스텝 하중을 받는 공간 트러스 시스템의 멀티스텝 테일러 급수 해석과 동적 불안정 Dynamic Instability and Multi-step Taylor Series Analysis for Space Truss System under Step Excitation원문보기
본 연구의 목적은 비선형 불연속 시스템인 공간 트러스에 멀티스텝 테일러 해법을 적용하는 것과 비선형 동적 응답 및 불안정 특성을 분석하는 것이다. 해석적 접근에 기초한 보다 정밀한 해는 공간 구조물의 역 문제나 또는 불안정 문제를 다루는데 매우 필요하며, 이는 지배방정식의 비선형성에 기인한다. 따라서 기하학적 비선형을 고려하여 지배 운동 방정식을 유도하였으며, 테일러 해법을 이용하여 정밀한 해석적 해를 구하였다. 해석 방법의 정밀도 검증을 위해서 단일자유도 모델을 채택하였으며, 테일러 해법을 이용한 결과를 4차 룬게-쿠타 법과 비교하였다. 또한, 스텝 하중을 받는 모델의 동적 불안정과 좌굴 특성을 고찰하였다. 두 해석 방법의 비교 결과는 매우 잘 일치하였고, 동적 응답과 위상공간에서의 끌개는 스텝하중 아래에서의 동적 좌굴 현상과, 모델에 감쇠가 미치는 영향을 잘 설명할 수 있음을 보여주었다. 해석결과에서 비감쇠 시스템과 감쇠 시스템의 동적 좌굴 하중 레벨은 각각 정적 좌굴 하중 레벨의 약 77%와 83%의 범위로 나타났다.
본 연구의 목적은 비선형 불연속 시스템인 공간 트러스에 멀티스텝 테일러 해법을 적용하는 것과 비선형 동적 응답 및 불안정 특성을 분석하는 것이다. 해석적 접근에 기초한 보다 정밀한 해는 공간 구조물의 역 문제나 또는 불안정 문제를 다루는데 매우 필요하며, 이는 지배방정식의 비선형성에 기인한다. 따라서 기하학적 비선형을 고려하여 지배 운동 방정식을 유도하였으며, 테일러 해법을 이용하여 정밀한 해석적 해를 구하였다. 해석 방법의 정밀도 검증을 위해서 단일자유도 모델을 채택하였으며, 테일러 해법을 이용한 결과를 4차 룬게-쿠타 법과 비교하였다. 또한, 스텝 하중을 받는 모델의 동적 불안정과 좌굴 특성을 고찰하였다. 두 해석 방법의 비교 결과는 매우 잘 일치하였고, 동적 응답과 위상공간에서의 끌개는 스텝하중 아래에서의 동적 좌굴 현상과, 모델에 감쇠가 미치는 영향을 잘 설명할 수 있음을 보여주었다. 해석결과에서 비감쇠 시스템과 감쇠 시스템의 동적 좌굴 하중 레벨은 각각 정적 좌굴 하중 레벨의 약 77%와 83%의 범위로 나타났다.
The goal of this paper is to apply the multi-step Taylor method to a space truss, a non-linear discrete dynamic system, and analyze the non-linear dynamic response and unstable behavior of the structures. The accurate solution based on an analytical approach is needed to deal with the inverse proble...
The goal of this paper is to apply the multi-step Taylor method to a space truss, a non-linear discrete dynamic system, and analyze the non-linear dynamic response and unstable behavior of the structures. The accurate solution based on an analytical approach is needed to deal with the inverse problem, or the dynamic instability of a space truss, because the governing equation has geometrical non-linearity. Therefore, the governing motion equations of the space truss were formulated by considering non-linearity, where an accurate analytical solution could be obtained using the Taylor method. To verify the accuracy of the applied method, an SDOF model was adopted, and the analysis using the Taylor method was compared with the result of the 4th order Runge-Kutta method. Moreover, the dynamic instability and buckling characteristics of the adopted model under step excitation was investigated. The result of the comparison between the two methods of analysis was well matched, and the investigation shows that the dynamic response and the attractors in the phase space can also delineate dynamic snapping under step excitation, and damping affects the displacement of the truss. The analysis shows that dynamic buckling occurs at approximately 77% and 83% of the static buckling in the undamped and damped systems, respectively.
