[논문]대학 입학 예정자들의 함수 및 미분의 기초개념 이해에 대한 오류 분석

임연휘; 표용수

문제 정의

본 논문에서는 2013학년도 P대학 수시모집 입학전형에 합격한 대학 입학예정자 136명을 대상으로 함수, 함수의 연속 및 미분가능에 대한 기초개념을 어느 정도 이해하고 있는지와 어떤 오류를 범하고 있는지를 분석하였다. 또한, 기초수학 특강 시행에 따른, 기초개념 이해에 대한 오류유형은 어떻게 변화되었는지도 알아보고자 하였다. 본 논문의 주요 연구결과는 다음과 같다.
이들 문항에 대한 오류분석을 통해, 함수의 연속과 미분가능에 대한 기초개념을 제대로 이해하고 있는지와 오류유형이 어떻게 변화되었는지를 알아보고자 하였다. 또한, 학급 수준에 따른 오류의 유형도 어떠한지도 알아보았다. 여기서, 연구팀은 기초수학 특강 최종평가에 사전 검사에 사용한 문제를 동일하게 출제한다는 어떤 사전 안내도 하지 않았으며, 학생들에게 본 연구와 관련된 어떤 내용도 알려주지 않고 시행하였다.
이 논문에서는 기초수학 특강에 참여한 2013학년도 P대학 입학예정자를 대상으로 함수, 함수의 연속 및 미분가능에 대한 기초개념을 어느 정도 이해하고 있는지와 어떤 오류를 범하고 있는지를 분석하여 기초수학 학습지도 자료로 활용하고, 이러한 오류는 기초수학 특강이 끝난 최종평가에서 어떻게 변화되었는지 알아보았다. 또한, 학생들이 범하기 쉬운 오류의 원인과 그 유형을 분석하여 수학 기초학력 부진학생들의 문제해결력을 향상시킬 수 있는 효율적 교수학습지도 방안을 마련하여 지속적인 학습지도 개선이 이루어지도록 하며, 학생에게 자신의 오류유형을 알려서 학생 스스로 학습실패에서 벗어날 수 있도록 안내하는데 연구의 목적이 있다.
이 논문에서는 기초수학 특강에 참여한 2013학년도 P대학 입학예정자를 대상으로 함수, 함수의 연속 및 미분가능에 대한 기초개념을 어느 정도 이해하고 있는지와 어떤 오류를 범하고 있는지를 분석하여 기초수학 학습지도 자료로 활용하고, 이러한 오류는 기초수학 특강이 끝난 최종평가에서 어떻게 변화되었는지 알아보았다. 또한, 학생들이 범하기 쉬운 오류의 원인과 그 유형을 분석하여 수학 기초학력 부진학생들의 문제해결력을 향상시킬 수 있는 효율적 교수학습지도 방안을 마련하여 지속적인 학습지도 개선이 이루어지도록 하며, 학생에게 자신의 오류유형을 알려서 학생 스스로 학습실패에서 벗어날 수 있도록 안내하는데 연구의 목적이 있다.
사후 검사에는 110명이 참여하였으며, 사전 검사에서의 A-1과 A-2문항은 기초수학 특강 최종평가 시험범위에 속하지 않아 제외하고 나머지 B-1, B-2, C-1 및 C-2의 4문항만 사후 검사에 포함하였다. 이들 문항에 대한 오류분석을 통해, 함수의 연속과 미분가능에 대한 기초개념을 제대로 이해하고 있는지와 오류유형이 어떻게 변화되었는지를 알아보고자 하였다. 또한, 학급 수준에 따른 오류의 유형도 어떠한지도 알아보았다.

