기 다르다. 따라서 Table 4, 5 의 NF 값들을 상대적으로 비교하기 위해서는 식 (16)을 이용한 정규화가 필요하다.
본 연구에서는 크게 두 가지 수렴조건에 대한 수렴허용오차를 각 노드마다 다르게 설정해 주었다. 첫 번째 수렴조건은 해의 구속조건 위배 여부에 관한 것이다.
제안된 방법의 성능 검증 및 각 분지순서 방법의 비교를 위하여 본 연구에서는 균일 및 비균일 수렴허용오차 방법과 5 가지 분지 순서 방법들을 분지한계법에 각각 적용하여 테스트를 수행하였다.
노드의 상태는 크게 세 가지로 분류된다. 첫째, 노드에서 최적화를 수행하여 얻은 해가 기존의 후보이산최적해(incumbent)보다 목적함수 값은 더 좋으나 이산해(discrete solution)는 아닐 경우, 이 노드에서 분지를 수행한다. 이 노드들은 분지를 위해 활성화(active)되어 있으며, 이러한 노드에서 분지를 수행하면 기존의 후보이산최적해보다 더 좋은 이산최적해를 자식노드에서 얻을 가능성이 높아진다.

대상 데이터

본 연구에서는 제안된 방법의 성능을 검증하기 위하여 설계변수 및 함수의 형태가 각기 다른 7 개의 수학예제와 4 개의 공학예제를 이용하였다. Table 2 에는 각 예제의 종류, 설계변수 개수, 이산설계변수 개수, 설계변수의 종류, 이산 집합의 크기, 참고문헌이 정리되어 있으며, Table 3 에는 설계변수의 범위 및 허용 가능한 이산 값의 집합, 목적함수, 구속조건이 정리되어 있다.
제안된 수렴허용오차 방법의 성능 검증 및 각 분지순서 방법의 비교를 위하여 본 연구에서는 7 개의 수학예제와 4 개의 공학예제를 이용하였다. 테스트를 수행한 결과, 비균일 수렴허용오차 방법을 이용하는 개선된 분지한계법이 균일 수렴허용오차를 이용하는 기존의 분지한계법과 모든 예제에서 동일한 정확성을 보였다.

이론/모형

NLP 기법 중에서 강건하고 효율적인 방법으로 알려진 일반화된 환산경사도법(generalized reduced gradient method)⁽¹¹⁾이나 순차이차계획법(sequential quadratic programming, SQP)^(15,16) 등이 각 노드의 최적화를 위해 주로 이용되어 왔다. 본 연구에서는 Jung 등⁽¹⁹⁾이 개발한 SQP 를 이용하여 각 노드의 최적화를 수행하였다.
본 연구에서는 분지한계법의 효율성 비교를 위하여 식 (16)을 이용한 비교 방법을 이용하였다. 본 연구에서 이용한 11 가지 예제들은 설계변수의 개수 및 범위, 목적함수와 구속조건의 특성 등이 각기 다르다.
실제적인 공학 제품의 설계문제에는 연속설계변수(continuous design variable) 뿐만 아니라 규격화된 값들 중에서 설계변수 값이 선택되어야 하는 이산설계변수(discrete design variable)가 종종 존재한다. 이처럼 연속설계변수 및 이산설계변수가 함께 존재하거나 또는 이산설계변수만 존재하는 설계문제의 최적해를 얻기 위하여 혼합이산비선형계획법(mixed-discrete nonlinear programming, MDNLP) 이 개발되었다.

