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문제 정의
- AP, PM을 두 개의 직선일 때, 직선 PM이 주어진 곡선을 M에서 자르고, 직선 MT는 점 M에서 그 곡선에 접하고 직선 AP를 T에서 자른다고 하자. 직선 PT의 양을 구하기 위해, 곡선의 무한히 작은 호 MN을 잡자, 그리고서 MP, AP에 각각 평행한 NQ, NR을 그린다, MP = m, PT = t, MR = a, NR = e라고 부르겠다.
- 한편, Barrow에 관한 수학사 연구를 수학교육에 접목시키려는 시도는 Flashman[19] 에 의해 이루어진 바 있다. 그의 연구에서는 미국의 대학생들에게 함수에 기초한 현대적인 미적분학과 Barrow의 정리를 비교하고 그 차이를 인식하게 하여, 그들이 미적분학에 대해 개념적으로 깊이 이해하고 수학을 인간의 문화적 활동으로 바라볼 수 있도록 하자는 제안을 하였다. 하지만, 앞서 밝혔듯, 이러한 접근방식은 미적분학을 처음 도입하는 고등학교 상황에서는 적합하다고 할 수 없다.
- Klein과 Poincare 등이 주창한 고전적인 역사발생적 교수-학습 원리의 경우, 수학의 발달을 누적적이고 연속적인 과정으로 보면서 개체발생이 계통발생을 재현하다는 원리를 심리발달에 적용해 수학의 발달과 교수-학습 과정을 내용적 측면에서 서로 연결시키려고 했다면, 이 연구에서는 그러한 내용적 유사성이 아니라 발달 메커니즘의 유사성, 곧 <대상→대상 사이의 관계→관계의 구조→구조의 대상화→…>의 순환적 메커니즘이 계통발생과 개체발생을 일관되게 설명할 수 있는 발달 메커니즘이라는 가정을 하고서, 오히려 그러한 발달의 불연속적 과정에 주목한다. 또한, 수학의 발달과 심리 발달을 연결함에 있어서 내용의 재현이 아니라, 수학의 불연속적 성장 과정에 대한 분석을 바탕으로 하여, 학습자가 그들의 현실에 맞게 일종의 학습 수준의 상승을 경험할 수 있는 상황을 구성하는 데에 초점을 둔다.
- 이 연구에서는, 이러한 수학사적 분석 결과를 바탕으로 현재의 우리나라 고등학교 미적분학 교수-학습에 접목시킬 수 있는 다음의 두 가지 제안을 하였다. 첫째, 연속함수 f(x)아래의 넓이를 나타내는 함수#에 대한 도함수를 구해야 할 지적인 필요성을 느끼도록 하는 교수-학습 상황을 구성할 것을 제안하였다.
- 즉, 어떤 연속 함수 f에 대한 역도함수 F가 주어진 경우, #를 구하기 위해 정적분을 이용해 넓이를 직접 찾는 대신에 #와 같은 공식을 활용하게 하는 교수-학습에 이를 것이다. 이런 점에서, 이 연구는 학생들이 미분과 적분의 관계를 충분히 이해하면서 미적분 계산을 하도록 도와주고자 하는 교육적 제안이라 할 수 있을 것이다.
- 이제는, 앞서 밝혔듯, 우리 주제의 처음 부분을 어떤 형태로 완성했다고 하겠다. 이에 대한 보충으로, 부록의 형태로 우리가 자주 사용하는 계산에 의해 접선을 구하는 방법을 덧붙이고자 한다. 매우 많은 잘 알려지고 익숙한 종류의 방법을 따른 것이지만, 나는 그렇게 하는 것이 어떤 이득이 있는지를 잘 모르겠다.
가설 설정
- Barrow 정리에 대한 증명 편의상 X가 증가할 때, XQ의 길이는 증가하고 곡선 A에서 점 R은 점 P의 앞에 위치한다고 가정하자. X축과 평행하면서 R을 지나는 직선을 그려라.
- ”를 입증해줄 수 있는 아이디어가 이미 들어가 있다는 것을 보여준다. 하지만 Barrow가 종합적 방법이 아닌 해석적 방법으로도 #를 입증할 수 있었다는 가정을 기초로 한 개연적 추측과 그에 따른 해석은 자칫 Barrow를 무한소 미적분학의 첫 번째 발명자로 단정해버리는 결과를 낳는다.
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