[논문]비중첩 영역 분할기법 기반 병렬해석의 정확도 분석

탁문호; 송유섭; 전혜관; 박대효

doi:10.7734/coseik.2013.26.4.301

비중첩 영역 분할기법 기반 병렬해석의 정확도 분석
Accuracy Analysis of Parallel Method based on Non-overlapping Domain Decomposition Method 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.26 no.4, 2013년, pp.301 - 308

탁문호 (한양대학교 건설환경공학과) , 송유섭 (한양대학교 건설환경공학과) , 전혜관 (한양대학교 건설환경공학과) , 박대효 (한양대학교 건설환경공학과)

초록
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본 논문에서는 새로운 비중첩 영역 분할 기법을 바탕으로 한 병렬해석의 정확도 분석이 수행된다. Tak 등(2013)에 의해 제안된 이 방법에서 분할된 하위도메인들은 서로 중첩되지 않으며 계면요소(interfacial element)라 불리는 가상연결유한요소를 통해 서로 간의 관계가 결정된다. 이 접근법의 주요 장점은 영역 분할시 floating 도메인에서 발생할 수 있는 특이강성행렬(singular stiffness matrix)을 계면요소의 결합을 이용하여 가역행렬(invertible matrix)로 변환할 수 있다는 것과 기존의 FETI법에 비하여 해석시간과 스토리지(storage) 사용을 줄일 수 있다는 것이다. 반면에 3개 이상의 하위도메인들이 한 점에서 연결되는 경우를 의미하는 cross point에서는 해석의 정확도가 저하되는 경향이 나타났다. 따라서 본 논문에서는 새로운 비중첩 영역 분할기법에 대해 다양한 영역분할의 경우에 따라 발생하는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수에 따른 정확도 분석이 수행되고 정확도가 저하되는 원인분석 및 대책이 논의된다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, an accuracy analysis of parallel method based on non-overlapping domain decomposition method is carried out. In this approach, proposed by Tak et al.(2013), the decomposed subdomains do not overlap each other and the connection between adjacent subdomains is determined via simple connective finite element named interfacial element. This approach has two main advantages. The first is that a direct method such as gauss elimination is available even in a singular problem because the singular stiffness matrix from floating domain can be converted to invertible matrix by assembling the interfacial element. The second is that computational time and storage can be reduced in comparison with the traditional finite element tearing and interconnect(FETI) method. The accuracy of analysis using proposed method, on the other hand, is inclined to decrease at cross points on which more than three subdomains are interconnected. Thus, in this paper, an accuracy analysis for a novel non-overlapping domain decomposition method with a variety of subdomain numbers which are interconnected at cross point is carried out. The cause of accuracy degradation is also analyze and establishment of countermeasure is discussed.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

따라서 본 논문에서는 Tak 등(2013)의 연구에서 제안된 새로운 비중첩 영역 분할기법에 대해 다양한 영역 분할방법에 따라 발생할 수 있는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수에 따른 정확도 분석(accuracy analysis)이 수행되고 정확도가 떨어지는 부분에 대한 원인분석 및 대책이 논의된다.
하지만 해석의 정확도 측면에서는 cross point에 접촉하는 하위도메인 수가 증가할수록 정확도가 저하된다는 문제점이 발생하였다. 따라서 본 논문에서는 제안된 비중첩 영역 분할기법에 대해 영역 분할방법에 따라 발생할 수 있는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수에 따른 정확도 분석(accuracy analysis)이 수행되고 정확도가 떨어지는 부분에 대한 원인분석 및 대책이 논의된다.
본 논문에서는 Tak 등(2013)의 연구에서 제안된 새로운 비중첩 영역 분할기법에 대해 다양한 영역 분할방법에 따라 발생할 수 있는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수에 따른 정확도 분석(accuracy analysis)이 수행되고 정확도가 떨어지는 부분에 대한 원인분석 및 대책이 논의되었다. 이를 위해 새로운 비중첩 영역 분할기법에 대한 이론적 배경이 설명되었으며, 이를 바탕으로 구현된 FEM의 좋은 수치효율성과 병렬확장성을 가진 알고리즘을 구현하기 위해 필요한 과정이 설명되었다.
이 장에서는 Tak 등(2013)에서 제안된 비중첩 영역 분할 기법(non-overlapping domain decomposition method)을 소개한 후, 이론에 대한 수식 전개 및 병렬알고리즘의 흐름을 상세하게 나타내고자 한다.