성능/효과

또한 제안된 방법을 이용한 분지한계법은 모든 예제에서 기존의 분지한계법보다 효율성이 뛰어남을 확인할 수 있었다. 5 가지 분지순서 방법 중에서는 최소간격차이법을 이용할 경우 분지한계법의 정확성 및 효율성이 가장 뛰어났다. 즉, 비균일 수렴허용오차 방법과 최소간격차이법을 분지한계법에 함께 적용한 경우, 가장 결과가 안 좋은 조합인 균일 수렴허용오차 방법 및 최대간격차이법을 이용하는 분지한계법에 비해 평균 36% 효율성이 더 좋았으며, 같은 최소간격차이법을 이용했으나 기존의 균일 수렴허용오차 방법이 함께 적용된 분지한계법 보다는 23% 정도 효율성이 향상된 결과를 얻을 수 있었다.
00 일 경우에는 해당 문제에 적용된 방법의 효율성이 가장 나쁨을 의미하며, 값이 작을수록 효율성이 좋음을 나타낸다. Table 6 에서 볼 수 있듯이 동일한 분지순서 방법이 선택된 상태에서 기존의 균일 수렴허용오차 방법보다 제안된 비균일 수렴허용오차 방법을 분지한계법에 적용할 경우, 모든 예제에서 효율성이 크게 향상된 결과를 도출할 수 있었다. 한편, 5 가지 분지순서 방법 중에서는 최소간격차이법(B3)을 이용할 경우 분지한계법의 효율성이 평균적으로 가장 우수하였다.
두 번째 수렴조건은 이전 설계점에서의 목적함수 값과 현재 설계점에서의 목적함수 값의 상대적인 차이가 수렴허용오차 t_RF 보다 작거나 같아야 한다는 것이다. t_RF는 주로 1.
이 노드들은 분지를 위해 활성화(active)되어 있으며, 이러한 노드에서 분지를 수행하면 기존의 후보이산최적해보다 더 좋은 이산최적해를 자식노드에서 얻을 가능성이 높아진다. 둘째, 노드에서 최적화를 수행하여 얻은 이산해가 기존의 후보이산최적해보다 목적함수 값이 좋을 경우, 이 해는 새로운 후보이산최적해가 된다. 이 노드에서는 더 이상 분지가 진행되지 않는다.
테스트를 수행한 결과, 비균일 수렴허용오차 방법을 이용하는 개선된 분지한계법이 균일 수렴허용오차를 이용하는 기존의 분지한계법과 모든 예제에서 동일한 정확성을 보였다. 또한 제안된 방법을 이용한 분지한계법은 모든 예제에서 기존의 분지한계법보다 효율성이 뛰어남을 확인할 수 있었다. 5 가지 분지순서 방법 중에서는 최소간격차이법을 이용할 경우 분지한계법의 정확성 및 효율성이 가장 뛰어났다.
문제 7 에서 분지순서 방법으로 B2, B3 을 이용했을 경우 이산최적해로 수렴하였으나, B1, B4, B5 를 이용한 분지한계법에서는 더 나쁜 해로 수렴하였다. 본 연구에서 제안한 비균일 수렴허용오차 방법을 이용한 분지한계법의 경우, 모든 예제에서 균일 수렴허용오차 방법을 이용하는 기존의 분지한계법과 동일한 이산최적해로 수렴하였다. 문제 7 의 경우 기존의 분지한계법과 마찬가지로 분지순서 방법으로 B2 와 B3 를 이용했을 때만 이산최적해로 수렴하였다.
1 에서 볼 수 있듯이 만약 새로운 후보이산최적해가 얻어졌을 때 g_max 가 t_C0/α 보다 크거나 같을 경우, t_C, t_RF를 각각 t_C = t_C0, t_RF = t_RF0로 재설정하여 SQP 가 종료된 시점부터 다시 알고리즘을 진행한다. 이 방법을 추가함으로써 기존의 균일 수렴허용오차 방법을 이용한 분지한계법과 동일한 정확성의 후보이산최적해를 노드에서 얻을 수 있었다.
즉, 비균일 수렴허용오차 방법과 최소간격차이법을 분지한계법에 함께 적용한 경우, 가장 결과가 안 좋은 조합인 균일 수렴허용오차 방법 및 최대간격차이법을 이용하는 분지한계법에 비해 평균 36% 효율성이 더 좋았으며, 같은 최소간격차이법을 이용했으나 기존의 균일 수렴허용오차 방법이 함께 적용된 분지한계법 보다는 23% 정도 효율성이 향상된 결과를 얻을 수 있었다. 이러한 결과들을 통해 본 연구에서 제안된 비균일 수렴허용오차 방법과 5 가지 분지순서 방법 중 최소간격차이법을 함께 분지한계법에 적용할 경우 분지한계법의 성능이 가장 극대화됨을 확인할 수 있었다.
5 가지 분지순서 방법 중에서는 최소간격차이법을 이용할 경우 분지한계법의 정확성 및 효율성이 가장 뛰어났다. 즉, 비균일 수렴허용오차 방법과 최소간격차이법을 분지한계법에 함께 적용한 경우, 가장 결과가 안 좋은 조합인 균일 수렴허용오차 방법 및 최대간격차이법을 이용하는 분지한계법에 비해 평균 36% 효율성이 더 좋았으며, 같은 최소간격차이법을 이용했으나 기존의 균일 수렴허용오차 방법이 함께 적용된 분지한계법 보다는 23% 정도 효율성이 향상된 결과를 얻을 수 있었다. 이러한 결과들을 통해 본 연구에서 제안된 비균일 수렴허용오차 방법과 5 가지 분지순서 방법 중 최소간격차이법을 함께 분지한계법에 적용할 경우 분지한계법의 성능이 가장 극대화됨을 확인할 수 있었다.