제안 방법

‘기술적인 오류’ 및 ‘풀이과정의 중단의 오류’의 7가지로 구분하여, 고등학교 1학년 함수 단원 문제해결에 대한 오류유형을 분류하였다.
기초수학 특강 수준별 학급 편성 및 학습지도 자료로 활용하기 위하여 수업 이전에 시행한 기초학력 진단평가 문제 중에서 함수의 정의, 함수의 연속 및 미분의 기초개념 이해에 대한 오류분석을 위해 출제한 다음의 서술형 6문항(이하 사전 검사라 함)과 수업 이후, A-1과 A-2를 제외하고 최종평가에서 동일하게 출제한 4문항(이하 사후 검사라 함)에 답한 수강학생들의 수학적 오류의 유형을 분석하여, 그 오류유형의 변화와 함께 기초개념에 대한 이해의 정도를 조사하였다.
또한, 과제 및 연습은 2회의 인터넷 기반의 과제 수행과 3회 이상의 문제풀이 발표로 평가하였다.
본 논문에서는 2013년 1월 17일부터 2월 5일까지 진행된 기초수학 특강 참여 학생 136명을 연구대상으로 선정하여, 기초학력 진단평가를 통해 함수, 함수의 연속 및 미분가능에 대한 기초개념을 어느 정도 이해하고 있는지와 어떤 오류를 범하고 있는지를 조사하여 기초수학 특강 학습지도에 활용하고, 수강학생들의 오류유형이 기초수학 특강이 끝난 최종평가에서 어떻게 변화되었는지를 분석하였다.
본 논문에서는 기초개념 이해에 주안점을 두고, 오류를 ① 그림으로만 답한 오류, ② 서술 표현이 부족한 오류, ③ 유사 개념에 의한 오류, ④ 문제의 이해부족에 따른 오류, ⑤ 기초개념 이해부족에 따른 오류 및 ⑥ 문제해결력 결핍에 따른 오류 등의 6가지 유형으로 분류하여 분석하였다. 한편, 개념에 대한 정확한 이해를 바탕으로 정답을 제시한 경우, 풀이와 답을 전혀 제시하지 않은 경우와 풀이는 없고 답만 제시한 경우는 오류분석의 대상에서 제외하고 별도로 나타내었다.
본 논문에서는 오류를 그림으로만 답한 오류, 서술 표현이 부족한 오류, 유사 개념에 의한 오류, 문제의 이해부족에 따른 오류, 기초개념 이해부족에 따른 오류 및 문제해결력 결핍에 따른 오류의 6가지 유형으로 구분하여 분석하였다.
셋째, 본 논문에서는 수학 기초개념 이해에 주안점을 두고, 수학적 오류를 그림으로만 답한 오류, 서술 표현이 부족한 오류, 유사 개념에 의한 오류, 문제의 이해부족에 따른 오류, 기초개념 이해부족에 따른 오류, 문제해결력 결핍에 따른 오류의 6가지로 분류하였다. 오류 유형별 반응수에서 특이한 사항은 없었으나, 각 문항별 오류유형은 현저히 다르게 나타났다.
기초수학 특강의 수준별 학급편성은 기초수학 진단평가 점수와 세부 교과내용에 대한 이해도를 묻는 설문조사 결과를 고려하여 편성하고 있다. 진단평가 점수(96점 만점)에서, 상반은 60점 이상, 중반은 40점 이상에서 60점 미만, 하반은 40점 미만을 기준으로 설문조사 결과를 참조하여 편성하였다. 각 학급별 취득성적은 다음의 표와 같다.
진단평가 성적과 설문조사에서 학생이 작성한 교과 세부내용에 대한 이해 정도를 참조하여 수준별 학급을 편성하고, 각 학급에 1명의 전담조교를 배정하여 학급 운영과 문제풀이 및 과제지도 등을 전담하도록 하고 있다. 학습내용은 일반고등학교 수학교육과정의 행렬과 연산, 공간도형과 벡터, 수열과 무한급수, 함수 및 함수의 극한과 연속, 미분과 적분 등으로 구성하여 특강 교재와 함께, 수준별 학습지도를 위한 기초수학 표준지침서(부경대, 2010) 및 기초수학 학습활동 자료(부경대, 2011)를 활용하도록 하고있으며, 기초개념 이해 및 문제풀이 위주의 수업과 인터넷 기반의 과제를 수행하도록 하고있다. 또한, 마지막 수업시간에는 지속적인 강의개선이 이루어질 수 있도록 강의평가 및 인터넷 기반의 과제수행에 대한 설문조사도 실시하고 있다.

대상 데이터

본 논문에서는 2013학년도 P대학 수시모집 입학전형에 합격한 대학 입학예정자 136명을 대상으로 함수, 함수의 연속 및 미분가능에 대한 기초개념을 어느 정도 이해하고 있는지와 어떤 오류를 범하고 있는지를 분석하였다. 또한, 기초수학 특강 시행에 따른, 기초개념 이해에 대한 오류유형은 어떻게 변화되었는지도 알아보고자 하였다.
사후 검사에는 110명이 참여하였으며, 사전 검사에서의 A-1과 A-2문항은 기초수학 특강 최종평가 시험범위에 속하지 않아 제외하고 나머지 B-1, B-2, C-1 및 C-2의 4문항만 사후 검사에 포함하였다. 이들 문항에 대한 오류분석을 통해, 함수의 연속과 미분가능에 대한 기초개념을 제대로 이해하고 있는지와 오류유형이 어떻게 변화되었는지를 알아보고자 하였다.
서술형 6문항(36점 만점)에 대한 최고점수는 24점에 불과하였으며, 서술형 문항에 대한 점수가 0점인 학생은 37명, 3점으로 평가된 학생은 20명에 이르렀다. 따라서 서술형 문항의 답안 작성에 대한 학습지도가 절실히 필요함을 알 수 있었다.

