[논문]대수식과 디자인의 연결과정에서의 영재학생들의 수학적 사고 과정 분석

권오남; 정선아

doi:10.7468/mathedu.2012.51.1.047

[국내논문] 대수식과 디자인의 연결과정에서의 영재학생들의 수학적 사고 과정 분석
A study of gifted students's mathematical process of thinking by connecting algebraic expression and design activities 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series A. The Mathematical Education, v.51 no.1, 2012년, pp.47 - 61

권오남 (서울대학교) , 정선아 (고색중학교)

Abstract ▼ AI-Helper

Students can infer mathematical principles in a very natural way by connecting mutual relations between mathematical fields. These process can be revealed by taking tasks that can derive mathematical connections. The task of this study is to make expression and design it and derive mathematical principles from the design. This study classifies the mathematical field of expression for design and analyzes mathematical thinking process by connecting mathematical fields. To complete this study, 40 gifted students from 5 to 8 grade were divided into two classes and given 4 hours of instruction. This study analyzes their personal worksheets and e-mail interview. The students make expressions using a functional formula, remainder and figure. While investing mathematical principles, they generalized design by mathematical guesses, generalized principles by inference and accurized concept and design rules. This study proposes the class that can give the chance to infer mathematical principles by connecting mathematical fields by designing.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

본 연구에 있어 수식을 디자인 할 때, 식을 정확하게 시각적으로 표현할 수 있고, 시간과 노력을 절약하여 학생들이 의도한 디자인을 손쉽게 그릴 수 있도록 하기 위해 학생들로 하여금 GSP 프로그램을 이용하도록 하였다.
연구자는 n-k가 2, 짝수, 홀수일 때의 디자인을 분류한 D3학생의 사고과정을 알아보기 위해 이메일로 인터뷰하였다.
이에 본 연구는 NCTM에서 제시한 수학의 연결성과 Dewey의 미적 경험을 통한 교육의 이론적 토대에 따라 대수, 함수, 기하 등의 수학적 내용간의 내적 연결성 뿐 아니라, 수학의 실용성과 심미성을 활용하여 수학이 디자인과 융합되는 외적 연결성을 활용한 수업에서 학생들의 수학적 사고 과정을 연구하고자 한다.
이와 같이 a+b의 값에 따라 달라지는 디자인을 시각적으로 추측하고 이를 일반화고자 하였다.
즉, 디자인을 위한 식의 생성에 어떤 수학적 내용을 활용하였는지 분류하고, 디자인으로부터 수학적 원리를 찾아내고 분석 및 통합하는 과정에서의 영재 학생들의 수학적 사고의 변화를 분석하고자 한다. 따라서 본 연구는 다음과 같은 문제에 의해 연구를 하고자 한다.

가설 설정

D3 : 디자인 구성 도중 우연히 알게 된 사실로, 이유는 이렇습니다.