The goal of this paper is to apply the multi-step Taylor method to a space truss, a non-linear discrete dynamic system, and analyze the non-linear dynamic response and unstable behavior of the structures. The accurate solution based on an analytical approach is needed to deal with the inverse problem, or the dynamic instability of a space truss, because the governing equation has geometrical non-linearity. Therefore, the governing motion equations of the space truss were formulated by considering non-linearity, where an accurate analytical solution could be obtained using the Taylor method. To verify the accuracy of the applied method, an SDOF model was adopted, and the analysis using the Taylor method was compared with the result of the 4th order Runge-Kutta method. Moreover, the dynamic instability and buckling characteristics of the adopted model under step excitation was investigated. The result of the comparison between the two methods of analysis was well matched, and the investigation shows that the dynamic response and the attractors in the phase space can also delineate dynamic snapping under step excitation, and damping affects the displacement of the truss. The analysis shows that dynamic buckling occurs at approximately 77% and 83% of the static buckling in the undamped and damped systems, respectively.
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문제 정의
본 연구에서는 공간 트러스의 비선형 동적 시스템에 대한 멀티스텝 테일러 급수 해법의 적용과 스텝 하중에 따른 구조물의 동적 응답의 비선형 불안정 거동의 특성을 연구 하도록 한다. 일반적으로 얕은 아치나 돔형 공간 트러스의 경우 많은 연구에서 비선형 동적 응답은 더핑 방정식(Duffing equation)이나 2차항이 더 추가된 방정식이 지배방정식으로 유도되어지며, 위상공간의 특성 역시 동모임점 궤적(Homoclinic orbit)을 가지는 것으로 알려져 있다.
가설 설정
그리고 각 부재는 동일한 재료의 밀도 ρ, 탄성계수 E와 단면적 A로 정의되며, 요소 내에서 일정하다고 가정한다.
제안 방법
여기서 강성 방정식은 대변형 이론을 기초로 한 비선형 항을 고려하므로 고차항이 포함된 방정식으로 유도되며, 단일 자유도 모델에 적용하였을 경우 더핑방정식과 유사한 형태의 지배방정식으로 유도된다. 그리고 테일러 급수 해의 정식화 과정 및 적용에서는 유효한 해석적 해를 얻기 위해 충분한 차수(order)와 스텝크기를 이용하도록 한다.
단순모델에 대한 멀티스텝 테일러 급수 기법의 해와 동적 특성을 파악하기 위해서 스텝하중(F = F0 ) 아래에서의 동적 응답을 구하고, 동적 불안정 거동에 대해 관찰한다.
멀티스텝 테일러 급수 및 4차 Runge-Kutta method의 변위응답 곡선의 비교결과 (μ=0.05, F0=200kN) 스텝하중이 작용할 때 동적 좌굴 전 후의 변위응답을 우선 살펴보기로 한다.
본 논문에서는 스텝하중을 받는 공간 트러스의 비선형 동적 시스템에 대해서 일반적으로 많이 사용되는 수치적 기법 대신 미분계수를 직접구하여 계산하므로 고차항의 해석적 해를 얻을 수 있는 멀티스텝 테일러 급수 해법을 적용하였다. 해석 결과의 검증을 위해서 동적 변위 응답은 단일 자유도 모델을 대상으로 비교적 정도가 높은 해석법으로 알려진 4차 룬게쿠타 법과 비교하였으며, 그 결과는 매우 잘 일치하였다.
