[논문]조건부 분위수의 중도절단을 고려한 비모수적 추정

김은영; 최혜미

doi:10.7465/jkdi.2013.24.2.211

초록
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중도절단된 자료가 있을 경우 조건부 분위수함수를 비모수적으로 추정하는 문제에 대하여 다루고 있다. 역함수에 근거한 방법인 Yu와 Jones (1998)에 의해 제안된 중복커널기법 추정량과 Lee 등(2006)의 국소로지스틱기법 추정량을 중도절단된 자료가 있는 경우로 수정하여 새롭게 제안하고, 이들을 기존의 Koenker와 Bassett (1978)의 점검함수에 근거한 커널평활 추정량들과 모의실험을 통해 비교해 보았다. 모의실험을 통하여 역함수에 근거한 추정량들은 조건부 분포가 대칭인 모형에서, 점검함수기법 추정량들은 한쪽으로 치우친 분포인 경우에 조건부 분위수를 대체로 더 잘 추정하고 있음을 알 수 있었다.

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We consider the problem of nonparametrically estimating the conditional quantile function from censored data and propose new estimators here. They are based on local logistic regression technique of Lee et al. (2006) and "double-kernel" technique of Yu and Jones (1998) respectively, which are modifi...

We consider the problem of nonparametrically estimating the conditional quantile function from censored data and propose new estimators here. They are based on local logistic regression technique of Lee et al. (2006) and "double-kernel" technique of Yu and Jones (1998) respectively, which are modified versions under random censoring. We compare those with two existing estimators based on a local linear fits using the check function approach. The comparison is done by a simulation study.

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문제 정의

본 논문에서는 중도절단자료가 있는 경우의 조건부 분위수의 비모수적 추정량에 대하여 논의하고 있다. 중도절단은 생존자료에서 많이 발생하며, 생존시간의 조건부 분위수모형은 가속수명모형이나 Cox 비례위험모형의 대안으로 사용되어지기도 한다.

가설 설정

임의중도절단의 경우 일반적으로 생존시간 T와 중도절단시간 C가 서로 독립이라는 가정 한다. 또한 중도절단시간 C와 공변량 X도 서로 독립이라고 가정하였다. 이는 중도절단이 공변량과 관계없이 일어나는 경우를 반영하고 있다.
본 논문에서는 국소선형회귀기법 적용을 위해 사용한 커널을 K, 반응변수 Y 의 평활에 사용할 커널을 L이라 하고, 각 커널의 띠폭 (bandwidth)을 h와 l로 나타냈으며, 두 커널 모두 대칭인 확률밀도함수라고 가정한다. 여기에서 커널 L의 분포함수를 Ω로 나타내었다.

제안 방법

다른 한편으로 역함수기법으로 유도된 추정량으로는 Yu와 Jones (1998)와 Lee 등 (2006)의 추정량을 들 수 있는데, 전자는 중복커널 국소선형법 (“double-kernel” local linear approach)을 후자는 국소로지스틱 회귀방법 (local logistic regression)을 적용하고 있다. 그러나 이들은 완전하게 관측된 자료의 경우에 제안된 추정량이어서, 본 논문에서는 누적한계추정량 (product-limit)을 사용한 가중치 부여를 통하여 중도절단을 고려하도록 수정한 추정량을 제안하였다. 여기에서 누적한계 (product-limit) 추정량은 Kaplan과 Meier에 의해 제안된 생존함수의 대표적인 비모수적 추정량으로 다음과 같이 정의된다.
을 최소로 하는 조건부 분포함수 추정량을 제안하였다. 식 (2.
중도절단시간 C는 각 모형마다 주어진 E의 분포와 같은 종류의 분포를 따르며 (즉 모형1과 2: 정규분포, 모형 3과 4: 지수분포), 평균과 분산을 조절하여 중도절단비율이 0% (C0), 약 20% (C2)와 약 30% (C3)인 모형에서 표본을 생성하였다. 표본 크기 n = 100으로 하고, 각 모형마다 세 분위수(p=0.1, p=0.5, p=0.9)를 계산하는 실험을 100번 반복 하였다. 모의실험 결과는 ISE (integrated squared error)에 의해 평가하였다.
커널 K로는 정규확률밀도함수, L로는 U(−1, 1)의 밀도함수를 사용하였다. 커널 K로 정규확률밀도함수 대신에 Epanechnikov 커널을 사용하여 모의실험을 수행해 추정량의 성질을 비교해 보기도 했는데, 정규확률밀도함수 커널과 비슷하였다. 커널평활의 경우 띠폭 h의 선택이 매우 중요한데 (Huh, 2012), 본 논문에서는 각 표본마다 띠폭을 변화시켜가면서 구한 조건부 분위수 추정량의 ISE가 가장 작은 띠폭을 선택하였다.
커널 K로 정규확률밀도함수 대신에 Epanechnikov 커널을 사용하여 모의실험을 수행해 추정량의 성질을 비교해 보기도 했는데, 정규확률밀도함수 커널과 비슷하였다. 커널평활의 경우 띠폭 h의 선택이 매우 중요한데 (Huh, 2012), 본 논문에서는 각 표본마다 띠폭을 변화시켜가면서 구한 조건부 분위수 추정량의 ISE가 가장 작은 띠폭을 선택하였다. 중복커널추정량의 경우 반응변수의 평활을 위해 사용된 커널 L의 띠폭(l)도 변화시켜가며 최적의 띠폭 (h, l)을 찾아야 하겠지만, 계산 량이 너무 많아지는 것을 피하고, Lee 등(2006)은 l이 h보다 빠르게 0으로 수렴하는 것을 가정하고 있으므로, 각 h별로 l = h/10, h/5, h/2 세 가지 경우에 추정치를 계산하고 최소로 하는 ISE를 구하여 비교하였다.
중도절단자료의 경우 공변량이 주어져 있을 때 반응변수의 조건부 분위수함수 q(x; p), 0 < p < 1 비모수적으로 추정하는 방법에 관심을 가지고, 조건부 분포함수를 추정한 후 역함수를 취한 추정량들의 수정된 형태를 제안하고 기존의 점검함수에 근거한 추정량과 모의실험을 통해 소표본적 성질을 비교하였다.
본 논문에서 제안한 중도절단자료가 있는 경우 역함수에 근거한 중복커널추정량 #와 국소로지스틱 추정량 #의 소표본에서의 성질을 점검함수에 근거한 Ghouch와 Van Keilegom (2009)의 #과 Gannoun 등 (2007)의 #와 모의실험을 통하여 비교해 보았다. Yu와 Jones (1998)에서 중도절단이 없을 경우 #와 # 또는 # (참고: 중도절단자료가 없을 때 #)의 비교를 위해 사용한네 개의 모형을 본 논문에서도 그대로 사용하였다.

