[논문]비정렬격자와 예조건화 기법을 이용한 저압축성 점성유동해석

손상준; 안형택

doi:10.6112/kscfe.2013.18.3.079

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Preconditioned compressible Navier-Stokes equations are solved for almost incompressible flows. Unstructured meshes are utilized for spatial discretization of complex flow domain. Effectiveness of the current preconditioning algorithm, with respect to various Reynolds numbers and Mach numbers, is de...

Preconditioned compressible Navier-Stokes equations are solved for almost incompressible flows. Unstructured meshes are utilized for spatial discretization of complex flow domain. Effectiveness of the current preconditioning algorithm, with respect to various Reynolds numbers and Mach numbers, is demonstrated by the solution of canonical problems for incompressible flows, e.g. driven cavity flows.

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문제 정의

이 논문에서는 위와 같은 이유로 압축성 나비아-스토크스 방정식에 예조건화 기법을 적용하여 비압축성 유동을 해석을 해보고자 한다. 고전적인 문제인 2차원 driven-cavity 문제를 비정렬 격자와 위에서 언급한 방법을 적용하여 타당성을 검증하고자 한다.
이 논문에서는 위와 같은 이유로 압축성 나비아-스토크스 방정식에 예조건화 기법을 적용하여 비압축성 유동을 해석을 해보고자 한다. 고전적인 문제인 2차원 driven-cavity 문제를 비정렬 격자와 위에서 언급한 방법을 적용하여 타당성을 검증하고자 한다.

제안 방법

격자의 크기가 전체 계산영역 크기의 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125, 즉 10 × 10, 20 × 20, 40 × 40, 80 × 80의 네 가지 격자로 계산을 수행하였다.
마하수와 레이놀즈수에 따른 잉여항의 수렴도를 관찰하기 위해 레이놀즈수는 400, 1000으로 고정시키고 마하수는 0.001, 0.005, 0.01로 변화시켜 계산을 수행하였다. 격자는 Fig.
앞에서 논한 방법의 검증을 위한 수단으로 Fig. 3과 같이 윗변이 단위 속도(u = 1.0)로 이동하는 정사각형 모양의 Lid-Driven Cavity 문제를 풀었다. 이 문제의 control parameter 는 무차원수인 마하수와 레이놀즈수이므로 이 두 무차원수와 격자의 크기를 변경해 가며 경향을 관찰하였다.
예조건화 기법을 비정렬 격자에 적용시켜 내재적 방법으로 비압축성 유동 해석을 해 보았다. 해석을 통해 얻은 결과를 Ghia et al.
0)로 이동하는 정사각형 모양의 Lid-Driven Cavity 문제를 풀었다. 이 문제의 control parameter 는 무차원수인 마하수와 레이놀즈수이므로 이 두 무차원수와 격자의 크기를 변경해 가며 경향을 관찰하였다.

대상 데이터

격자는 Fig. 2에서 보인 바와 같은 40 × 40격자를 사용하였다.
격자는 정사각형을 반으로 잘라 만든 삼각형 격자를 사용 하였다. 이와 같은 격자는 엄밀히 이야기한다면 비정렬 격자라고 할 수 없지만 비정렬 격자에서 작동하는 내용들을 점검해 보는 데에는 무리가 없으므로 Fig.

이론/모형

본 논문에서 사용된 2차원 비정상 압축성 Navier-Stokes 방정식은 index 표기법 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
제어 체적의 모서리 위에서의 비점성 유량의 계산은 아래와 같은 Roe의 flux-difference splitting[7]을 이용하여 구한다.