제안 방법

1차시에는 예시로 제시된 디자인 활동을 하였으며, 2차시에는 그 디자인을 분석하고 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하도록 하였다. 이후 3차시에는 모둠별로 식을 생성하고 디자인 규칙을 정하여 GSP를 활용하여 디자인하였으며, 4차시에는 자신들의 디자인을 분석하고 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 활동을 하여 총 4차시로 진행되었다.
3～4차시에는 문자를 사용해 대수적으로 식을 만들고 이를 시각화하는 규칙을 적용해 디자인 활동을 하도록 하였으며, 문자에 들어가는 숫자를 달리해 가면서 디자인이 어떻게 달라지는지 추측 및 확인해보도록 하였다. 역으로 디자인을 분석하며 수학적 개념 또는 정리에 대하여 추론 및 심도 있는 탐구를 하도록 하였으며 이 과정에서 공통적인 요소를 찾아 종합하여 수학적 정리를 유도하고 수학적 원리를 탐구하는 활동을 하도록 하였다.
C3 학생은 와 같이 대칭과 한붓그리기가 안 되고 한 점에 여러 선이 연결되는 디자인의 이유를 대수적 근거에 의해 분석하였다.
또한 삼각형이 한 줄에 한 개씩 만들어진다고 추론함으로써 삼각형의 개수의 합과 사각형의 개수의 합을 따로 구하였다. G1과 G2의 추론과정이 달랐으나 1사분면에서의 만들어지는 다각형의 개수를 구한 결과는 같았으며 G2는 삼각형과 사각형의 개수를 따로 구하는 과정에서도 수학적 추론을 사용하였다.
G1은 절편의 합에 따른 다갹형의 개수를 각각 구해 일반화하였으나, G2는 절편의 합을 m으로 놓고 디자인의 아랫줄부터 m-1번째 줄까지의 칸의 수를 m을 사용하여 표현하여 모든 칸의 수를 구하였다. 또한 삼각형이 한 줄에 한 개씩 만들어진다고 추론함으로써 삼각형의 개수의 합과 사각형의 개수의 합을 따로 구하였다.
나머지를 이용해 모래시계 디자인을 한 소집단 D의 디자인과 그 분석과정에서도 추론을 통한 일반화를 하였다. D2는 <그림Ⅳ-20>에서와 같이 (n, k)와(n ± 1, k ± 1)의 디자인이 같음을 이용하여 n-(k+1)의 값이 같으면 디자인도 같다는 추론을 하였다.
정삼각형의 무게중심과 꼭짓점을 연결한 후 생기는 밑변을 제외한 모든 변에 1부터 40까지 숫자를 매겼다. 두 점의 합이 41이 되도록 연결하면 곡선이 됨을 이용하여 새싹이라는 작품을 만들었다.
C2 학생은 l=2와 k=3의 디자인을 비교한 후 다른 k값들의 디자인에 대한 추측과정을 거쳐 k값이 커질수록 같은 함숫값을 갖는 경우가 적고 이에 따라 겹치는 부분이 적어 원 안의 선들이 단순해진다고 디자인을 특징을 일반화 시켰다. 또한 같은 k값에서도 a의 값 즉, 정의역의 범위가 커질수록 선분 수가 늘어날 것이라고 디자인의 특징을 일반화 하였다. 이는 공통적인 규칙이나 원리를 추측해 내고 그 추측한 사실을 디자인을 해봄으로서 다른 디자인에서도 그러한 규칙이 적용된다는 일반화 과정이 이루어진 것이다.
<그림 Ⅳ-17>와 같이 n과 k의 차가 1인 경우와 6인 경우를 두 명의 학생이 역할을 분담해 직접 그려본 후 이를 통해 n-k의 차가 클수록 디자인이 복잡해진다는 디자인의 특징을 일반화하였다. 또한 같은 n, k라 할지라도 정삼각형에서보다는 정사각형에서 디자인이 복잡해진다는 것을 이용해 다각형에 따른 디자인의 특징을 시각적으로 추측하고 이를 일반화하였다.
G1은 절편의 합에 따른 다갹형의 개수를 각각 구해 일반화하였으나, G2는 절편의 합을 m으로 놓고 디자인의 아랫줄부터 m-1번째 줄까지의 칸의 수를 m을 사용하여 표현하여 모든 칸의 수를 구하였다. 또한 삼각형이 한 줄에 한 개씩 만들어진다고 추론함으로써 삼각형의 개수의 합과 사각형의 개수의 합을 따로 구하였다. G1과 G2의 추론과정이 달랐으나 1사분면에서의 만들어지는 다각형의 개수를 구한 결과는 같았으며 G2는 삼각형과 사각형의 개수를 따로 구하는 과정에서도 수학적 추론을 사용하였다.
디자인 활동을 통해 시각적으로 추측 및 결과물의 확인 과정을 거쳐 이를 일반화하고자 하는 시도가 자연스럽게 이루어졌다. 삼각형의 변에 번호를 매겨 두 번호의 합을 일정하게 연결함으로서 새싹이라는 디자인을 한 소집단 B에서 B1학생은 디자인의 원리를 이용해 결과물을 추측하였다.
소집단 C의 가우스함수를 이용한 디자인에서 k값과 a값에 따라서 디자인이 어떻게 달라지는지 몇 개의 디자인 비교를 통해 추측하고 이를 일반화하려는 시도가 이루어졌다.
소집단별로 시각화된 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 과정에서 수학적 사고 과정을 분석하였다. 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 동안 학생들은 수학적 추측을 통한 디자인의 일반화, 추론을 통한 일반화, 수학적 개념과 디자인 규칙의 정교화 등의 의미 있는 수학적 사고 과정의 변화를 보였다