제안 방법

3을 적용하였다. 그리고 경계조건으로는 좌측의 1개 노드를 고정하였으며 외력은 우측 노드에 x방향으로 1N을 가하였다.
3은 제안된 기법의 정확도 분석을 위해 수행된 수치 예제 모델의 형상을 나타낸 것이다. 모델은 2차원 원형 형상이며, 중심의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수에 따라 정확도를 분석하였다. 좀 더 정확한 분석을 위해 요소의 개수를 각각 608개와 2,432개로 달리하여 2가지 경우에 대한 해석을 수행하였으며, 탄성계수 E와 포아송비 ν는 각각 1.
영역 분할기법은 크게 중첩법(overlapping method)과 비중첩법(non-overlapping method)으로 나뉘는데, 본 연구에서는 특히 비중첩 영역 분할기법에 의한 초점을 맞추어 해석을 수행하였다. 이 방법에서는 하위도메인끼리의 연속성을 하위도메인들 사이의 인터페이스를 따라 라그랑지 승수(lagrange multiplier) 같은 상호 연결 변수를 발생시켜 적합조건(compatibility condition)을 만족시키는 방법을 이용하며, 그 중 Farhat 등(1991)이 제안한 FETI(finite element tearing and interconnect)법이 가장 널리 사용된다.
이는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수가 늘어나면 식 (6)의 ‘group 1' 블록 행렬에 미치는 D matrix의 영향이 커지기 때문에 그 값에 따라 정확도가 크게 좌우되는 것으로 판단되어 본 연구에서는 또한 D matrix의 요소 값에 따른 수치해석의 정확도 분석이 수행되었다.
제안된 기법에 대한 해석은 클러스터(cluster)라 불리는 대규모 병렬처리 컴퓨터(massively parallel processing computer, MPP) 시스템 환경에서 수행된다. 본 연구기관에서 자체 구축된 클러스터 시스템은 1개의 master 노드와 64개의 slave 노드를 합하여 총 65개의 노드로 구성되어 있고, 이 중 master 노드는 2개의 64비트 quad-core Intel Xeon Nehalem E5530 프로세서(8core, 48GB 메모리)로 구성된다.
이를 위해 새로운 비중첩 영역 분할기법에 대한 이론적 배경이 설명되었으며, 이를 바탕으로 구현된 FEM의 좋은 수치효율성과 병렬확장성을 가진 알고리즘을 구현하기 위해 필요한 과정이 설명되었다. 제안된 기법의 정확도 분석을 위해 2차원 원형 형상의 수치모델을 이용하여 요소의 개수에 따라 2가지 경우에 대한 수치해석이 수행되었다. 2가지 경우 모두 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수(2, 4, 8, 16, 32개)에 따른 해석의 정확도 비교를 통해 하위도메인이 2개, 4개가 cross point에서 만나는 경우는 결과가 거의 serial code에 가까웠지만 하위도메인의 수가 4개로부터 8개가 되면서 정확도는 35%이하로 급격하게 저하되었으며, 하위 도메인의 수가 16개, 32개로 늘어나면서 정확도가 더욱 악화되는 현상이 발생함을 알 수 있었다.
좀 더 정확한 분석을 위해 요소의 개수를 각각 608개와 2,432개로 달리하여 2가지 경우에 대한 해석을 수행하였으며, 탄성계수 E와 포아송비 ν는 각각 1.0e6PA와 0.3을 적용하였다.

