[논문]민들린 평판의 아이소-지오메트릭 형상 설계민감도 해석

이승욱; 조선호

doi:10.7734/coseik.2013.26.4.255

민들린 평판의 아이소-지오메트릭 형상 설계민감도 해석
Isogeometric Shape Design Sensitivity Analysis of Mindlin Plates 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.26 no.4, 2013년, pp.255 - 262

이승욱 (서울대학교 조선해양공학과 아이소-지오메트릭 최적설계 창의연구단) , 조선호 (서울대학교 조선해양공학과 아이소-지오메트릭 최적설계 창의연구단)

초록
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본 논문에서는 아이소-지오메트릭 기법을 기반으로 민들린 후판에 대한 형상 설계민감도 해석법을 제시하였다. 아이소-지오메트릭 기법은 정확한 기하학적 형상의 표현, 요소 사이의 높은 연속성 등 바람직한 강점들을 가지고 있으며 궁극적으로는 해석해로의 빠른 수렴성과 정확한 설계민감도를 제공한다. 선형 형상함수를 사용하는 유한요소법과는 달리 아이소-지오메트릭 기법에서는 높은 차수의 NURBS 기저함수를 활용하여 CAD 형상의 법선벡터와 곡률을 정확하게 고려한다. 전단 잠김(Shear locking) 현상을 극복하기 위해서 선택적 감소적분(Selective reduced integration) 기법을 사용하였다. 이 간단한 방법은 복잡한 정식화 과정 없이 정확한 아이소-지오메트릭 형상 설계민감도 해석을 수행한다. 굽힘 문제에 대한 수치예제를 통하여 제안된 아이소-지오메트릭 해석과 유한요소 해석을 비교하였으며, 유한차분 설계민감도와 비교하여 아이소-지오메트릭 형상 설계민감도는 매우 정확함을 확인하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, a shape design sensitivity analysis(DSA) method is presented for Mindlin plates using an isogeometric approach. The isogeometric method possesses desirable advantages; the representation of exact geometry and the higher order inter-element continuity, which lead to the fast convergence of solution as well as accurate sensitivity results. Unlike the finite element methods using linear shape functions, the isogeometric method considers the exact normal vector and curvature of the CAD geometry, taking advantages of higher order NURBS basis functions. A selective reduced integration(SRI) technique is incorporated to overcome the difficulty of 'shear locking' phenomenon. This simple technique is surprisingly helpful for the accuracy of the isogeometric shape sensitivity without complicated formulation. Through the numerical examples of plate bending problems, the accuracy of the proposed isogeometric analysis method is compared with that of finite element one. Also, the isogeometric shape sensitivity turns out to be very accurate when compared with finite difference sensitivity.

주제어

AI 본문요약
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제안 방법

Fig. 3과 같이 분포하중이 가해지는 구멍이 뚫린 원형 판에 대하여 변위 해석과 형상 설계민감도 해석을 수행하였다. 내부 구멍의 경계에서는 고정단 경계조건을 부여하고 평면에 수직방향으로 0.
Table 3과 4에서는 유한요소법과 아이소-지오메트릭 기법으로 형상 설계민감도 해석을 수행한 것을 유한차분 해와 수학적엄밀해와 각각 비교하였다. 유한요소법과 아이소-지오메트릭 기법 모두 유한차분법에 의한 결과와는 비슷한 일치도를 보이고 있으나 해석적인 설계민감도 값은 아이소-지오메트릭 기법이 더 좋은 정확도를 보이고 있음을 알 수 있다.
3과 같이 분포하중이 가해지는 구멍이 뚫린 원형 판에 대하여 변위 해석과 형상 설계민감도 해석을 수행하였다. 내부 구멍의 경계에서는 고정단 경계조건을 부여하고 평면에 수직방향으로 0.01N/m²의 균일한 하중을 가하였다.
본 논문에서 제안된 아이소-지오메트릭 기법으로 얻은 해와 설계민감도의 정확도를 수학적 해석해와 유한요소 해석결과와 비교하여 입증하였다. 몇 가지 수치 예제를 통해 높은 차수의 기하학적 효과와 정확한 기하 형상에 대한 영향을 살펴본다.
본 논문에서는 아이소-지오메트릭 기법을 사용하여 후판에 대한 형상 설계민감도 해석을 수행하였다. 물질 도함수 개념을 사용하여 후판에 대한 형상 설계민감도 식을 유도하였다. 아이소-지오메트릭 기법을 통해서 이 설계민감도 식을 이산화하여 구한 아이소-지오메트릭 민감도는 수학적으로 엄밀한 설계민감도를와 비교하여 유한요소법보다 정확함을 확인하였다.
본 논문에서는 아이소-지오메트릭 기법을 사용하여 후판에 대한 형상 설계민감도 해석을 수행하였다. 물질 도함수 개념을 사용하여 후판에 대한 형상 설계민감도 식을 유도하였다.
후판에 대한 형상 설계민감도 해석에 대해서는 여러 연구자들에 의해 진행된 바 있으며 준 해석적(Semi-analytical) 형상 설계민감도는 Oral(2000)에 의해 제안되었다. 여기서 후판에 대한 혼합-응력(Hybrid-stress) 유한요소법을 제시하였으며, 급수 전개에서 고차 항까지 설계민감도 계산에 적용함으로써, 기존의 준 해석적 형상 설계민감도의 단점을 극복하려고 시도하였다. 판과 쉘 구조의 형상 설계민감도에 대한 연구(Kim et al.
이 논문에서는 유한차분법에 의한 준 해석적 방법 대신에, 물질 도함수(Material derivative) 개념을 도입한 해석적인 형상 설계민감도를 아이소-지오메트릭 이산화를 통해 계산한다. 이를 통해 위에 언급한 아이소-지오메트릭 방법의 장점들이 적용되며, 따라서 기존의 유한요소법이 가지고 있는 부정확한 모델링의 한계를 극복할 수 있을 뿐만 아니라 고차 형상정보가 정확하게 고려되어 정확한 설계민감도 계산을 수행할 수 있다.
6(a)에서와 같이 단순지지 되어 있다. 형상 설계민감도 해석을 위한 설계속도장을 구하기 위하여 모델의 반경을 0.1% 정도로 섭동하였다. 설계속도장은 선형적으로 변화하며 Fig.

