[논문]유전 알고리즘을 이용한 다항식 반응면 모델의 최적 기저함수 선정

김상진; 유흥철; 배승호

doi:10.5139/jksas.2013.41.1.48

초록
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다항식 반응면 모델은 실제의 물리적, 수치적 실험을 대체하는 근사모델로 여러 공학분야에서 사용되고 있다. 일반적으로 반응면 구성에 필요한 실험점 수를 줄이기 위하여 낮은 차수의 다항식을 사용하므로, 심한 비선형성이 동반되는 현상에 대한 모델링에는 한계가 있다. 본 연구에서는 다항식의 차수를 증가시키는 방법 및 다항식을 구성하는 최적의 기저함수를 선정하는 방법을 통해 다항식 반응면의 모델링 능력을 확장할 수 있는 방법을 개발하였다. 최적 기저함수의 선정에는 유전 알고리즘을 적용하였으며, 1 변수 및 2변수 함수와 풍동시험 데이터에 대한 모델링 사례를 통해 개발된 방법이 비선형성이 심한 현상을 모델링하는데 적용될 수 있음을 확인하였다.

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Polynomial response surface model has been widely used as approximation model which replace physical or numerical experiments in various engineering fields. Generally, low-order model is used to reduce experimental points required to construct the response surfaces, but this approach has limit to re...

Polynomial response surface model has been widely used as approximation model which replace physical or numerical experiments in various engineering fields. Generally, low-order model is used to reduce experimental points required to construct the response surfaces, but this approach has limit to represent the highly non-linear phenomena. In this paper, we developed the method to expand modeling capabilities of polynomial response surfaces by increasing order of polynomial and selecting optimum polynomial basis functions. Genetic algorithm is used to choose optimal polynomial basis functions. Developed method was applied to analytic functions with 1 or 2 variables and wind tunnel test data modeling. The results show that this method is applicable to building response surface models for highly non-linear phenomena.

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문제 정의

본 연구에서는 유전 알고리즘으로 다항식 모델의 각 기저함수를 최적으로 조합하여 전체 반응면 모델의 신뢰도를 향상시키는 방법을 개발하였다. 유전 알고리즘을 적용하여 다항식 모델의 최적 항을 결정하는 방법에 대한 아이디어는 Zhao 등이 크리깅 모델의 구성에 사용한 방법[8]에서 빌어왔으나, 본 논문에서는 최적항의 선정에 #를 적용하였으며, 최적항을 선정하고 난 후 각 계수의 t_i 값과 비교하여 적용된 방법을 검증하였다.
본 연구에서는 이러한 다항식 반응면 모델의 모델링 능력을 확장하기 위하여 다항식의 차수를 증가시키는 방법 및 다항식을 구성하는 최적의 기저함수를 선정하는 방법을 개발하였으며, 비선형성이 큰 함수에 적용하여 개발된 방법의 효과를 확인하고자 하였다.
비선형성이 큰 2변수 함수인 식 (10) 및 Fig. 2의 Crane 함수를 통해 반응면 모델의 최적 기저함수 선정 효과를 파악하고자 하였다.