대상 데이터

제안된 기법에 대한 해석은 클러스터(cluster)라 불리는 대규모 병렬처리 컴퓨터(massively parallel processing computer, MPP) 시스템 환경에서 수행된다. 본 연구기관에서 자체 구축된 클러스터 시스템은 1개의 master 노드와 64개의 slave 노드를 합하여 총 65개의 노드로 구성되어 있고, 이 중 master 노드는 2개의 64비트 quad-core Intel Xeon Nehalem E5530 프로세서(8core, 48GB 메모리)로 구성된다. 또한, 각각의 slave 노드는 master 노드와 마찬가지로 2개의 quad-core 프로세서(8core, 24GB 메모리)로 구성되므로 slave 노드는 도합 512core, 1,536GB 메모리로 이루어져 있다.

이론/모형

한편, [K^ff+D^jj] 와 Schur Comlement를 구한 후식 (7) 상의 역행렬 Ai를 얻기 위해서는 [K^ff+D^jj]^-1, [K^ff+D^jj]^-1 K^ft 그리고 S^-1을 이용하여 행렬-벡터 곱셈연산이 수행되어야 하며, 이 과정에서 많은 전산시간이 소요된다. 따라서 멀티스레딩(multithreading)이 필수적이며, 본 연구에서는 공유메모리(shared memory) 멀티프로세서 시스템 환경에서 현재 가장 널리 사용되는 인터페이스 라이브러리인 Open Multiprocessing(OpenMP)가 사용되었다.
이 정보들을 이용해 구성된 하위도메인별 강성행렬이 symmetric, positive definite, banded한 특성을 모두 만족한다면, 각각의 CPU들에서 개별적인 유한요소해석이 수행된다. 또한, 이 과정에서는 Cuthill-Mckee 알고리즘(Cuthill et al., 1969)을 적용하여 기존 sparse한 강성행렬을 띠행렬(banded matrix)로 만들기 위한 노드 재배열이 수행된다. 이로 인해 식 (2)의 대각 블록행렬 K^tt와 K^ff의 bandwidth가 감소되어 Schur Complement S를 계산하는데 효율성을 높일 수 있고 이후 식 (8)에서 역행렬을 계산하는 과정에서도 수치적으로 효율성이 개선된다.
본 연구의 병렬 알고리즘은 Single Instruction Multiple Data(SIMD)에 기반하고 각각의 하위도메인은 Message Passing Interface(MPI) 라이브러리를 통해 서로 통신한다. 또한, 행렬-벡터 곱셈연산과 루프(loop)명령을 효율적으로 수행하기 위해 공유메모리(shared memory) 멀티프로세서 시스템 환경에서의 인터페이스 라이브러리인 Open Multiprocessing(OpenMP)가 이용된다.
제안된 영역 분할기법에 대한 병렬 알고리즘이 높은 효율성을 얻기 위해서는 해석이 실행되는 하드웨어 시스템에 최적화되어야 한다. 본 연구의 병렬 알고리즘은 Single Instruction Multiple Data(SIMD)에 기반하고 각각의 하위도메인은 Message Passing Interface(MPI) 라이브러리를 통해 서로 통신한다. 또한, 행렬-벡터 곱셈연산과 루프(loop)명령을 효율적으로 수행하기 위해 공유메모리(shared memory) 멀티프로세서 시스템 환경에서의 인터페이스 라이브러리인 Open Multiprocessing(OpenMP)가 이용된다.