데이터처리

9)를 계산하는 실험을 100번 반복 하였다. 모의실험 결과는 ISE (integrated squared error)에 의해 평가하였다.

이론/모형

최근 들어 고정 또는 임의중도절단을 고려한 조건부 분위수의 (준)모수적 추정량들이 많이 제안되고 있다 (Chernozhukov와 Hong, 2002; Bang과 Tsiatis, 2002; Portnoy, 2003). 그러나 본 논문에서는 분포 가정에 민감하지 않은 비모수적 추정량 중에서 특히 커널 평활의 국소선형기법 (local linear technique)을 이용한 추정량을 고려하고 있다. 이는 다른 대표적인 비모수적 함수 추정 기법인 스플라인 (spline)을 이용한 방법에 비해서 점근적 이론 성질이 잘 규명되어 있어서 적합도에 대한 평가가 더 용이하여 더욱 각광을 받고 있다.
, (Z_n, X_n, δ_n)는 서로 독립인 임의 중도절단이 있는 관측변수들을 나타낸다. 본 논문에서는 Park과 Kim (2011)에서와 같이 우측임의중도절단 (right random censoring)만을 고려하고 있다. 임의중도절단의 경우 일반적으로 생존시간 T와 중도절단시간 C가 서로 독립이라는 가정 한다.

성능/효과

(iii) 역함수에 근거한 추정량은 조건부 분포함수가 대칭인 모형 1과 2에서 이 더 좋은 성질을 보이고 있다. 특히 모형 1에서는 #, 모형 2에서는 #가 좋은 추정을 보이고 있으나, 그 차이는 크지 않고 한 쪽으로 치우친 모형 3과 4에서는 #의 ISE 중앙값이 #보다 대체로 더 작음을 볼 수 있다.

