[논문]확산이론 관점에서 로지스틱 모형과 Bass 모형의 비교

홍정식; 구훈영

doi:10.7737/jkorms.2012.37.2.113

확산이론 관점에서 로지스틱 모형과 Bass 모형의 비교
Comparison of the Bass Model and the Logistic Model from the Point of the Diffusion Theory 원문보기

한국경영과학회지 = Journal of the Korean Operations Research and Management Science Society, v.37 no.2, 2012년, pp.113 - 125

홍정식 (서울과학기술대학교 IT정책전문대학원 산업정보시스템전공) , 구훈영 (충남대학교 경상대학 경영학부)

Abstract ▼ AI-Helper

The logistic model and the Bass model have diverse names and formulae in diffusion theory. This diversity makes users or readers confused while it also contributes to the flexibility of modeling. The method of handling the integration constant, which is generated in process of deriving the closed form solution of the differential equation for a diffusion model, results in two different 'actual' models. We rename the actual four models and propose the usage of the models with respect to the purpose of model applications. The application purpose would be the explanation of historical diffusion pattern or the forecasting of future demand. Empirical validation with 86 historical diffusion data shows that misuse of the models can draw improper conclusions for the explanation of historical diffusion pattern.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

따라서 로지스틱 모형과 Bass 모형 역시 두 개의 모형이 도출되며, 이에 대해 현재의 모형 사용 관습을 고려하여, 적절한 명칭을 부여한다. 또한 확산 모형을 사용함에 있어, 과거 확산패턴을 설명하기 위한 목적과 미래 확산 추이를 예측하기 위한 목적으로 구분하여 로지스틱 모형과 Bass 모형의 모형틀 내에서 도출된 각각의 모형이 적절하게 사용되어야 하는 방안을 제안한다. 특히, 확산과정의 요인을 판별하는 논문에서 로지스틱 모형과 Bass 모형이 비교 대상일 경우, 각 모형틀 내에서 도출된 4개의 모형 중에서 어떤 모형이 서로 비교의 짝을 이루어야하는지를 밝힌다.
이는 확산요인에 대한 설명과 미래를 위한 예측을 동시에 취급하려 했기 때문이다. 본 논문에서는 설명력 관점과 예측력 관점을 보다 명확히 하여, 혼란을 야기하며 사용되었던 로지스틱 모형과 Bass 모형을 비교 분석함으로써 연구목적에 따른 적절한 모형 선택의 기준을 제시하였다.
본 논문에서는 확산 모형의 요인을 설명해주는 미분방정식에서 확산 모형의 닫힌 해(closed form solution)가 유도되는 과정과 이 과정에서 적분 상수가 처리되는 과정을 고찰함으로써 하나의 모형수식에서 두 개의 모형이 형성될 수 있음을 보인다. 여기서 두 개의 모형이 형성되는 것은 적분 상수를 다루는 두 가지 방식에 기인한다.

가설 설정

Bass 모형은 채택자 수의 증가가 기존 채택자 수에 영향을 받는 것과 이와 무관하게 영향을 받는것, 즉 두 가지 영향에 의해 생겨난다고 가정한다. 로지스틱 모형과 차이를 두기 위해 전자의 영향계수를 q로 표기하고 후자의 영향계수를 p로 표시한다.
이상의 성능척도별 모형별 성능차이를 통계적으로 확인하기 위해 제품 유형별 분산분석과 모든 조합 (성능척도별-모형별 조합)에 대해 대응표본 t검정을 수행하였다(<표 4>와 <표 5> 참조). 분산분석은 국내와 국외, 산업용과 일반소비자용으로 구분하여 각 척도에 따른 모형 간 차이를 살표보았는데, 산업용 제품의 MAD에 대해서만 분산분석 결과가 귀무가설이 채택되었다. 이는 대부분의 제품유형에 대해 모형 간 차이가 있음을 의미하는 것이다.