제안 방법

또한, 적합도 비례 선택(Proportionate Selection), 단순교배(One-cut-point Crossover), 전형적인 변위 (String-wise Mutation) 연산자를 사용하였다. 개체군의 크기(Population Size)를 100, 교배확률과 돌연변이 확률을 각각 30%, 40%로 설정하였으며, 최적해의 수렴성 판단에는 적합도와 Off-line 성능을 동시에 고려하였다. 본 연구에서 적용한 돌연변이 확률은 비교적 큰 값이나, 여러 차례의 수치실험으로 수렴성에 영향이 작은 범위 내에서 최적해의 탐색이 용이하도록 설정한 값이다.
설계변수와 주어진 실험점으로부터 생성할 수 있는 다항식 반응면 모델의 최대 차수를 계산하여 다항식의 기저함수 생성 알고리즘을 작성하였다. 다항식 반응면의 최적 기저함수의 선정에는 유전 알고리즘을 적용하였으며, 1 변수 및 2변수 해석함수와 풍동시험 데이터에 대한 반응면을 구성하여 개발된 방법을 검증하였다.
다항식의 차수를 증가시키는 방법 및 다항식을 구성하는 최적의 기저함수를 선정하는 방법을 통해 다항식 반응면의 모델링 능력을 확장할 수 있는 방법을 개발하였다. 설계변수와 주어진 실험점으로부터 생성할 수 있는 다항식 반응면 모델의 최대 차수를 계산하여 다항식의 기저함수 생성 알고리즘을 작성하였다.
개발된 유전 알고리즘은 이진코드(Binary-Coded) 형태로 작성되었으며, 선형표준화(Linear Scaling)방법을 사용하여 적합도를 표준화 하였다. 또한, 적합도 비례 선택(Proportionate Selection), 단순교배(One-cut-point Crossover), 전형적인 변위 (String-wise Mutation) 연산자를 사용하였다. 개체군의 크기(Population Size)를 100, 교배확률과 돌연변이 확률을 각각 30%, 40%로 설정하였으며, 최적해의 수렴성 판단에는 적합도와 Off-line 성능을 동시에 고려하였다.
다항식의 차수를 증가시키는 방법 및 다항식을 구성하는 최적의 기저함수를 선정하는 방법을 통해 다항식 반응면의 모델링 능력을 확장할 수 있는 방법을 개발하였다. 설계변수와 주어진 실험점으로부터 생성할 수 있는 다항식 반응면 모델의 최대 차수를 계산하여 다항식의 기저함수 생성 알고리즘을 작성하였다. 다항식 반응면의 최적 기저함수의 선정에는 유전 알고리즘을 적용하였으며, 1 변수 및 2변수 해석함수와 풍동시험 데이터에 대한 반응면을 구성하여 개발된 방법을 검증하였다.
본 연구에서는 유전 알고리즘으로 다항식 모델의 각 기저함수를 최적으로 조합하여 전체 반응면 모델의 신뢰도를 향상시키는 방법을 개발하였다. 유전 알고리즘을 적용하여 다항식 모델의 최적 항을 결정하는 방법에 대한 아이디어는 Zhao 등이 크리깅 모델의 구성에 사용한 방법[8]에서 빌어왔으나, 본 논문에서는 최적항의 선정에 #를 적용하였으며, 최적항을 선정하고 난 후 각 계수의 t_i 값과 비교하여 적용된 방법을 검증하였다.

대상 데이터

Figure 4에 풍동시험 데이터에 대한 다항식 반응면의 생성결과를 나타내었다. 11차 함수로 구성되었으며, 총 78개의 기저함수 중 최적 기저함수 선정 알고리즘을 통해 36개의 기저함수를 선정하였다. #은 0.
반응면 모델을 구성하기 위해 Fig. 2와 같이 각 변수별로 7개씩, 등 간격으로 총 49개의 실험점을 선정하였다. 2변수, 49개 실험점으로부터 구성할 수 있는 다항식 모델의 최대 차수는 8차이며, 미정계수의 수는 총 45개이다.

데이터처리

본 연구에서는 최적 기저함수 선정 알고리즘이 정상적으로 동작하는지를 판단하기 위하여 다항식 반응면 모델 각 항의 불확도를 가늠할 수 있는 t-statistics를 이용하였다.