따라서, 구하여진 계수를 위 식에 대입 함으로서 각 스텝에서의 테일러 급수인 근사 해석 해를 얻게 되며, 자유도와 차수의 증가에 따라 미분계수항의 수도 늘어난다. 본 논문에서는, 정도 높은 해를 얻기 위해 충분한 차수 n과 스텝 th을 이용하도록 하며, 식(15)에 대한 과정은 본 논문에서는 다루지 않도록 한다.
본 장에서는 공간 트러스 구조물의 비선형 지배방정식에 대해서 설명하고, 그림 1과 같은 1-자유절점 단순모델에 대해 멀티스텝 테일러 급수 기법을 적용하여 해를 구하도록 한다. 우선, 이산화 비선형 운동 방정식을 구하기 위해 3차원 트러스 요소의 정식화에 대해 설명한다.
해석 결과의 검증을 위해서 동적 변위 응답은 단일 자유도 모델을 대상으로 비교적 정도가 높은 해석법으로 알려진 4차 룬게쿠타 법과 비교하였으며, 그 결과는 매우 잘 일치하였다. 스텝하중에 대한 변위 응답과 위상공간의 궤적을 시간의 영역에서 분석하기 위한 단일 자유도 예제는 각 파라메타에 대한 동적 좌굴 하중 레벨을 비교하였으며, 얕은 쉘형 공간 트러스에서 나타나는 동적 불안정 현상을 위상공간의 끌개를 이용하여 궤적의 비선형 거동 현상을 규명할 수 있었다. 또한, 감쇠항의 고려에도 비교적 신뢰할 만한 결과인 고정점 끌개를 얻을 수 있었다.
스텝하중을 받는 공간 트러스 동적 불안정에 대해서 최대변위응답을 통하여 좌굴하중레벨을 구하도록 한다. 앞서 설명한 바와 같이 동적 좌굴의 판정은 미소한 하중레벨의 증가에 대해 최대변위응답 진폭이 급격하게 변하는 레벨을 임계 레벨로 정의하도록 한다.
동적 좌굴하중 레벨 전 후의 위상공간에서의 지형변화를 관찰하기 위해서 속도-변위 공간의 이력곡선을 그림 6에 나타내었고, 시간에 따른 변화에 대해서도 함께 살펴보기 위해서 위상공간의 궤도를 3차원 공간상에 나타내었다. 예상한 결과와 같이 동적좌굴 전 후의 위상공간의 지형 변화는 순환궤적의 모양이 한 개의 물방울에서 두 개의 연결된 물방울 모양의 궤도로 변하였다. 이와 같은 결과는 얕은 아치에서도 유사하게 나타난다(Yun과 Kim, 2004).
(Blair 등, 1996; Ario, 2004) 따라서, 공간 구조물의 비선형 지배방정식을 유도하고 더핑형 방정식으로 정의되어지는 단자유도 모델에 대해서 해석법의 적용에 대한 검증을 수행하도록 한다. 위상 공간에서 나타나는 끌개의 특성과 비선형 거동 및 동적임계 하중레벨에 대한 특성도 함께 고찰한다. 지배방정식의 정식화를 위해서 기하학적 비선형성을 고려한 비선형 운동방정식을 유도하고, 멀티스텝 테일러 기법으로 외부 가진력에 대한 동적 응답을 구하도록 한다.
형상파라메타에 따른 평형경로상의 첫 번째 극한점은 불안정 경로의 시작이 되며, 임계점 이전에 동적 스넵(dynamic snapping)현상이 나타난다. 이와 같은 동적 좌굴의 발생에 대해서 위상공간의 끌개의 변화 및 감쇠정수에 따른 변위응답의 수렴 및 동적 좌굴에 대한 결과를 테일러 해법을 이용해 구하도록 한다.