성능/효과

둘째, 기초학력 진단평가 결과, 서술형 문항에 대한 성적은 연구대상 학생들이 수시모집 입학전형으로 합격한 기초학력 부진학생임을 감안하더라도 서술형 문항에 대한 성적은 아주 저조하였다. 각 영역별 점수에서는 공간도형과 벡터, 함수 및 함수의 극한과 연속 영역을 잘 이해하지 못하고 있는 것으로 나타났다.
‘기술적인 오류’ 및 ‘풀이과정의 중단의 오류’의 7가지로 구분하여, 고등학교 1학년 함수 단원 문제해결에 대한 오류유형을 분류하였다. 그 결과, 잘못 이해된 정리 또는 정의의 오류가 21.1%로 가장 높게 나타났다.
김경원(2005)은 고등학교 1학년 수학의 이차함수 활용에 관한 주관식 9문제에 대한 문제풀이 과정에서의 오류를 Movshovitz-Hadar 등이 제시한 오류유형을 참고하여, ‘문제의 자료를 잘못 사용하는 오류’, ‘문제의 내용을 잘못 해석하는 오류’, ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류’, ‘기술적인 오류’, ‘풀이과정을 생략한 오류’ 및 ‘해석이 불가능하거나 애매한 오류’의 6가지로 구분하여 분석하였다. 그 결과, 정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류가 가장 많았으며, 그 다음으로는 문제의 내용을 잘못 해석하는 오류가 높게 나타났다.
넷째, 사후 검사에 참여한 110명을 대상으로, 서술형 4문항에 대한 수학적 오류유형을 분석한 결과, 연구대상 학생들의 기초개념에 대한 이해는 상당히 향상되어 완전한 풀이와 정답을 제시한 경우는 전체의 41.8%에 이르렀으며, 해답을 작성하지 않은 경우는 5.0%에 불과하였다. 또한, 오류유형에서도 기초개념에 대해 이해는 하고 있지만 서술 표현이 부족한 오류가 44.
다섯째, 사후 검사에서 각 수준별 학급의 평균 정답률은 상반 54.6%, 중반 41.3%, 하반 32.4%로 나타났으며, 해답을 전혀 제시하지 않은 경우는 상반 2.8%, 중반 2.6%, 하반 10.3%이었다. 또한, 학급의 수준에 따라 각 오류의 유형별 반응수도 상당한 차이가 있음을 알 수 있었는데, 학급의 학력수준이 낮을수록 기초개념의 이해부족에 따른 오류와 결핍에 따른 오류의 비율이 높게 나타났다.
둘째, 기초학력 진단평가 결과, 서술형 문항에 대한 성적은 연구대상 학생들이 수시모집 입학전형으로 합격한 기초학력 부진학생임을 감안하더라도 서술형 문항에 대한 성적은 아주 저조하였다. 각 영역별 점수에서는 공간도형과 벡터, 함수 및 함수의 극한과 연속 영역을 잘 이해하지 못하고 있는 것으로 나타났다.
사후 검사 결과, 사전 검사에 비해, 완전한 풀이와 정답을 제시한 경우는 156% 증가한 반면, 해답을 전혀 작성하지 않은 경우는 88% 감소하였다. 따라서 해당 문항에 대한 기초개념 이해는 물론, 서술형 문제에 대한 수학적 표현력은 상당히 향상된 것으로 나타났다.
표에서와 같이, 사후 검사에서는 사전 검사에 비해, 완전한 풀이와 정답을 제시한 경우는 156% 증가하였으며, 해답을 전혀 작성하지 않은 경우는 88% 감소하였다. 또한, 오류유형에서는 기초개념은 이해하지만 서술적 표현력이 부족한 오류가 171% 증가하였다. 이는 기초 수학 특강이 수학 기초학력 부진학생들의 학력증진에 상당한 도움이 되었음을 보여준다.