이론/모형

다항식 반응면의 최적 기저함수 선정에는 직접 개발한 유전 알고리즘을 이용하였다. 개발된 유전 알고리즘은 이진코드(Binary-Coded) 형태로 작성되었으며, 선형표준화(Linear Scaling)방법을 사용하여 적합도를 표준화 하였다. 또한, 적합도 비례 선택(Proportionate Selection), 단순교배(One-cut-point Crossover), 전형적인 변위 (String-wise Mutation) 연산자를 사용하였다.
다항식 반응면의 최적 기저함수 선정에는 직접 개발한 유전 알고리즘을 이용하였다. 개발된 유전 알고리즘은 이진코드(Binary-Coded) 형태로 작성되었으며, 선형표준화(Linear Scaling)방법을 사용하여 적합도를 표준화 하였다.
반응면을 설계에 이용할 경우 반응면 구성에 필요한 실험점 수를 줄이기 위하여 1차 또는 2차의 다항식 모델을 사용한다. 그러나, 비선형성이 심한 반응의 경우에는 다항식 모델의 차수를 올리는 방법을 통해 반응모델을 실제의 현상과 잘 부합하게 만들 수 있다.
반응모델의 미정계수는 최소제곱법(Least Square Method)을 이용하며, 이 과정을 통해 모델링 오차를 최소화하는 회귀계수를 구하게 된다.
설계변수와 다항식 반응면의 최대 차수를 결정하고 나면, Table 1과 같이 다항식 반응면을 구성하는 기저함수를 구할 수 있다. 전체 기저함수중 어떤 함수로 반응면 모델을 구성할지를 결정하는 데는 이진문자열(Binary String)을 이용한다. 이진 문자열이란 이진수 기반 유전 알고리즘에서 사용되는 0과 1의 조합으로 이루어진 문자열이다.

성능/효과

그러나 고차 다항식 특유의 진동문제 등을 볼 때 차수가 커진다고 해서 반드시 반응모델의 신뢰도가 증가되는 것은 아니다. 구성된 다항식 반응면의 각 항들이 전체 모델의 신뢰도에 기여하는 바를 확인하여 기여하는 바가 작은 항을 전체 모델(Full Model)에서 제거해야 반응모델의 정확도를 높일 수 있다.
다항식의 차수가 증가함에 따라, 또는 최적의 기저함수를 선정함에 따라 반응면 모델의 결정계수인 Adjusted R²이 증가하여 모델의 신뢰도가 향상됨을 확인하였다. 또한, 최대의 Adjusted R²를 갖는 최적의 기저함수 선정 후, 전체모델의 각 기저함수와 대응되는 t-statistics 값을 비교하여 최적 기저함수 선정 알고리즘이 정상적으로 작동하고 있다는 것을 확인하였다.
본 연구에서 적용한 돌연변이 확률은 비교적 큰 값이나, 여러 차례의 수치실험으로 수렴성에 영향이 작은 범위 내에서 최적해의 탐색이 용이하도록 설정한 값이다. 또한 최대 세대수(Generation Number)를 1000으로 설정하였으나, 본 연구에서 적용한 예제의 경우 모두 세대수 100 이내에서 최대 적합도와 Off-line 성능이 10^-5까지 수렴한 값을 찾았다.
이 증가하여 모델의 신뢰도가 향상됨을 확인하였다. 또한, 최대의 Adjusted R²를 갖는 최적의 기저함수 선정 후, 전체모델의 각 기저함수와 대응되는 t-statistics 값을 비교하여 최적 기저함수 선정 알고리즘이 정상적으로 작동하고 있다는 것을 확인하였다.
다항식 차수가 증가함에 따라 반응면이 점차 실제 함수값에 가까워지고 있으며, Table 2에서와 같이 # 도 모델의 차수가 증가함에 따라 점차 1에 근접하고 있다. 특히 최적의 기저 함수를 선정함으로써 모델의 신뢰도가 좀더 향상 된 것을 확인할 수 있다. 그렇지만 비선형성이 심한 함수에 대해서는 다항식 반응면 모델이 함수값을 제대로 표현하지 못하고 있어, 다항식 반응면의 모델링 한계도 확인할 수 있다.