성능/효과

제안된 기법의 정확도 분석을 위해 2차원 원형 형상의 수치모델을 이용하여 요소의 개수에 따라 2가지 경우에 대한 수치해석이 수행되었다. 2가지 경우 모두 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수(2, 4, 8, 16, 32개)에 따른 해석의 정확도 비교를 통해 하위도메인이 2개, 4개가 cross point에서 만나는 경우는 결과가 거의 serial code에 가까웠지만 하위도메인의 수가 4개로부터 8개가 되면서 정확도는 35%이하로 급격하게 저하되었으며, 하위 도메인의 수가 16개, 32개로 늘어나면서 정확도가 더욱 악화되는 현상이 발생함을 알 수 있었다. 이는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수가 늘어나면 식 (6)의 ‘group 1' 블록 행렬에 미치는 D matrix의 영향이 커지기 때문에 그 값에 따라 정확도가 크게 좌우되는 것으로 판단되어 본 연구에서는 또한 D matrix의 요소 값에 따른 수치해석의 정확도 분석이 수행되었다.
직접법은 일반적으로 간단한 모델에 대한 해석에 있어서는 반복법보다 우월하므로 대규모 시스템에 대한 해석에 있어서도 전체 영역을 작은 하위도메인들로 나누고 모든 하위도메인들에 Dirichlet 경계조건을 부여하여 해석을 수행한다면 영역 분할 기법을 이용한 직접법이 반복법에 비해 더 효율적일 수 있다. 게다가, 제안된 방법은 앞서 FETI법에서 필요했던 가상역행렬(pseudo-inverse matrix)과 강성행렬의 null space의 기저(basis) 계산이 필수적이지 않으므로 병렬해석에 있어서 높은 확장성을 기대할 수 있다. Tak 등(2013)이 제안한 새로운 비중첩 영역 분할기법의 높은 확장성과 효율성은 기존 FETI법과의 비교를 통해 검증되었지만, 본 해석기법 적용 시 3개 이상의 하위도메인들이 한 점에서 연결되는 경우인 cross point에서 해석의 정확도가 저하된다는 문제점이 발생하였다.
이는 하나의 cross point에 접촉하는 하위도메인의 개수가 늘어나면 식 (6)의 ‘group 1' 블록 행렬에 미치는 D matrix의 영향이 커지기 때문에 그 값에 따라 정확도가 크게 좌우되는 것으로 판단되어 본 연구에서는 또한 D matrix의 요소 값에 따른 수치해석의 정확도 분석이 수행되었다. 해석결과, D matrix의 요소 값이 큰 값을 갖는 경우 cross point 접촉 분할영역 증가에 따른 변위의 정확도가 증가함을 알 수 있는 반면, D matrix의 요소 값이 작은 경우 cross point 접촉 분할 영역에 따른 정확도는 예측하기가 힘들 정도로 편차가 큼을 알 수 있었다. 원인은 식 (6)에서 ’group 1‘의 강성행렬이 변화됨에 따라 정확도가 차이가 나는데 D matrix의 요소 값이 충분하지 않으면 식 (7)에서 A matrix의 계산 시 수치적 부정확성이 나타나기 때문인 것으로 판단되며 따라서 이에 따른 민감도 해석이 차후 연구에서 필수적으로 수행되어야할 것이다.

