[논문]Navier-Stokes 방정식 모형의 경사지게 입사하는 파랑 내부조파

하태민; 남궁돈; 조용식

doi:10.3741/jkwra.2012.45.6.545

Navier-Stokes 방정식 모형의 경사지게 입사하는 파랑 내부조파
Directional Wave Generation in the Navier-Stokes Equations Using the Internal Wave Maker 원문보기

韓國水資源學會論文集 = Journal of Korea Water Resources Association, v.45 no.6, 2012년, pp.545 - 555

하태민 (한양대학교 건설환경공학과 BK21 사업단) , 남궁돈 (한양대학교 대학원 건설환경공학과) , 조용식 (한양대학교 공과대학 건설환경공학과)

초록
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컴퓨터 기술의 발달과 더불어 수치해석을 이용한 파랑변형에 대한 연구는 꾸준히 발전하고 있으며 점점 중요한 역할을 수행하고 있다. 하지만 수치모형을 이용한 연구에는 다양한 문제점이 발생할 우려가 있는데, 그 중 가장 빈번하게 발생하는 문제 중의 하나가 파랑의 조파지점에서 발생하는 수치수조내로의 재반사 문제이다. 재반사를 막기 위한 방법으로는 내부조파 기법을 이용하는 것이 일반적이다. Navier-Stokes 방정식 모형에서는 질량 원천항을 이용한 내부조파 기법을 주로 사용해 왔으나, 기존의 연구는 대부분 연직 2차원 수치모형을 이용한 연구에 국한되어 있었다. 그러나 3차원 수치모형을 이용한 연구가 점차 활발해지면서 3차원 Navier-Stokes 방정식 모형의 내부조파 기법에 대한 필요성이 증대되고 있다. 최근 RANS(Reynolds averaged Navier-Stokes) 방정식 모형에서 Boussinesq 방정식의 운동량 원천항을 활용하여 파랑을 내부조파하는 기법이 발표되어 3차원 공간에서 경사지게 입사하는 파랑을 성공적으로 재현하였다. 본 연구에서는 LES(large eddy simulation) 기반의 3차원 Navier-Stokes 방정식 수치모형에 운동량 원천항을 이용한 내부조파 기법을 적용하여 목표파랑을 조파하고 해석해와 비교하여 이를 검증하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

A numerical modeling has become increasingly popular and more important to the study of water waves with a rapid advancement of computer technology. However, different types of problems are induced during simulating wave motion. One of the key problems is re-reflection to a computation domain at the incident boundary. The internal wave generating-absorbing boundary conditions have been commonly used in numerical wave models to prevent re-reflection. For the Navier-Stokes equations model, the internal wave maker using a mass source function of the continuity equation has been used to generate various types of waves. Nonetheless, almost every numerical experiment is performed in two dimensions and only a few tests have been expanded to three dimensions. More recently, a momentum source function of the Boussinesq equations is applied to generate essentially directional waves in the three dimensional Navier-Stokes equations model. In this study, the internal wave maker using a momentum source function is employed to generate targeted linear waves in the three-dimensional LES model.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 이러한 수치 오차의 발생을 줄이기 위해 L자 형태의 조파영역을 구성하여 경사지게 입사하는 파랑을 내부조파하였다. Fig.

가설 설정

조파된 파랑은 수치수조의 중앙을 따라 합쳐지기 시작하고(Figs. 5(b) and 6(b)), 조파되지 않은 영역으로 발생하는 파랑의 회절 현상은 나타나지 않는다. 충분한 시간이 흐른 후에는 수치수조의 전 영역에서 파랑이 발달하게 된다(Figs.
RANS 방정식에 운동량 원천항을 적용하기 위해 z-축 방향으로 동일한 운동량 원천항을 가지는 것으로 가정하였으며, 조파영역의 너비를 결정하는 변수인 β는 수치모형이 안정적으로 목표파랑을 조파할 수 있도록 적절히 수정하여 사용하였다.
(1999)이 유도한 운동량 원천항은 수심적분된 방정식에서 유도된 형태이기 때문에 연직 방향(수심방향) 분포를 무시하고 있다. 따라서 본 수치모형에 적용하기 위해 연직방향으로 운동량 원천항이 동일하게 분포하도록 가정하였다. Wei et al.