3～4차시에는 문자를 사용해 대수적으로 식을 만들고 이를 시각화하는 규칙을 적용해 디자인 활동을 하도록 하였으며, 문자에 들어가는 숫자를 달리해 가면서 디자인이 어떻게 달라지는지 추측 및 확인해보도록 하였다. 역으로 디자인을 분석하며 수학적 개념 또는 정리에 대하여 추론 및 심도 있는 탐구를 하도록 하였으며 이 과정에서 공통적인 요소를 찾아 종합하여 수학적 정리를 유도하고 수학적 원리를 탐구하는 활동을 하도록 하였다. <표 2>는 3～4차시에 학생들에게 부여된 과제이다.
또한 이 디자인들을 분석하고 수학적 원리를 탐구함에 있어서도 개인적 활동을 하였기 때문에 결과물이 모두 달랐다. 연구자는 3차시와 4차시에 작성한 개인 활동지를 걷어 소집단 내 다른 학생들과 비교하며 분석하였으며, 특히 4차시에 이루어진 디자인을 통한 수학적 원리 탐구에서 학생들이 디자인을 추측하고 확인하는 과정, 알고 있는 수학적 지식을 정리하고 추론하면서 이를 일반화하는 과정, 잘못된 수식의 표현 및 오 개념을 바로잡아 가는 과정을 심층적으로 분석하였다. 이후 활동지에서 드러나지 않은 사고 과정에 대해 알아보기 위해 소집단에서 수식을 생성함에 있어 주도적으로 참여한 학생과 이메일을 통한 1:1 인터뷰를 하였다.
연구대상은 영재성검사를 통해 선발된 경기도과학교육원 부설 전일제 영재교육원 대상자 40명이며 소집단별로 4명씩 구성하였다. 영재교육원 특성상 초등학교 5학년부터 중학교 2학년 학생들로 이루어져 있으며, 소집단은 영재교육원측의 학생고유번호 순서대로 4명씩 한 집단을 이루도록 구성하였고, 본 연구의 연구자가 직접 담당하여 지도하였다.
소집단 E의 거미줄 디자인에서도 시각적으로 추측하고 이를 디자인해봄으로서 디자인의 특징을 일반화하는 과정이 이루어졌다. <그림 Ⅳ-17>와 같이 n과 k의 차가 1인 경우와 6인 경우를 두 명의 학생이 역할을 분담해 직접 그려본 후 이를 통해 n-k의 차가 클수록 디자인이 복잡해진다는 디자인의 특징을 일반화하였다. 또한 같은 n, k라 할지라도 정삼각형에서보다는 정사각형에서 디자인이 복잡해진다는 것을 이용해 다각형에 따른 디자인의 특징을 시각적으로 추측하고 이를 일반화하였다.
이와 같이 수식의 생성과 그 수식을 디자인하는 사이에서 유연한 전환을 경험하고 그림으로 표현된 내용을 대수적으로 정리하며, 대수와 기하의 연결 고리를 형성하였다.
1차시에는 예시로 제시된 디자인 활동을 하였으며, 2차시에는 그 디자인을 분석하고 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하도록 하였다. 이후 3차시에는 모둠별로 식을 생성하고 디자인 규칙을 정하여 GSP를 활용하여 디자인하였으며, 4차시에는 자신들의 디자인을 분석하고 디자인으로부터 수학적 원리를 탐구하는 활동을 하여 총 4차시로 진행되었다. <그림 Ⅲ-1>은 학생들이 식을 생성하고 이를 디자인하는 과제에 대한 이해를 돕기 위해 제시된 예시 디자인으로서 1～2차시에 진행된 활동이다(박종률, 2009).
연구자는 3차시와 4차시에 작성한 개인 활동지를 걷어 소집단 내 다른 학생들과 비교하며 분석하였으며, 특히 4차시에 이루어진 디자인을 통한 수학적 원리 탐구에서 학생들이 디자인을 추측하고 확인하는 과정, 알고 있는 수학적 지식을 정리하고 추론하면서 이를 일반화하는 과정, 잘못된 수식의 표현 및 오 개념을 바로잡아 가는 과정을 심층적으로 분석하였다. 이후 활동지에서 드러나지 않은 사고 과정에 대해 알아보기 위해 소집단에서 수식을 생성함에 있어 주도적으로 참여한 학생과 이메일을 통한 1:1 인터뷰를 하였다.
정 n각형의 대각선에 의해 정 n각형이 나타남을 이용한 디자인으로 정 n각형에서 n이 8 이상일 경우에 n이 1만큼 늘어나면 내부에 생기는 도형도 한 개씩 늘어나는 규칙을 이용하였다.
정다각형을 각 변을 n등분하여 1에서 n까지의 자연수를 적고, n이하의 자연수의 각 원소와 그 원소에 k를 더한 수를 n으로 나눈 나머지를 연결하여 거미줄처럼 디자인하였다. 나머지가 0일 때는 n으로 연결하였다.
10개의 소집단 중 함수를 이용한 디자인 4개, 나머지를 이용한 디자인 4개, 도형을 이용한 디자인 2개로 분류가 되었다. 학생들은 숫자를 한정하고 디자인의 반복을 유도하기 위한 나머지 이용한 디자인, 수학적 연결성을 만드는 데 토양과 같은 역할을 하는 함수를 사용한 디자인, 도형 그 자체의 변화를 이용한 디자인, 이렇게 세 가지 수학적 내용을 활용한 디자인을 생성하였다.