위상 공간에서 나타나는 끌개의 특성과 비선형 거동 및 동적임계 하중레벨에 대한 특성도 함께 고찰한다. 지배방정식의 정식화를 위해서 기하학적 비선형성을 고려한 비선형 운동방정식을 유도하고, 멀티스텝 테일러 기법으로 외부 가진력에 대한 동적 응답을 구하도록 한다. 주기를 가진 변위 응답의 경우 고전적인 테일러 기법은 무한 항에 대한 급수 전개를 필요로 하므로 본 연구의 문제에는 적합하지 않을 수 있지만 멀티스텝 테일러 기법의 경우 해의 정밀도에 충분히 유한한 미분계수 항을 구하여 해석을 수행하므로 적용이 비교적 쉽고 간단하게 해석적 급수 해를 얻을 수 있다.
대상 데이터
모델 형상은 밑 변 L (=5m), 그리고 높이는 H로 정의하며, 파라미터 μ = H / 2L를 이용하여 형상을 하나의 변수로 나타내었다.
본 모델에서 적용될 부재의 밀도ρ, 탄성계수E, 단면적A는 각각 7.85 × 10-3 kg/m3 , 2.06 × 105 MPa, 11.2 cm2이다.
채택된 모델의 형상은 L=5m 이고, 형상 파라메타 μ는 모두 0.05(H = 0.5m), 0.1(H = 1m), 0.15(H = 1.5m), 0.2 (H = 2m) 및 0.25 (H = 2.5m)의 5가지 모델을 고려하기로 한다.
해석 기법에 적용하고자 하는 대상 모델은 그림 1과 같이 모두 4개의 부재로 구성되며, 1번 절점을 제외한 나머지 절 점은 고정지지 되어 있다. 모델 형상은 밑 변 L (=5m), 그리고 높이는 H로 정의하며, 파라미터 μ = H / 2L를 이용하여 형상을 하나의 변수로 나타내었다.
데이터처리
테일러 급수 해석결과에 대한 신뢰도를 위해서 차수 n 및 스텝크기 th를 각각 7과 0.001로 채택하여 해석을 수행하여 4차 룬게쿠타법(4th Runge-Kutta method: RK4)의 해석 결과와 비교하도록 하며, 차수를 높임으로서 정밀도를 높일 수 있다. 스텝하중이 적용된 μ=0.
이론/모형
따라서, 위의 식과 계수를 이용하여 멀티스텝 테일러 급수기법을 이용하여 해를 구하도록 한다.
성능/효과
진폭의 크기가 급격하게 달라지는 하중레벨 F0는 1000kN과 1100kN 사이이며, 그림 5 (b)와 그림 5 (c)의 속도와 가속도 변화도 변위응답의 이와 같은 변화에 상응하는 결과를 나타내고 있다. 두 하중레벨 사이의 주기변화와 변위응답 변화로 볼 때 응답곡선의 특성이 바뀌었으며, 최대변위응답은 계속 증가되는 반면 주기는 하중레벨을 기점으로 증가하다가 감소하는 결과를 나타낸다. 이와 같은 변화에 대한 속도와 가속도의 변화는 매우 당연한 결과이다.
56%에 해당한다. 따라서 고려되어진 감쇠정수의 범위에서는 값이 증가함에 따라 좌굴하중레벨도 증가하며, 구간 내에서는 비교적 증가폭이 일정하였고, 비감쇠 모델에서의 하중 레벨 비율인 77.03%에 비해서 약 5%정도 증가하였다.
또한 정적 임계 하중 레벨 sPcr을 이용하여 무차원화 한 결과, 표 2에서와 같이 μ값에 관계없이 비율은 거의 일정하며, 동적 좌굴 하중 레벨은 정적 좌굴 하중 레벨의 약 77% 범위에 해당하였다.