후속연구

1 변수 및 2변수 해석함수와 풍동시험 데이터에 대한 모델링 사례를 통해 다항식 반응면의 모델링 한계를 고려하더라도, 개발된 방법이 비선형성이 심한 현상을 모델링하는데 적용될 수 있을 것으로 사료된다.
그렇지만 1차 또는 2차의 다항식으로 생성한 근사모델은 그 정확도에 있어서 한계가 있는 경우가 많다. 앞서 기술한 바와 같이 실험점수가 충분하다면 다항식의 차수를 증가시키는 방법으로 반응면의 신뢰도를 향상시킬 수 있다. 그러나 고차 다항식 특유의 진동문제 등을 볼 때 차수가 커진다고 해서 반드시 반응모델의 신뢰도가 증가되는 것은 아니다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	메타모델링 방법의 장점은 무엇인가?	메타모델링 방법은 제한된 수의 실험을 통해 실험을 대체할 수 있는 반응면 모델(Response Surface Model)을 생성할 수 있으므로, 비용을 획기적으로 줄일 수 있다. 그러나, 실제 현상을잘 표현할 수 있는 신뢰도 높은 반응면 모델을 생성하기 위해서는 문제에 적합한 실험설계법 (Design of Experiments)과 근사모델의 선택이 필수적이다[5,6].
	다항식 반응면 모델의 한계는 무엇인가?	이 중 다항식 반응면 모델은 생성이 간단하고, 사용하기에 편리하기 때문에 가장 널리 사용되고 있다. 그러나 반응면 구성에 필요한 실험점 수를 줄이기 위하여 낮은 차수의 다항식을 사용할 경우 비선형성이 심한 현상을 모델링하기에는 한계가 있으며, 실험점이 충분하여 고차의 다항식을 사용한다 하더라도 Runge 현상(Runge’s Phenomenon)으로 알려진 고차 다항식 특유의 진동문제[7]를 처리하는 것은 또 다른 과제라 할 수 있다.
	메타모델링 방법이란 무엇인가?	많은 비용을 필요로 하는 물리적, 수치적 실험 결과를 근사 모델로 대체하여 해석 및 설계에 이용하는 메타모델링 방법이 다양한 공학 분야에서 사용되고 있다[1,2,3,4]. 메타모델링 방법은 물리적 또는 수치적 실험 결과를 실험에 영향을 주는 요소들로 모델링하고, 실험에 영향을 주는 요소와그 결과간의 관계를 파악하기 위한 일종의 통계학적, 수학적 과정이다. 여기서, 실험을 통하여 도출된 결과를 반응(Response)이라 하고, 실험에 영향을 주는 요소를 입력변수 또는 독립변수라 한다.

참고문헌 (8)

Donard R. Jones, "A Taxonomy of Global Optimization Methods Based on Response Surfaces," Journal of Global Optimization 21, 2001, pp. 345-383.
Forrester, A. I. J, Keane, A. J. and Bressloff, N. W., "Design and Analysis of Noisy Computer Experiments," AIAA Journal, Vol. 44, No. 10, 2006, pp. 2331-2339.

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Jerome Sacks, William J. Welch, Toby J. Mitchell and Henry P. Wynn, "Design and Analysis of Computer Experiments," Statistical Science, Vol. 4, No. 4, 1989, pp. 409-435.

상세보기
Felipe A. C. Viana, Raphael T. Haftka, Layne T. Watson, 2010, "Why Not Run the Efficient Global Optimization Algorithm with Multiple Surrogates?", AIAA 2010-3090.
Raymond H. Myers, Douglas C. Montgomery, Response Surface Methodology, John Wiley & Sons, INC., 1995.
Alexander Forrester, Andras Sobester , Andy Keane, Engineering Design via Surrogate Modelling, John Wiley & Sons, Ltd., 2008.
http://en.wikipedia.org/wiki/Runge's_phenomenon
Liang Zhao, K. K. Choi, and Ikjin Lee, "Metamodeling Method Using Dynamic Kriging for Design Optimization," AIAA Journal, Vol. 49, No. 9, 2011, pp. 2034-2046.

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