대상 데이터

연구대상은 영재성검사를 통해 선발된 경기도과학교육원 부설 전일제 영재교육원 대상자 40명이며 소집단별로 4명씩 구성하였다. 영재교육원 특성상 초등학교 5학년부터 중학교 2학년 학생들로 이루어져 있으며, 소집단은 영재교육원측의 학생고유번호 순서대로 4명씩 한 집단을 이루도록 구성하였고, 본 연구의 연구자가 직접 담당하여 지도하였다.

성능/효과

그러나 디자인하고 이를 분석하는 과정에서 수학적 개념이 정교화 되어 과 같이 함수를 정확히 표현하게 되었으며, k값이 고정된 하나의 디자인에서는 k값이 변수가 아닌 상수라는 것을 표현하였다.
둘째, 그래프에 의해 1사분면을 나누는 다각형의 개수를 구하는데 있어 다양한 추론을 통해 규칙성을 발견하여 이를 일반화하는 과정을 보였으며, 디자인이 같은 변수를 분류하여 ‘추론을 통한 수식의 일반화’ 과정을 보였다.
소집단 G의 일차함수를 이용한 디자인에서 초등학생인 G1은 두 절편의 합이 달라짐에 따라 함수의 그래프에 의해서 1사분면을 나누는 다각형의 개수가 달라진다고 추론하였으며 절편의 합에 따른 칸의 수를 구하고 규칙성을 발견하여 이를 일반화하는 과정을 보였다.
첫째, 변수에 들어갈 숫자를 달리하며 여러 번의 디자인 활동과 디자인으로부터 수학적 원리를 발견하는 과정을 통해 디자인을 수학적으로 추측하고 이 디자인이 추측한데로 그려짐을 확인하여 디자인을 일반화 시키는 ‘추측을 통한 디자인의 일반화’ 과정을 보였다.

후속연구

이에 본 연구는 수학과 디자인 뿐 아니라 수학과 음악, 수학과 건축 등 학생들에게 다양한 수학적 연결성 과제를 부여함으로서 학생 스스로 수학적 내용간의 연결성 및 타 학문과의 연결성 수업을 통해 수학적 원리를 발견하고, 수학의 심미성 및 실용성를 체험할 수 있는 수업을 제언한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	학생들에게 소프트웨어를 통한 디자인 활동이 수학적 연결성을 위해 효과적인 이유는?	수학적 연결성을 위한 수업으로 소프트웨어를 통한 디자인 활동은 학생들에게 매우 효과적이다. 디자인에있어 기하프로그램을 사용하면 수식을 정확하게 시각적으로 표현할 수 있고, 시간과 노력을 절약하여 학생들이 의도한 디자인을 손쉽게 그릴 수 있다. 또한 수학적 환경을 재구성하여 학습자의 학습능력을 높여 줄 수 있고, 추상적인 수학적 개념을 구체적인 사고와 연결 시켜줄 수 있는 장을 제공하여 형식화된 기호 체계에 의한 대수적 표현을 의미 있게 이해할 수 있게 해준다(김남희 외, 2007). 수학과 다른 학문과의 연결로 디자인을 사용한 예를 살펴보자.
	수학적 연결이란?	수학적 연결(Mathematical Connection)은 NCTM의 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics에서 제시된 하나의 표준(Standard)으로, 수학의 서로 다른 내용 사이의 관련인 내적연결성 및 수학의 내용과 수학을 제외한 다른 학문의 내용 사이의 관련인 외적연결성을 의미한다(NCTM, 1989). 즉, 수학의 내적 연결성은 수학의 다른 내용들 사이의 관계와 수학적 아이디어 사이의 연결성을 인식하고 사용하는 것이며 수학적 아이디어들의 상호관계와 이것들이 어떻게 결합하여 일관된 전체를 이루는지 이해하는 것이다.
	경험의 연속성의 원리는 무엇을 의미하는가?	경험의 의미를 더해주는 것은 상호작용의 원리이며, 다음 경험의 방향을 결정할 능력을 증대시키는 것은 연속성의 원리이다(강흥규 외, 2005). 경험의 연속성의 원리란 모든 경험은 그것보다 선행하는 경험들로부터 무엇인가를 받아들이며, 동시에 그것에 후속하는 경험들의 특질을 어떠한 방식으로 변경시킨다는 사실을 의미한다. 사고라는 경험은 그 자체의 미적 성질을 지니고 있으며, 질서 있는 조직적인 운동을 통하여 도달한 내적 융합과 완성을 가진다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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