데이터처리

본 논문에서 제안된 아이소-지오메트릭 기법으로 얻은 해와 설계민감도의 정확도를 수학적 해석해와 유한요소 해석결과와 비교하여 입증하였다. 몇 가지 수치 예제를 통해 높은 차수의 기하학적 효과와 정확한 기하 형상에 대한 영향을 살펴본다.

이론/모형

기존의 유한요소법은 요소들 사이에서 C⁰ 연속성을 가지고 있는 반면에 아이소-메트릭 기법은 p차 NURBS 기저함수에 대해 C^p-1연속성을 가지고 있다. 그리고 아이소-지오메트릭 해석은 해석할 모델을 정확하게 표현할 수 있지만 기존의 유한요소법은 Piecewise 선형 보간법을 사용하여 모델을 나타낸다. 이러한 사실 때문에 기존의 유한요소법에서는 정확한 법선벡터와 곡률을 계산하기 어려운 반면 아이소-지오메트릭 기법은 이러한 항들을 정확하게 계산할 수 있다(Cho and Ha, 2010).
아이소-지오메트릭 해석(IGA; Isogeometric Analysis)은 근래에 활발히 연구되는 수치해석 방법들 중에서 기존의 유한요소해석(FEA; Finite Element Analysis)을 대체할 수 있는 잠재력을 지닌 기법으로 Hughes 등(2005)에 의해 제안되었다. 아이소-지오메트릭 해석법에서는 수학적 모델을 해석하기 위하여 유한요소법의 노드와 형상함수를 사용하지 않고, CAD에서 사용된 NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline) 형상함수와 조정점을 응답해석에 그대로 적용한다. 이는 유한요소법이 가지고 있지 않은 여러 장점들을 가지고 있다.
유한요소망이 덜 세밀화 될수록 아이소-지오메트릭 기법이 유한요소법과 비교해서 더 정확함을 알 수 있다. 유한요소법은 선형 형상함수를 사용하였고 아이소-지오메트릭 방법은 2차 NURBS 형상함수를 채택하였다. 더 높은 차수의 형상함수로 정식화되어졌기 때문에 아이소-지오메트릭 방법이 더 좋은 결과를 보여주고 있음을 알 수 있다.
차수가 0보다 클 때는 기저함수는 다음과 같이 Cox-deBoor 순환식을 사용하여 구성된다.

성능/효과

물질 도함수 개념을 사용하여 후판에 대한 형상 설계민감도 식을 유도하였다. 아이소-지오메트릭 기법을 통해서 이 설계민감도 식을 이산화하여 구한 아이소-지오메트릭 민감도는 수학적으로 엄밀한 설계민감도를와 비교하여 유한요소법보다 정확함을 확인하였다. 이는 아이소-지오메트릭 기법이 정확한 기하학적 정보를 표현할 수 있기 때문에 이산화에 따른 기학학적 손실이 없기 때문이다.
Table 3과 4에서는 유한요소법과 아이소-지오메트릭 기법으로 형상 설계민감도 해석을 수행한 것을 유한차분 해와 수학적엄밀해와 각각 비교하였다. 유한요소법과 아이소-지오메트릭 기법 모두 유한차분법에 의한 결과와는 비슷한 일치도를 보이고 있으나 해석적인 설계민감도 값은 아이소-지오메트릭 기법이 더 좋은 정확도를 보이고 있음을 알 수 있다.
4에 로그-로그 스케일로 나타내었다. 유한요소법보다 아이소-지오메트릭 기법에서 더욱 정확하고, 빠르게 해가 수렴함을 알 수 있다.