0%에 불과하였다. 또한, 오류유형에서도 기초개념에 대해 이해는 하고 있지만 서술 표현이 부족한 오류가 44.0%로 가장 높았다. 사후 검사 결과, 사전 검사에 비해, 완전한 풀이와 정답을 제시한 경우는 156% 증가한 반면, 해답을 전혀 작성하지 않은 경우는 88% 감소하였다.
3%이었다. 또한, 학급의 수준에 따라 각 오류의 유형별 반응수도 상당한 차이가 있음을 알 수 있었는데, 학급의 학력수준이 낮을수록 기초개념의 이해부족에 따른 오류와 결핍에 따른 오류의 비율이 높게 나타났다.
0%로 가장 높았다. 사후 검사 결과, 사전 검사에 비해, 완전한 풀이와 정답을 제시한 경우는 156% 증가한 반면, 해답을 전혀 작성하지 않은 경우는 88% 감소하였다. 따라서 해당 문항에 대한 기초개념 이해는 물론, 서술형 문제에 대한 수학적 표현력은 상당히 향상된 것으로 나타났다.
셋째, 학생들의 오류 유형에 대한 이해 부족으로 학습지도 측면에서 부족한 면이 있었다고 생각한다. 오류유형의 분석 결과를 학습지도에 적극 활용하고, 학생에게 자신의 오류유형을 알려주어, 학생 스스로 학습실패에서 벗어날 수 있도록 안내하여야할 것이다.
셋째, 본 논문에서는 수학 기초개념 이해에 주안점을 두고, 수학적 오류를 그림으로만 답한 오류, 서술 표현이 부족한 오류, 유사 개념에 의한 오류, 문제의 이해부족에 따른 오류, 기초개념 이해부족에 따른 오류, 문제해결력 결핍에 따른 오류의 6가지로 분류하였다. 오류 유형별 반응수에서 특이한 사항은 없었으나, 각 문항별 오류유형은 현저히 다르게 나타났다. 또한, 답안을 전혀 작성하지 않은 경우가 전체의 44.
또한, 학급의 수준에 따라 각 오류의 유형별 반응수도 상당한 차이가 있음을 알 수 있다. 즉, 학급 수준이 낮을수록 기초개념의 이해부족에 따른 오류와 문제해결력 결핍에 따른 오류의 비율이 높게 나타났다.
첫째, 학생실태 설문조사에서 학생들은 수학의 필요성은 대체로 인식하면서도 기초학력 부진으로 수학교과에 대한 흥미는 부족한 것으로 나타났다. 이전까지의 수학공부에서 가장 어려웠던 점으로 내용적 측면에서는 학습량 과다, 선행학습 부족, 기초학력 부진 등의 순으로 답하였으며, 학습적 측면에서는 대부분의 학생들은 증명문제라고 답하였다.
표에서와 같이, 사후 검사에서는 사전 검사에 비해, 완전한 풀이와 정답을 제시한 경우는 156% 증가하였으며, 해답을 전혀 작성하지 않은 경우는 88% 감소하였다. 또한, 오류유형에서는 기초개념은 이해하지만 서술적 표현력이 부족한 오류가 171% 증가하였다.
다음의 표는 서술형 문항에 대한 답안 작성자 수와 사전 검사의 취득점수를 나타낸 것으로, 소수점 둘째자리에서 반올림하였다. 표에서와 보는바와 같이 서술형 문항에 대한 답안작성 평균비율은 55.3%(답만 작성한 경우 제외)로 아주 저조하였으며, 함수의 정의를 묻는 A-1 문항과 주어진 함수의 미분계수의 설명을 요구한 C-2 문항에 대한 응시자 전체의 평가점수는 6점 만점에 각각 0.2점과 0.3점으로 극히 저조하였다. 더구나 서술형 문항 전체에서 답안을 전혀 작성하지 않은 학생도 23명이나 되었다.