제안 방법

(21)∼(22)의 운동량 원천항을 적용하여 3차원 공간에서 경사지게 입사하는 파랑을 조파하였다.
7 and 8은 L자형 내부조파기에 의해 조파된 파랑의 자유수면변위와 그에 해당하는 정현파의 정확해를 비교하고 있다. x축과 y축에 평행하게 절단된 수치수조의 각 단면에서 수치해석 결과와 정확해의 자유수면을 도시하였다. 계산된 결과를 보면 L자형 내부조파기의 x축과 y축을 따라 조파된 각 파랑이 수치수조 중앙에서 합쳐질 때, 약간의 교란이 발생하여 정확해와 살짝 어긋나는 것을 확인할 수 있다.
조파영역의 너비는 앞서 설명한대로 목표파랑의 주기에 맞추어 계산하였다. 내부조파기의 중심으로부터 파랑이 좌우방향으로 동시에 조파되기 때문에, 수치수조의 x축과 y축 경계에서는 소파영역을 두어 경계에서 에너지가 수치수조 안으로 반사되지 않도록 하였다. 소파 영역의 배치는 Eqs.
따라서, 이러한 수치오차를 방지하기 위해 조파영역의 너비가 입사파랑의 주기에 해당하도록 β값을 재설정하여 자유수면이 안정적으로 목표파랑을 재현해내도록 수정하였다.
따라서, 이러한 수치오차를 방지하기 위해 조파영역의 너비가 입사파랑의 주기에 해당하도록 β값을 재설정하여 자유수면이 안정적으로 목표파랑을 재현해내도록 수정하였다. 또한, 조파영역에서 조파된 파랑이 경계에서 재반사되어 영역 내에서 교란을 일으키는 걸 방지하기 위해 소파영역(sponge layer)을 두어 파랑 에너지를 감소시켰다. 소파영역을 도입하기 위해 Eqs.
01로 고정하여 수치해석을 수행하였으며, 서로 다른 4개의 주기를 가진 정현파를 내부조파하였다. 목표파랑의 주기는 각각 T = 2 sec, 3 sec, 5 sec, 7 sec로 설정하였으며, 선형파이론에 따라 kh = 1.205, 0.723, 0.412, 0.291의 값을 가지는 천해영역에서부터 중간수심영역에 해당하는 파랑으로 설정하였다. Eqs.
본 연구에서는 Choi and Yoon (2009)이 제안한 운동량 원천항을 이용하는 내부조파기법을 확장한 L자형 내부조파기법을 LES기반의 수치모형에 적용하였으며, 3차원 공간에서 경사지게 입사하는 정현파를 조파하고 정확해와 비교 및 검증하였다. 수치해석 결과 L자형 내부조파기법은 목표파랑의 조파에 효율적인 것으로 나타났으며, 구조물 등에 의한 파랑 변형에 대한 연구에 적용 가능한 것으로 판단된다.
일정한 경사를 가지는 완경사 지형은 지형변화에 의한 파랑의 변형을 잘 보여주는 지형으로서, 간단한 실험으로 수치모형의 성능을 검증할 수 있어 그 동안 많은 연구에서 사용되어 왔다. 본 연구에서는 완경사 지형에 경사지게 입사하는 파랑을 내부조파하여 파랑의 변형을 수치모의하였다. 입사파랑의 조파를 위해 앞서 설명한 L자 형태의 내부조파기법을 사용하였다.
첫 번째 실험으로 정현파를 내부조파하여 일정한 수심을 지나는 전파과정을 수치모의하였다. 여기서, 수심(d)는 1.0 m, 수심대 파고비(H/h)는 0.01로 고정하여 수치해석을 수행하였으며, 서로 다른 4개의 주기를 가진 정현파를 내부조파하였다. 목표파랑의 주기는 각각 T = 2 sec, 3 sec, 5 sec, 7 sec로 설정하였으며, 선형파이론에 따라 kh = 1.
그러나 수치수조내에 방파제 등의 구조물이 존재하여 입사파랑이 구조물에 반사되어 나올 경우, 반사된 파랑이 측면경계에서 외해로 빠져나가지 못하고 수치수조내에 쌓이게 되는 수치오류가 발생할 우려가 있다. 이러한 수치오류를 피하기 위해 본 연구에서는 새로운 형태의 내부조파기법을 적용하였으며, 수치해석 결과를 정확해와 비교하여 내부조파기법을 검증하였다.
지배 방정식인 Space-filtered Navier-Stokes 방정식의 해를 구하기 위해 Two-step projection 기법(Lin and Liu, 1998)을 사용하였다. 지배방정식의 대류항과 확산항은 중앙차분법과 풍상차분법을 적절히 혼합하여 이산화하였으며, 압력항의 계산에는 중앙차분법을 이용하여 지배방정식을 차분하였다. 자유수면의 추적을 위해서는 2차 정확도를 가진 VOF (volume of fluid) 기법을 사용하였다.
첫 번째 실험으로 정현파를 내부조파하여 일정한 수심을 지나는 전파과정을 수치모의하였다. 여기서, 수심(d)는 1.