제안 방법

B1의 혼합영향 중 내부영향 모수가 L1 및 L2의 모수 b와 어떠한 관계를 갖는지 확인하기 위해, 4개 모형의 각 모수에 대해 상관분석을 수행하였다 ( 참조).
MAD의 경우는 예측 정확도의 척도로 사용되었는데, 각 확산 데이터별로“⌊데이터 개수⌋/2”개의 데이터는 MSE로 추정하고, 추정된 모형으로 나머지 기간에 대해 예측하여 예측 오차를 MAD로 계산하였다.
둘째, 확산 과정에 영향을 주는 요인을 판별하는 문제와 향후 확산수요를 예측하는 문제를 구별하고, 각각의 문제에 적합한 모형을 제시하였다. 이에 따라, 통상적으로 사용되는 Bass 모형과 로지스틱 모형이 확산 요인을 판별하는 문제에 사용될 경우 잘못된 결론에 다다를 수 있음을 방대한 확산 데이터에 대한 다양한 통계분석을 통해 입증하였다.
특히, 확산과정의 요인을 판별하는 논문에서 로지스틱 모형과 Bass 모형이 비교 대상일 경우, 각 모형틀 내에서 도출된 4개의 모형 중에서 어떤 모형이 서로 비교의 짝을 이루어야하는지를 밝힌다. 또한, 이 4개의 모형을 86개의 국내외 확산 데이터에 적용하고 그 결과를 토대로 각 모형의 특징과 장단점을 분석하고자 한다.
둘째, 확산 과정에 영향을 주는 요인을 판별하는 문제와 향후 확산수요를 예측하는 문제를 구별하고, 각각의 문제에 적합한 모형을 제시하였다. 이에 따라, 통상적으로 사용되는 Bass 모형과 로지스틱 모형이 확산 요인을 판별하는 문제에 사용될 경우 잘못된 결론에 다다를 수 있음을 방대한 확산 데이터에 대한 다양한 통계분석을 통해 입증하였다.

대상 데이터

<표 1>에 정리된 4가지 모형의 비교를 위해, 실제 국내외 86개 제품 및 기술에 대한 확산 데이터를 이용하여 분석해 보았다. 사용된 해외 데이터(49개)는 Bass.org에서 구하였고, 국내 데이터(37개)는 통계청, 관련 협회 등을 통해 입수하였다. 이는 우리가 아는 한, 국내 확산관련 논문 중 가장 많은 데이터를 다루는 것이다.
<표 1>에 정리된 4가지 모형의 비교를 위해, 실제 국내외 86개 제품 및 기술에 대한 확산 데이터를 이용하여 분석해 보았다. 사용된 해외 데이터(49개)는 Bass.

데이터처리

이상의 성능척도별 모형별 성능차이를 통계적으로 확인하기 위해 제품 유형별 분산분석과 모든 조합 (성능척도별-모형별 조합)에 대해 대응표본 t검정을 수행하였다(와 참조).

이론/모형

이는 우리가 아는 한, 국내 확산관련 논문 중 가장 많은 데이터를 다루는 것이다. 각 모형의 모수 추정은 Matlab 2010을 이용하였으며, 사용된 추정법은 NLS(non-linear least square) 방법이다. 모형 간 성능 비교를 위해서는 MSE(평균제곱오차, Mean Squared Error), MAD(평균절대오차, Mean Absolute Deviation)와 AIC(Akaike Information Criterion)을 사용하였다.
각 모형의 모수 추정은 Matlab 2010을 이용하였으며, 사용된 추정법은 NLS(non-linear least square) 방법이다. 모형 간 성능 비교를 위해서는 MSE(평균제곱오차, Mean Squared Error), MAD(평균절대오차, Mean Absolute Deviation)와 AIC(Akaike Information Criterion)을 사용하였다. MSE의 경우, 확산 데이터 전체를 사용하여 각 모형이 실제 데이터에 적합되는 정도의 척도로 추정 성능을 확인하기 위해 사용하였다.