스텝하중에 대한 변위 응답과 위상공간의 궤적을 시간의 영역에서 분석하기 위한 단일 자유도 예제는 각 파라메타에 대한 동적 좌굴 하중 레벨을 비교하였으며, 얕은 쉘형 공간 트러스에서 나타나는 동적 불안정 현상을 위상공간의 끌개를 이용하여 궤적의 비선형 거동 현상을 규명할 수 있었다. 또한, 감쇠항의 고려에도 비교적 신뢰할 만한 결과인 고정점 끌개를 얻을 수 있었다. 하중레벨의 변화에 따른 최대 변위응답 곡선을 구하여 동적하중레벨을 정의한 결과에서 정적 좌굴 하중 레벨의 약 77%에 해당하는 범위에서 동적 스넵핑 현상이 발생하였고, 고려되어진 감쇠정수의 범위에서 좌굴하중은 약 83%에 달하였다.
이상의 결과에서 볼 때, 멀티스텝 테일러 급수 해석의 결과는 룬게-쿠타 법과 비교해 매우 잘 일치하며 동적스넵핑 현상을 예상할 수 있는 모델에서의 하중레벨에 따른 위상공간의 끌개 변화를 모두 구할 수 있다.
이상의 해석결과에 대해서 동적 좌굴하중 레벨 dPcr의 값은 그림 12에 나타낸 바와 같이 스텝하중에서 정적 좌굴의약 77%이며, 고려되어진 감쇠정수의 범위에서 정수의 증가에 따라 하중레벨도 함께 증가하였으며, 정적 좌굴의 약 83% 범위에 해당하였다.
05를 적용하여 동적 좌굴하중 레벨을 구하였으며, 이 결과를 표 3에 나타내었다. 표 3에서 보는 바와 같이 정적 좌굴하중 레벨 sPcr와 비교하였을 때 그 값은 모든 모델에서 약 83%의 범위에 해당되는 값을 얻었으며, 부재의 재료적 비선형성을 고려하지 않은 탄성영역에서의 동적 불안정 특성에서 감쇠정수는 선형적인 변화를 가진다.
또한, 감쇠항의 고려에도 비교적 신뢰할 만한 결과인 고정점 끌개를 얻을 수 있었다. 하중레벨의 변화에 따른 최대 변위응답 곡선을 구하여 동적하중레벨을 정의한 결과에서 정적 좌굴 하중 레벨의 약 77%에 해당하는 범위에서 동적 스넵핑 현상이 발생하였고, 고려되어진 감쇠정수의 범위에서 좌굴하중은 약 83%에 달하였다.
본 논문에서는 스텝하중을 받는 공간 트러스의 비선형 동적 시스템에 대해서 일반적으로 많이 사용되는 수치적 기법 대신 미분계수를 직접구하여 계산하므로 고차항의 해석적 해를 얻을 수 있는 멀티스텝 테일러 급수 해법을 적용하였다. 해석 결과의 검증을 위해서 동적 변위 응답은 단일 자유도 모델을 대상으로 비교적 정도가 높은 해석법으로 알려진 4차 룬게쿠타 법과 비교하였으며, 그 결과는 매우 잘 일치하였다. 스텝하중에 대한 변위 응답과 위상공간의 궤적을 시간의 영역에서 분석하기 위한 단일 자유도 예제는 각 파라메타에 대한 동적 좌굴 하중 레벨을 비교하였으며, 얕은 쉘형 공간 트러스에서 나타나는 동적 불안정 현상을 위상공간의 끌개를 이용하여 궤적의 비선형 거동 현상을 규명할 수 있었다.
후속연구
이와 같은 방정식의 경우 비선형 동적응답의 위상공간은 동모임점 궤적(Homoclinic orbit)이 형성되는 까닭에 단일자유도 모델은 비교적 단순하지만 아치나 돔형 공간 트러스에서 나타나는 비선형 동적 거동을 잘 대변할 수 있다. 또한 모델이 간단하므로 해석 기법의 결과 검증에 유용하며, 위상공간에서의 동적 좌굴특성에 대한 관찰에 적절할 것이다.
보다 정밀한 해를 구하기 위한 다양한 수학적 해석법의 적용과 현상에 대한 정확한 규명은 시스템 동정에 관한 연구와 같은 문제를 해결할 수 있는 여러가지 공학적 가능성을 제시할 것으로 사료된다.
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