성능/효과

Iteration을 1000번 한 후 잉여항의 수렴도를 관찰해 보면, 마하수가 일정 수준 이하로 내려가면 수렴이 급격히 늦어진다는 것을 관찰할 수 있다. 결과를 보고 알 수 있는 점은 이와 같은 2차원 lid-driven cavity 문제에서는 레이놀즈수에 비해 마하수의 영향이 크다는 사실이다.
레이놀즈수가 증가함에 따라 각 방향 속도의 최소값이 증가하고, 벽면으로부터 수직한 방향으로의 속도 기울기 또한 커지는 것을 관찰할 수 있다. 이는 높은 레이놀즈수에서의 경계층의 두께의 경향을 잘 반영한다.
[8]의 결과와 비교해 보았을 때 근사한 결과를 얻을 수 있었다. 수렴도의 경우 레이놀스 수 보다는 마하수에 더욱 민감하게 반응하는 경향을 보였고 계산에 사용된 무차원화 변수들과 격자의 크기와 같은 parameter에 의한 영향은 직관적으로 내린 예측(마하수가 높을수록, 레이놀즈수가 낮을수록 수렴이 좋음)을 벗어났지만 각 조건에 맞는 최적의 parameter 값의 범위가 있으며 이것을 적절히 조절할 경우 특정 범위의 낮은 마하수의 유동해석을 효과적으로 할 수 있다는 것을 보여 준다. 특히나 밀도 기반의 해법이므로 압축성 효과가 중요 하게 작용하는 선체 슬래밍이나 프로펠러의 캐비테이션과 같은 문제에 응용될 수 있을 것이라 전망한다.
[8]의 결과에서 각 방향 속도 성분의 최솟값으로 정하였다. 전체적으로는 격자가 작아질수록 오차가 줄어드는 경향을 보이고 있다.

후속연구

수렴도의 경우 레이놀스 수 보다는 마하수에 더욱 민감하게 반응하는 경향을 보였고 계산에 사용된 무차원화 변수들과 격자의 크기와 같은 parameter에 의한 영향은 직관적으로 내린 예측(마하수가 높을수록, 레이놀즈수가 낮을수록 수렴이 좋음)을 벗어났지만 각 조건에 맞는 최적의 parameter 값의 범위가 있으며 이것을 적절히 조절할 경우 특정 범위의 낮은 마하수의 유동해석을 효과적으로 할 수 있다는 것을 보여 준다. 특히나 밀도 기반의 해법이므로 압축성 효과가 중요 하게 작용하는 선체 슬래밍이나 프로펠러의 캐비테이션과 같은 문제에 응용될 수 있을 것이라 전망한다.

참고문헌 (9)

2011, Tran, H.P. and Ahn, H.T., "Air compressibility Effect in CFD-based Water Impact analysis," Journal of the Society of Naval Architects of Korea, Vol.48, pp.581-591.

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1993, Choi, Y.H. and Merkle, C.L., "The Application of Preconditioning in Viscous Flows," Journal of Computational Physics, Vol.105, pp.207-223.

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2005, Kallinderis, Y. and Ahn, H.T., "Incompressible Navier-Stokes method with general hybrid meshes," Journal of Computational Physics, Vol.210, pp.75-108.

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1995, Weiss, J.M. and smith, W.A., "Preconditioning applied to Variable and Constant Density Time-Accurate Flows on Unstructured Meshes," Journal of Computational Physics, Vol.33, pp.2050-2057.
2001, Luo, H., Baum, J.D. and Lohner, R., "A Fast, Matrix-free Implicit Method for Computing Low Mach Number Flows on Unstructured Grids," International Journal of Computational Fluid Dynamics, Vol.14, pp.133-157.
1998, Luo, H., Baum, J.D. and Lohner, R., "A Fast, Matrix-free Implicit Method for Compressible Flows on Unstructured Grids," Journal of Computational Physics, Vol.146, pp.664-690.

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1981, Roe, P.L., "Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes," Journal of Computational Physics, Vol.43, pp.357-372.

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1982, Ghia, U., Ghia, K.N. and Shin, C.T. "High-Re Solution for incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method," Journal of Computational Physics, Vol.48, pp387-411.

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1998, Botella, O. and Peyret, R., "Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow," Computers and Fluids, Vol.27, pp421-433.

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