후속연구

그러나 아이소-지오메트릭 기법의 경우에는 높은 차수의 기하학적 정보의 영향으로 정확한 곡률과 법선벡터가 계산이 가능하며, 결과적으로 정확한 형상 설계민감도를 계산할 수 있다. 이러한 결과를 바탕으로 형상 최적설계 문제에 적용하였을 때 정확하고 효율적인 최적설계를 수행할 수 있을 것으로 예상된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	아이소-지오메트릭 해석법에서는 수학적 모델을 해석하기 위하여 어떤 함수를 쓰는가?	아이소-지오메트릭 해석(IGA; Isogeometric Analysis)은 근래에 활발히 연구되는 수치해석 방법들 중에서 기존의 유한요소해석(FEA; Finite Element Analysis)을 대체할 수 있는 잠재력을 지닌 기법으로 Hughes 등(2005)에 의해 제안되었다. 아이소-지오메트릭 해석법에서는 수학적 모델을 해석하기 위하여 유한요소법의 노드와 형상함수를 사용하지 않고, CAD에서 사용된 NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline) 형상함수와 조정점을 응답해석에 그대로 적용한다. 이는 유한 요소법이 가지고 있지 않은 여러 장점들을 가지고 있다.
	아이소-지오메트릭 해석은 무엇인가?	아이소-지오메트릭 해석(IGA; Isogeometric Analysis)은 근래에 활발히 연구되는 수치해석 방법들 중에서 기존의 유한요소해석(FEA; Finite Element Analysis)을 대체할 수 있는 잠재력을 지닌 기법으로 Hughes 등(2005)에 의해 제안되었다. 아이소-지오메트릭 해석법에서는 수학적 모델을 해석하기 위하여 유한요소법의 노드와 형상함수를 사용하지 않고, CAD에서 사용된 NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline) 형상함수와 조정점을 응답해석에 그대로 적용한다.
	민들린 후판에 대한 형상 설계민감도 해석법연구에 사용된 기법의 장점은?	본 논문에서는 아이소-지오메트릭 기법을 기반으로 민들린 후판에 대한 형상 설계민감도 해석법을 제시하였다. 아이소-지오메트릭 기법은 정확한 기하학적 형상의 표현, 요소 사이의 높은 연속성 등 바람직한 강점들을 가지고 있으며 궁극적으로는 해석해로의 빠른 수렴성과 정확한 설계민감도를 제공한다. 선형 형상함수를 사용하는 유한요소법과는 달리 아이소-지오메트릭 기법에서는 높은 차수의 NURBS 기저함수를 활용하여 CAD 형상의 법선벡터와 곡률을 정확하게 고려한다.

참고문헌 (8)

Ahn, S., Kim, M.G., Cho, S. (2010) Isogeometric Shape Design Optimization of Structures under Stress Constraints, Journal of Computational Structural Engineering Institute of Korea, 23(4), pp.275 -282.
Bazilevs, Y., Hughes, T.J.R (2007) Weak Imposition of Direchlet Boundary Conditions in Fluid Mechanics, Computers and Fluids, 36(1), pp.12-26.

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Cho, S., Ha, S.-H. (2009) Isogeometric Shape Design Optimization :Exact Geometry, Enhanced Sensitivity, Structural and Multidisciplinary Optimization, 38(1), pp.53-70.

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Cottrell, J.A., RealiA, Bazileves, Y., Hughes, T.J.R (2006) Isogeometric Analysis of Structureal Vibrations, Computer Method in Applied Mechanics and Engineering, 195, pp.5257-5296.

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Hughes, T.J.R., Cottrell, J.A., Bazileves, Y. (2005) Isogeometric Analysis : CAD, FInite Elements NURBS, Exact Geometry and Mesh Refinement, Computer Method in Applied Mechanics and Engineering, 194, pp.4135-4195.

상세보기
Kim, N.H., Choi, K.K., Chen, J-S., Botkin, M.E. (2002) Meshfree Analysis and Design Sensitivity Analysis for Shell Structures, International Journal for Numerical Methods in Engineering, S, 53(9), pp.2087-2116.

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Oral, S. (2000) Mindlin Plate Finite Element with Semianalytical Shape Design Sensitivities, Computer and Structures, 78(1), pp.467-472.

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Timoshenko, Stehan, P. Woinowsky-Kringer, S. (1961) Theory of Plates and Shells, Mcgraw-Hill Book Company, p.580.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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