이론/모형

Choi and Yoon (2009)은 Eqs. (12) and (13)의 운동량 원천항을 RANS 방정식 모형에 적용하여 목표파랑을 내부조파하였다. RANS 방정식에 운동량 원천항을 적용하기 위해 z-축 방향으로 동일한 운동량 원천항을 가지는 것으로 가정하였으며, 조파영역의 너비를 결정하는 변수인 β는 수치모형이 안정적으로 목표파랑을 조파할 수 있도록 적절히 수정하여 사용하였다.
(1999)은 Eq. (6)의 질량 원천항을 이용하여 Boussinesq 방정식 모형에서 내부조파를 수행하였다.
는 필터링한 유속장내의 내부응력을 나타낸다. 공간 필터링된 작은 규모의 난류 성분은 Smagorinsky LES 모형을 사용하여 고려한다(Smagorinsky, 1963).
본 연구에서는 선행 연구에서 3차원으로 확장이 가능했던 Choi and Yoon (2009)의 운동량 원천항을 이용한 내부조파기법을 Liu and Lin (2008)이 개발한 수치모형에 적용하였다. Choi and Yoon (2009)은 3차원 공간에서 경사지게 입사하는 파랑을 성공적으로 조파하였으며, 입사 파랑이 발달할 수 없는 측면경계에서 주기적 경계조건 (periodic boundary condition)을 사용하여 연안류를 재현하였다.
수치모형은 엇갈림 격자체계에서 유한차분법을 사용하여 지배방정식을 해석하였다. 엇갈림 격자의 중앙에서는 스칼라 값을 가진 압력과 VOF 값이 정의되고, 경계에서는 벡터값을 가진 유속과 중력가속도 등이 정의된다.
앞서 설명한 3차원 Navier-Stokes 방정식을 LES 기법을 적용하여 계산하는 수치모형에서 운동량 원천항을 이용하는 내부조파기법의 성능을 검증하기 위해 수치해석을 수행하였다. Wei et al.
본 연구에서는 완경사 지형에 경사지게 입사하는 파랑을 내부조파하여 파랑의 변형을 수치모의하였다. 입사파랑의 조파를 위해 앞서 설명한 L자 형태의 내부조파기법을 사용하였다. 입사파랑은 파고가 1 cm, 주기가 2.
지배방정식의 대류항과 확산항은 중앙차분법과 풍상차분법을 적절히 혼합하여 이산화하였으며, 압력항의 계산에는 중앙차분법을 이용하여 지배방정식을 차분하였다. 자유수면의 추적을 위해서는 2차 정확도를 가진 VOF (volume of fluid) 기법을 사용하였다. 이상의 수치기법에 대한 보다 자세한 설명은 Lin (2008)과 Liu and Lin (2008)을 참조할 수 있다.
엇갈림 격자의 중앙에서는 스칼라 값을 가진 압력과 VOF 값이 정의되고, 경계에서는 벡터값을 가진 유속과 중력가속도 등이 정의된다. 지배 방정식인 Space-filtered Navier-Stokes 방정식의 해를 구하기 위해 Two-step projection 기법(Lin and Liu, 1998)을 사용하였다. 지배방정식의 대류항과 확산항은 중앙차분법과 풍상차분법을 적절히 혼합하여 이산화하였으며, 압력항의 계산에는 중앙차분법을 이용하여 지배방정식을 차분하였다.

성능/효과

x축과 y축에 평행하게 절단된 수치수조의 각 단면에서 수치해석 결과와 정확해의 자유수면을 도시하였다. 계산된 결과를 보면 L자형 내부조파기의 x축과 y축을 따라 조파된 각 파랑이 수치수조 중앙에서 합쳐질 때, 약간의 교란이 발생하여 정확해와 살짝 어긋나는 것을 확인할 수 있다. 그러나 정확해와 비교할 때 파고가 약간 작게 나타날 뿐 위상차는 거의 없으며, 파고의 정량적인 차이도 매우 미세한 걸 확인할 수 있다.
그러나 정확해와 비교할 때 파고가 약간 작게 나타날 뿐 위상차는 거의 없으며, 파고의 정량적인 차이도 매우 미세한 걸 확인할 수 있다. 따라서 전체적으로 계산된 결과가 정현파의 정확해를 잘 나타내고 있다고 사료되며, 나아가 L자형 내부조파기를 사용하여 목표파랑을 정확하게 재현할 수 있다고 판단된다.
5(d) and 6(d)). 또한, x과 y축 방향 경계에 배치한 소파영역에서 외해로 빠져나가는 파랑을 흡수하여 재반사로 인한 오차가 나타나지 않는 것을 확인할 수 있다.
본 연구에서는 Boussinesq 방정식 모형에서 사용한 β값을 동일하게 사용할 경우 입사파의 주기에 따라 원천항이 급격하게 커져 자유수면이 불안정해지는 수치오차가 발생하였다.
본 연구에서는 Choi and Yoon (2009)이 제안한 운동량 원천항을 이용하는 내부조파기법을 확장한 L자형 내부조파기법을 LES기반의 수치모형에 적용하였으며, 3차원 공간에서 경사지게 입사하는 정현파를 조파하고 정확해와 비교 및 검증하였다. 수치해석 결과 L자형 내부조파기법은 목표파랑의 조파에 효율적인 것으로 나타났으며, 구조물 등에 의한 파랑 변형에 대한 연구에 적용 가능한 것으로 판단된다. 아직까지 3차원 Navier-Stokes 방정식 모형의 적용이 단순한 지형에 머물고 있으나, 좀 더 다양하고 복잡한 사례를 통한 검증이 이루어진다면 기존의 2차원 수치모형에서 다룰 수 없는 다양한 사례에 대한 추가 연구가 가능할 것으로 사료된다.