문제 7 의 경우 기존의 분지한계법과 마찬가지로 분지순서 방법으로 B2 와 B3 를 이용했을 때만 이산최적해로 수렴하였다. 즉, 제안된 방법을 이용한 분지한계법이 기존의 분지한계법과 동일한 정확성을 보이는 것을 확인할 수 있었다.
지금까지 Table 4, 5 의 결과를 정확성과 효율성 측면에서 분석한 결과, 본 연구에서 제안된 비균일 수렴허용오차 방법과 분지순서 방법 중 최소간격차이법을 분지한계법에 적용할 때 모든 예제에서 정확하면서도 가장 효율적으로 이산최적해를 도출할 수 있었다.
제안된 수렴허용오차 방법의 성능 검증 및 각 분지순서 방법의 비교를 위하여 본 연구에서는 7 개의 수학예제와 4 개의 공학예제를 이용하였다. 테스트를 수행한 결과, 비균일 수렴허용오차 방법을 이용하는 개선된 분지한계법이 균일 수렴허용오차를 이용하는 기존의 분지한계법과 모든 예제에서 동일한 정확성을 보였다. 또한 제안된 방법을 이용한 분지한계법은 모든 예제에서 기존의 분지한계법보다 효율성이 뛰어남을 확인할 수 있었다.
Table 6 에서 볼 수 있듯이 동일한 분지순서 방법이 선택된 상태에서 기존의 균일 수렴허용오차 방법보다 제안된 비균일 수렴허용오차 방법을 분지한계법에 적용할 경우, 모든 예제에서 효율성이 크게 향상된 결과를 도출할 수 있었다. 한편, 5 가지 분지순서 방법 중에서는 최소간격차이법(B3)을 이용할 경우 분지한계법의 효율성이 평균적으로 가장 우수하였다. 함께 적용된 수렴허용오차 방법이 다르더라도 최소간격차이법을 적용한 분지한계법의 성능이 상대적으로 가장 우수하였다.
한편, 5 가지 분지순서 방법 중에서는 최소간격차이법(B3)을 이용할 경우 분지한계법의 효율성이 평균적으로 가장 우수하였다. 함께 적용된 수렴허용오차 방법이 다르더라도 최소간격차이법을 적용한 분지한계법의 성능이 상대적으로 가장 우수하였다. 최소간격차이법은 현재 설계점과 그 설계점 근방의 이산 값과의 거리가 가장 먼 이산설계변수를 분지를 수행할 설계변수로 택하는 방법이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	혼합이산비선형계획법 문제의 최적화를 위한 대표적인 기법은 무엇인가?	혼합이산비선형계획법(mixed-discrete nonlinear programming) 문제의 최적화를 위한 대표적인 기법 중에 하나인 분지한계법(branch-and-bound method)은 다른 기법에 비해 강건하지만 분지한계법 내부의 각 노드마다 연속최적화를 수행해야 하기 때문에 많은 함수 계산이 요구되는 것으로 알려져 있다. 이러한 분지한계법의 단점을 극복하기 위하여 크게 두 가지 연구를 수행하였다.
	분지한계법의 단점은?	혼합이산비선형계획법(mixed-discrete nonlinear programming) 문제의 최적화를 위한 대표적인 기법 중에 하나인 분지한계법(branch-and-bound method)은 다른 기법에 비해 강건하지만 분지한계법 내부의 각 노드마다 연속최적화를 수행해야 하기 때문에 많은 함수 계산이 요구되는 것으로 알려져 있다. 이러한 분지한계법의 단점을 극복하기 위하여 크게 두 가지 연구를 수행하였다.
	많은 함수 계산이 요구되는 분지한계법의 단점을 극복하기 위한 연구는?	이러한 분지한계법의 단점을 극복하기 위하여 크게 두 가지 연구를 수행하였다. 먼저, 분지한계법의 각 노드마다 동일한 수렴허용오차를 설정해주던 기존의 방법을 대체할 수 있는 비균일 수렴허용오차 방법을 제안하였다. 또한 분지한계법에 적용할 수 있는 5 가지 분지순서 방법 중에서 분지한계법의 성능을 가장 극대화할 수 있는 분지순서 방법을 제시하였다. 수렴허용오차 방법과 분지순서 방법들을 각각 선택하여 분지한계법에 적용한 후 7 개의 수학예제와 4 개의 공학예제에 대하여 테스트를 수행한 결과, 제안된 비균일 수렴허용오차 방법과 5 가지 분지순서 방법 중 최소간 격차이법을 분지한계법에 함께 적용할 경우 분지한계법의 성능이 가장 극대화 됨을 확인할 수 있었다.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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