성능/효과

또한, AIC에서 사용되는 로그 우도함수가 잠재수요에 대한 음의 선형식으로 표현되기 때문에 작게 추정된 잠재수요는 로그 우도값을 크게 만드는 결과를 가져온다. AIC에 대한 결과로 볼 때, 로지스틱 모형이 Bass 모형보다 모수에 비해 추정성능이 떨어지는 모형은 아니라는 것을 알 수 있다.
MSE에 대한 결과를 보면 B2가 가장 좋고, B1과 L2는 유사하고 L1이 가장 좋지 않은 성능을 보이고 있다. MAD의 경우도 유사한 결과를 보이는데, 기본적으로 이는 모수의 수가 B2 > B1 = L1 > L2의 관계를 갖고 있기 때문에 적합도와 예측력의 차이를 가져오는 것으로 이해할 수 있다.
만약 분석 대상이 에서 언급된 L2 모형이 더 우수한 15개의 확산 데이터였다면, 확산과정의 요인분석에서 내부적 영향이 지배적인 것으로 결론이 났을 것이다.
이는 대부분의 제품유형에 대해 모형 간 차이가 있음을 의미하는 것이다. 보다 상세한 분석을 위해 수행된 대응표본 t검정의 결과로, 유의 수준 0.05로 MSE 사용 시 (B1, L2)만 유의미한 차이가 없으며, MAD 사용 시는 (B1, B2)만 유의미한 차이가 없으며, AIC의 경우는 모두 유의한 차이를 보이는 것으로 나타났다. 이는 MSE 관점에서는 B1이나 L2는 동일한 평균을 갖는다는 의미이므로, 적합도 측면에서 B2과 L2는 동일하다고 볼 수 있다.
셋째, Bass 모형의 경우 초기치 설정이 F(0) =0이므로, 초기에 확산 수요가 급격하게 오르는 경우를 제외하면, 적분 상수를 포함하지 않는 기존의 Bass 모형이 향후 수요예측에서도 충분히 활용가능함을 데이터 분석을 통해 보여 주었다.
로 두면 식 (20)이 바로 식 (3)이 되며, 로지스틱 모형이 Bass 모형의 특수형태라는 것을 알 수 있다. 이상의 논의를 요약하면, 기존 확산 논문에서 사용되는 대부분의 Bass 모형의 확산 모형식은 F(0) = 0라는 초기치 설정을 둔 상태에서 얻어진 것이고, 이를 통해 적분상수가 제거 되어 수식이 간단해졌다는 것이다. 그러나, 반대급부로는 로지스틱 모형을 특정 형태로 포함하지 못하고, 초기치를 제한함으로써 적합도 면에서의 손실을 가져온다는 것이다.
이상의 비교 분석 결과, [4]에서 사용된 내부영향 모형은 실제로 L2 모형이었으며, 분석 대상에 따라 혼합영향 모형보다 성능이 우수하게 나올 수 있었음을 로부터 확인할 수 있다.
본 논문에서 얻어진 주요 결과는 다음과 같다. 첫째, 이론적인 측면에서 Bass 모형과 로지스틱 모형의 닫힌 해가 도출되는 과정을 살펴보고, 각각의 모형틀에서 적분 상수가 처리되는 과정에 따라 두 개의 모형이 얻어짐을 입증하였다.

후속연구

이상의 연구결과를 활용하면, 확산이론 관점에서 로지스틱 모형틀 내의 두 개의 모형과 Bass 모형틀 내의 두 개의 모형을 연구목적에 맞게 선택적으로 적용하는데 도움이 될 것으로 판단된다. 다만, 로지스틱 모형의 경우 확산 요인을 판별하는 문제를 접근할 때, 적분상수를 계산하는 방식에 대한 주의 깊은 접근이 요구된다.
예를 들면, 로지스틱 모형은 내부영향 모형(internal influence model)이라고도 불리며, Bass 모형은 혼합영향 모형(mixed influence model)이라고 불리기도 하는데, 이 혼합영향 모형은 논문에 따라, 모수를 3개 포함한 것과[6], 4개 포함한 것이 있고[4], 후자는 확장된 로지스틱 모형으로 불리기도 한다[8]. 형태와 명칭의 이러한 다양성은 정리될 필요가 있고, 이러한 과정에서 두 모형의 보다 근본적인 비교와 분석이 이루어질 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	로지스틱 모형과 Bass 모형의 장단점은?	Bass 모형은 이를 토대로 한 논문이 750편에 이를 정도이고[13], 로지스틱 모형은 1845년에 Verhurst[18]에 의해 처음 소개되어 1920년대에 Reed[15]에 의해 본격적으로 거론된 이후, 확산뿐 아니라 다양한 분야에서의 S자형 성장모형에 가장 널리 활용되고 있다[5]. 그런데 이 두 모형은 잠재자형요를 제외하면 확산 곡선을 설명하는 모수가 두 개로 절약적인 모형(parsimonious model)의 장점을 지니고 있지만 설명력과 적합도의 한계도 존재한다. 따라서 이들 모형은 추가 변수나 추가 모수의 도입을 통해, 다양한 방식으로 확장된 모형이 제시되고 있다.
	신기술, 신제품이나 신규서비스의 확산 모형에서 가장 많이 활용되는 모형은?	신기술, 신제품이나 신규서비스의 확산 모형에서 가장 많이 활용되는 모형은 로지스틱 모형과 Bass 모형이다. Bass 모형은 이를 토대로 한 논문이 750편에 이를 정도이고[13], 로지스틱 모형은 1845년에 Verhurst[18]에 의해 처음 소개되어 1920년대에 Reed[15]에 의해 본격적으로 거론된 이후, 확산뿐 아니라 다양한 분야에서의 S자형 성장모형에 가장 널리 활용되고 있다[5].
	Bass 모형은 어떠한 가정을 하는가?	Bass 모형은 채택자 수의 증가가 기존 채택자 수에 영향을 받는 것과 이와 무관하게 영향을 받는것, 즉 두 가지 영향에 의해 생겨난다고 가정한다. 로지스틱 모형과 차이를 두기 위해 전자의 영향계수를 q로 표기하고 후자의 영향계수를 p로 표시한다.

참고문헌 (20)

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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