후속연구

넷째, 본 논문에서는 함수 및 함수의 연속, 미분가능 등의 기초개념에 대한 이해 정도를 알아보기 위한 서술형 문항에 한정되어 있으므로, 수학 기초학력 부진학생들이 상대적으로 어려워하는 공간도형과 벡터 영역에 대한 서술형 문항은 물론, 타 영역의 수학 문제해결력 향상을 위한 오류분석도 필요할 것으로 생각한다.
둘째, 기초개념에 대한 이해 부족과 서술적 표현력 부족이 오류유형의 주류를 이루고 있으므로, 교수자는 교과목 도입단계에서 기초적이고 기본적인 개념학습지도에 중점을 두고 오개념으로 인한 수학적 오류가 반복되지 않도록 유의하여 지도하여야할 것이다. 특히, 문제의 이해부족에 따른 오류는 서술형 문제풀이에 대한 경험이 부족한 학생들이 문제의 의미를 잘 이해할 수 있도록 출제함으로써 어느 정도는 사전에 방지할 수 있을 것이다.
오류유형의 분석 결과를 학습지도에 적극 활용하고, 학생에게 자신의 오류유형을 알려주어, 학생 스스로 학습실패에서 벗어날 수 있도록 안내하여야할 것이다. 또한, 학급의 학력수준이 낮을수록 수학 기초개념 이해부족에 따른 오류와 문제해결력 결핍에 따른 오류의 비율이 높음을 감안하여 지도하여야 할 것이다. 특히, 기초개념을 잘못 이해하고 있거나 계산능력이 부족한 경우는 그에 따른 별도의 학습지도나 별도의 문제풀이 연습 등을 통하여 문제해결력을 향상하도록 하여야 할 것이다.
또한, 학생 ‘다’는 사전 검사에서 그림을 그리고 연속이라고 답하여 문제해결력 결핍에 따른 오류를 범하였으나. 사후 검사에서는 극한에 대한 설명은 전혀 하지 않고 문제와는 상관이 없는 미분을 거론하는 등, 일부 개선되기는 하였으나, 문제의 이해부족에 따른 오류를 계속하여 범하고 있으므로 보다 각별한 지도가 요청된다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	정혜진은 수학적 오개념을 무엇이라고 정의했는가?	국어사전에서는 오류(誤謬)를 ‘그릇되어 이치에 맞지 않는 일’, ‘생각이나 지식 등에서 그릇된 일’, ‘사유의 혼란, 감정적인 동기 때문에 논리적 규칙을 소홀히 함으로써 저지르게 되는 바르지 못한 추리’ 등으로 설명하고 있다. 오류에 해당하는 영어 단어는 error 또는 fallacy로 ‘잘하지 못하여 그릇된 점’, ‘조심하지 않아 그르치는 행위’, ‘실수’, ‘틀린 생각’, ‘허위’ 등의 의미를 지니고오정현(1997)은 수학적 오류를 ‘수학의 개념상 바르지 못한 논리과정’으로 설명하고 있으며, 정혜진(2008)은 ’학습 이전에 스스로 형성하여 학생의 인지구조 속에 내면화되어 있는 현재의 지식 중 수학적 개념과 일치하지 않거나 제한된 영역에서만 성립하는 선행지식‘을 수학적 오개념이라 하고, 이러한 오개념에 의해 나타나는 학습과정과 결과를 수학적 오류라고 하였다.
	Radatz(1979)는 정보처리 이론을 기초로 오류의 원인을 어떻게 분류하였는가?	Radatz(1979)는 정보처리 이론을 기초로 오류의 원인을 ‘언어의 난이성’, ‘공간 정보 획득의 어려움’, ‘사전 지식의 습득 부족’, ‘사고의 경직성 또는 부정확한 연합’과 ‘관련이 없는 법칙이나 전략의 적용’의 5가지로 분류하고, 오류의 원인은 서로 상호작용이 있기 때문에 같은 문제에서도 서로 다른 오류가 일어날 수 있고, 다른 문제에서도 같은 오류가 일어날 수 있다고 하였다. Movshovitz-Hadar 등(1987)은 이스라엘 고등학교 학생들이 수학 졸업시험에서 18개 주관식 문항에 대답한 오류를 분석하기 위하여, 오류를 ‘문제의 자료를 잘못 사용하는 오류’, ‘문제의 내용을 잘못 이해하는 오류’, ‘논리적으로 부적절한 추론을 하는 오류’, ‘정리나 정의를 부적절하게 사용하는 오류’, ‘논증되지 않은 해답을 쓰는 오류’ 및 ‘기술적인 오류’로 구분하였는데, 그 결과, 정리나 정의를 부적절하게 사용한 오류가 가장 많았다(재인용, 문혜영․김응환, 2011).
	그림으로만 답한 오류는 무엇에서 비롯되는 것인가?	이 유형은 오른쪽의 A-2 문항에 대한 답안과 같이, 어떤 설명도 없이 그림만으로 답한 오류이며, 함수 및 일대일함수에 대한 정의를 묻는 A-1과 A-2 문항에서 두드러지게 나타났다. 이는 고등학교 과정에서 대부분 그림으로 설명을 듣고 그 개념에 대해서는 정확하게 이해하지 못한 결과에서 비롯된 것으로 생각한다.

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