후속연구

수치해석 결과 L자형 내부조파기법은 목표파랑의 조파에 효율적인 것으로 나타났으며, 구조물 등에 의한 파랑 변형에 대한 연구에 적용 가능한 것으로 판단된다. 아직까지 3차원 Navier-Stokes 방정식 모형의 적용이 단순한 지형에 머물고 있으나, 좀 더 다양하고 복잡한 사례를 통한 검증이 이루어진다면 기존의 2차원 수치모형에서 다룰 수 없는 다양한 사례에 대한 추가 연구가 가능할 것으로 사료된다.
한편, 본 연구에서 사용한 운동량 원천항을 이용한 내부 조파기법은 Boussinesq 방정식에서 유도된 운동량 원천 항을 사용하기 때문에 태생적인 한계점을 가지고 있다. 앞으로 이에 대한 추가적인 연구가 진행된다면 이론적으로 좀 더 정확한 내부조파기법이 개발될 것으로 보이며, 좀 더 다방면으로 활용 가능할 것으로 사료된다.
예를 들면, 고립파를 조파할 경우 자유수면이 최대가 되는 순간에 조파지점에서 연직방향 유속이 최소가 되어야하지만 수치모형에서는 조파지점에서 유속이 최대가 되는 문제가 발생하게 된다. 한편, 본 연구에서 사용한 운동량 원천항을 이용한 내부 조파기법은 Boussinesq 방정식에서 유도된 운동량 원천 항을 사용하기 때문에 태생적인 한계점을 가지고 있다. 앞으로 이에 대한 추가적인 연구가 진행된다면 이론적으로 좀 더 정확한 내부조파기법이 개발될 것으로 보이며, 좀 더 다방면으로 활용 가능할 것으로 사료된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	치모형을 이용한 연구에서 가장 빈번히 발생하는 문제는 무엇인가?	컴퓨터 기술의 발달과 더불어 수치해석을 이용한 파랑변형에 대한 연구는 꾸준히 발전하고 있으며 점점 중요한 역할을 수행하고 있다. 하지만 수치모형을 이용한 연구에는 다양한 문제점이 발생할 우려가 있는데, 그 중 가장 빈번하게 발생하는 문제 중의 하나가 파랑의 조파지점에서 발생하는 수치수조내로의 재반사 문제이다. 재반사를 막기 위한 방법으로는 내부조파 기법을 이용하는 것이 일반적이다.
	Navier-Stokes 방정식 모형에선 어떤 기법을 주로 사용했는가?	재반사를 막기 위한 방법으로는 내부조파 기법을 이용하는 것이 일반적이다. Navier-Stokes 방정식 모형에서는 질량 원천항을 이용한 내부조파 기법을 주로 사용해 왔으나, 기존의 연구는 대부분 연직 2차원 수치모형을 이용한 연구에 국한되어 있었다. 그러나 3차원 수치모형을 이용한 연구가 점차 활발해지면서 3차원 Navier-Stokes 방정식 모형의 내부조파 기법에 대한 필요성이 증대되고 있다.
	재반사 문제를 막기위한 방법으로는 무엇을 이용하는가?	하지만 수치모형을 이용한 연구에는 다양한 문제점이 발생할 우려가 있는데, 그 중 가장 빈번하게 발생하는 문제 중의 하나가 파랑의 조파지점에서 발생하는 수치수조내로의 재반사 문제이다. 재반사를 막기 위한 방법으로는 내부조파 기법을 이용하는 것이 일반적이다. Navier-Stokes 방정식 모형에서는 질량 원천항을 이용한 내부조파 기법을 주로 사용해 왔으나, 기존의 연구는 대부분 연직 2차원 수치모형을 이용한 연구에 국한되어 있었다.

참고문헌 (18)

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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