후속연구

원인은 식 (6)에서 ‘group 1’의 강성행렬이 변화됨에 따라 정확도가 차이가 나는데 D matrix의 요소 값이 충분하지 않으면 식 (7)에서 A matrix의 계산 시 수치적 부정확성이 나타나기 때문이다. 따라서 이에 따른 민감도 해석이 차후 연구에서 필수적으로 수행되어야 할 것으로 판단된다.
원인은 식 (6)에서 ’group 1‘의 강성행렬이 변화됨에 따라 정확도가 차이가 나는데 D matrix의 요소 값이 충분하지 않으면 식 (7)에서 A matrix의 계산 시 수치적 부정확성이 나타나기 때문인 것으로 판단되며 따라서 이에 따른 민감도 해석이 차후 연구에서 필수적으로 수행되어야할 것이다.
제안된 영역 분할기법에 대한 병렬 알고리즘이 높은 효율성을 얻기 위해서는 해석이 실행되는 하드웨어 시스템에 최적화되어야 한다. 본 연구의 병렬 알고리즘은 Single Instruction Multiple Data(SIMD)에 기반하고 각각의 하위도메인은 Message Passing Interface(MPI) 라이브러리를 통해 서로 통신한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	지배방정식의 해를 구하는 방법 중 반복법이란?	, 1973). 직접법 외에 FEM의 지배방정식의 해를 구하는 또 다른 방법론으로 반복법(iterative method)을 들 수 있으며, 이 접근법은 초기에 근사해로부터 시작하여 반복계산을 통해 정해와의 오차를 줄여나가 원하는 허용오차 범위에 들어오게 되면 계산을 종료 하는 방법이다.
	가우스 소거법이 가지는 제한점은 무엇인가?	그 중 직접법(direct method)은 정적(static)해석 혹은 내연적(implicit) 시간 적분법을 이용한 동적(dynamic)해석에서 가장 많이 사용되는 방법이며, 특히 가우스 소거법(gauss elimination)은 현재 가장 효율적인 직접법이라 할 수 있다. 하지만 가우스 소거법은 적은 수의 자유도(degrees of freedom)을 갖는 해석에서는 빠르고 정확하게 해를 구할 수 있지만, 자유도의 수가 많은 대규모 유한요소모델의 해석의 경우에는 강성행렬(stiffness matrix)이 symmetric하고 positive definite하며, 띠행렬(banded matrix)임에도 불구하고 연산속도가 느려지고 과도한 저장공간이 요구된다는 제한점을 갖는다. Irons(1970)은 이러한 문제점을 극복하기 위해 연산속도가 매우 빠르면서도 메모리 공간을 적게 차지하는 가우스 소거법에 대한 frontal 해법을 제안하였고, 이 방법은 지금도 많은 상용 유한요소 프로그램에서 사용 중이다.
	비중첩 영역 분할기법은 어떠한 방법을 이용하는가?	영역 분할기법은 크게 중첩법(overlapping method)과 비중첩법(non-overlapping method)으로 나뉘는데, 본 연구에서는 특히 비중첩 영역 분할기법에 의한 초점을 맞추어 해석을 수행하였다. 이 방법에서는 하위도메인끼리의 연속성을 하위도메인들 사이의 인터페이스를 따라 라그랑지 승수(lagrange multiplier) 같은 상호 연결 변수를 발생시켜 적합조건(compatibility condition)을 만족시키는 방법을 이용하며, 그 중 Farhat 등(1991)이 제안한 FETI(finite element tearing and interconnect)법이 가장 널리 사용된다. FETI법은 반복법에 기반하며, 대부분의 계산과정이 각기 다른 하위도메인들 상에서 서로 다른 CPU를 이용하여 독립적으로 이루어지기 때문에 높은 확장성(scalability)을 보인다는 장점이 있지만 하위도메인의 강성 행렬이 특이행렬(singular matrix)로 되어버리는 상황이 발생한다.

참고문헌 (7)

Cuthill, E., Mckee, J. (1969) Reducing the Bandwidth of Sparse Symmetric Matrices, ACM '69 Proceedings of the 1969 24th National Conference, pp.157-172.
Duff, I.S., Reid, J.K. (1973) The Multifrontal Solution of Indefinite Sparse Symmetric Linear Equations, ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 9(3), pp.302-325.
Farhat, C., Roux, F.X. (1991) A Method of Finite Element Tearing and Interconnecting and Its Parallel Solution Algorithms, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 32(6), pp.1205-1227.

상세보기
Irons, B.M. (1970) A Frontal Solution Scheme for Finite Element Analysis, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 2(1), pp.5-32.

상세보기
Lee, K.J., Tak, M., Park, T. (2010) The Mixed Finite Element Analysis for Saturated Porous Media Using FETI Method, Journal of the Computational Structural Engineering, 23(6), pp.693-702.
Schwartz, H.A. (1870) Uber einen Grenzubergang durch alternierendes Verfahren, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich, 15, pp.272-286.
Tak, M., Park, T. (2013) High Scalable Nonoverlapping Domain Decomposition Method Using a Direct Method for Finite Element Analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 264, pp.108-128.

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표제어: PCR

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