후속연구

다른 추정량들과 보다 공정한 비교를 위해서는 #만을 위한 계산 알고리즘 개발이 선행되어야 할 것이다. 모의실험을 통하여 네 가지 추정량의 소표본적 성질을 비교해 보았는데, 이들의 대표본적 성질을 이론적으로 밝히고 비교해 보아야 할 것이며, 모의실험에서 네 추정량 모두 중도절단이 있는 경우에 p = 0.9 분위수 추정의 정도가 모형 1을 제외하고는 심각하게 떨어지고 있는 점을 주목하여 그 원인분석과 적절한 대안을 생각해 보아야 할 것이다. 그리고 제안된 추정방법을 실제 자료에 적용시켜 분석해 볼 필요도 있다.
9 분위수 추정의 정도가 모형 1을 제외하고는 심각하게 떨어지고 있는 점을 주목하여 그 원인분석과 적절한 대안을 생각해 보아야 할 것이다. 그리고 제안된 추정방법을 실제 자료에 적용시켜 분석해 볼 필요도 있다. 이때 최적의 띠폭은 교차타당성 (cross-validation) 방법으로 선택할 수 있을 것이다.
커널평활을 이용한 비모수적 추정에서 띠폭은 매우 중요한 역할을 하고 있는데, 중도절단자료가 없는 경우에는 Yu와 Jones (1998)과 Lee 등 (2006)에서 띠폭 선택 방법에 대한 논의가 있지만, 중도절단된 자료가 있는 경우에는 이에 대한 연구가 미미하다. 따라서, 본 논문에서 고려한 추정량의 최적의 띠폭 결정방법에 대한 이론적인 연구 또한 이루어져야 할 것이다. 또한 추정의 편리성을 위해 공변량과 중도절단 변수가 독립이라고 가정하였지만, 실제로는 이 가정을 만족하기가 쉽지 않기 때문에 서로 의존하는 경우를 고려한 추정량을 제시하여야 할 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	중복커널방법은 어떤 방법인가?	중복커널방법은 I(Yi ≤ y)의 평활된 변형을 사용한 국소선형회귀 기법으로 조건부 확률밀도함수 추정을 위해 Fan 등 (1996)이 제안한 방법이다. 이를 Yu와 Jones (1998)가 조건부 분포함수 추정을 위해 적용하고, Kim 등 (2010)이 중도절단을 고려한 추정량으로 확장하였다.
	중복커널기법은 무엇에 근거한 방법인가?	중도절단된 자료가 있을 경우 조건부 분위수함수를 비모수적으로 추정하는 문제에 대하여 다루고 있다. 역함수에 근거한 방법인 Yu와 Jones (1998)에 의해 제안된 중복커널기법 추정량과 Lee 등(2006)의 국소로지스틱기법 추정량을 중도절단된 자료가 있는 경우로 수정하여 새롭게 제안하고, 이들을 기존의 Koenker와 Bassett (1978)의 점검함수에 근거한 커널평활 추정량들과 모의실험을 통해 비교해 보았다. 모의실험을 통하여 역함수에 근거한 추정량들은 조건부 분포가 대칭인 모형에서, 점검함수기법 추정량들은 한쪽으로 치우친 분포인 경우에 조건부 분위수를 대체로 더 잘 추정하고 있음을 알 수 있었다.
	조건부 중앙값 등과 같은 Y의 조건부 분위수 추정이 이용된 예는 무엇인가?	의 추정에 대한 관심 또한 높아지고 있으며, 다양한 분야에서 이용되고 있다. 예를 들어 병원에서는 환자의 상태가 정상범위에 속하는지 여부를 판단하기 위하여 참조차트 (reference chart)를 많이 사용하고 있는데, 이는 환자의 기초정보를 공변량으로 하는 조건부 분위수에 해당하는 것이다. 또한, 임금과 소득을 연구하는 표준 분석 방법 도구로 조건부 분위수를 사용하여, 서로 다른 소비 그룹에 속하는 개인별 차이를 인식하거나, 집단의 구성원간의 임금분포를 통해 적절한 세금을 징수하고 사회정책을 세우고 있다. 이외에도 금융분야에서 VaR 추정을 하는 경우나 환경·기후 현상모형을 세우는 경우에 조건부 극단 분위수 (conditional extreme quantile)를 이용하고 있다.

참고문헌 (16)

Bang, H. and Tsiatis, A. A. (2002). Median regression with censored cost data. Biometrics, 58, 643-649.

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Cai, Z. (2003). Wighted local linear approach to censored nonparametric regression. In Recent Advances and Trends in Nonparametric Statistics, edited by M. G. Akritas and D. M. Politis, Elsevier, 217-231.
Chernozhukov, V. and Hong, H. (2002). Three-step censored quantile regression and extramarital affairs. Journal of the American Statistical Association, 97, 872-882.

상세보기
Fan, J., Yao, Q. and Tong, H. (1996). Estimation of conditional densities and sensitivity measures. Biometrika, 83, 189-206.

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Gannoun, A., Saracco, J. and Yu, K. (2007). Comparison of kernel estimators of conditional distribution and quantile regression under censoring. Statistical Modelling, 7, 329-344.

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Ghouch, A. E. and Keilegom, I. V. (2009). Local linear quantile regression with dependent censored data. Statistica Sinica, 19, 1621-1640.

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Huh, J. (2012). Bandwidth selection for discontinuity point estimation in density. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 23, 79-87.

원문보기 상세보기
Kim, C., Oh, M., Yang, S. and Choi, H. (2010). A local linear estimation of conditional hazard function in censored data. Journal of the Korean Statistical Society, 39, 347-355.

원문보기 상세보기
Koenker, R. and Bassett, G. S. (1978). Regression quantiles. Econometrica, 46, 33-50.

상세보기
Koenker, R. (2005). Quantile regression, Economic Society Monographs 38, Cambridge University Press, Cambridge.
Lee, Y. K., Lee, E. R. and Park, B. U. (2006). Conditional quantile estimation by local logical regression. Nonparametric Statistics, 18, 357-373.

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Park, H. and Kim, J. S. (2011). An estimation of the treatment effect for the right censored data. Journal of the Korean & Information Science Society, 22, 537-547.
Portnoy, S. (2003). Censored regression quantiles. Journal of the American Statistical Association, 98, 1001-1012.

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Susarla, V., Tsai, W. Y. and Van Ryzin, J. (1984). A Buckley-James type estimator for the mean with censored data. Biometrika, 71, 624-625.

상세보기
Yu, K. and Jones, M. C. (1998). Local linear quantile regression. Journal of the American Statistical Association, 93, 228-237.

상세보기
Yu, K., Lu, Z. and Stander, J. (2003). Quantile regression: Applications and current research areas. Journal of the Royal Statistical Society B, 52, 331-350.

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