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문제 정의
- 이러한 점들에 주목하여 본 연구에서도 충격파가 있는 압축성 유동을 해석하기 위한 MLP가 적용된 고차 정확도 수치기법을 CUDA를 이용하여 효율적으로 계산하려고 한다. 또한 실제 GPU 계산의 계산 효율성을 확인해보고, 어떤 요소들이 영향을 미치는지 알아보고자 한다.
- 하지만 공유 메모리를 올바르게 활용하기 위해서는, 워프 개념을 고려하여 전역 메모리의 데이터를 공유 메모리로 가져와야 하고 쓰레드 간의 동기화도 신경 써주어야 한다. 알고리즘에 따라서 공유 메모리의 사용이 가능한 부분에 대해 활용하도록 고려하였다.
- 이러한 점들에 주목하여 본 연구에서도 충격파가 있는 압축성 유동을 해석하기 위한 MLP가 적용된 고차 정확도 수치기법을 CUDA를 이용하여 효율적으로 계산하려고 한다. 또한 실제 GPU 계산의 계산 효율성을 확인해보고, 어떤 요소들이 영향을 미치는지 알아보고자 한다.
제안 방법
- 3차원 문제는 간단한 폭발 문제에 대하여 해석을 수행하였다. 다음과 같이 구면을 따라서 불연속의 밀도 차이를 가짐에 따라서 발생하는 폭발 현상을 해석하였다.
- 40GHz Intel Xeon CPU를 사용하여 얻었다 (순차 해석). CPU 병렬해석은 CUDA 와 비슷한 공유 메모리 프로그래밍 모델인 OpenMP 프로그래밍을 이용하였고, 동일 Xeon CPU 2개를 SMP(Symmetric Multi-Processing)로 구성한 총 12개의 코어에서 수행하였다.
- 이때 불연속 구간에서의 수치 안정성을 보장하기 위하여 MLP를 적용하였고, 방대한 계산량을 효율적으로 처리하기 위하여 NVIDIA Tesla K20 GPU를 이용한 병렬 계산을 수행하였다. GPU에서 정확하고 효율적인 계산을 하기 위해서 데이터 병렬성이 보장되면서 데이터 경쟁이 없도록 GPU 내부 구조를 고려하여 데이터 구조와 알고리즘을 조정하여 CUDA 기반 유동해석자를 개발하였다. 이를 이용해 실제 2차원, 3차원 유동문제들을 해석하여 CPU 계산과 동일한 결과를 얻었으며 충격파가 있는 유동 현상을 정확하게 포착 가능하였다.
- 고차 정확도 CFD 방법으로 충격파가 존재하는 압축성 유동을 정밀하게 해석하였다. 이때 불연속 구간에서의 수치 안정성을 보장하기 위하여 MLP를 적용하였고, 방대한 계산량을 효율적으로 처리하기 위하여 NVIDIA Tesla K20 GPU를 이용한 병렬 계산을 수행하였다.
- 3차원 문제는 간단한 폭발 문제에 대하여 해석을 수행하였다. 다음과 같이 구면을 따라서 불연속의 밀도 차이를 가짐에 따라서 발생하는 폭발 현상을 해석하였다.
- 식 (11)에서 lifting operator를 구하기 위해서는 수치 플럭스를 먼저 구해서 적분을 수행해야 한다. 따라서 앞서 DG-MLP 기법과 동일하게 수치 플럭스를 먼저 face 단위로 병렬 계산하고 지배방정식 인 식 (10)을 격자 단위로 병렬 계산하는 방식으로 CUDA 기반 유동해석자를 개발하였다.
- 먼저 고차 정확도 수치기법의 정확도를 확인하기 위하여 불연속 구간이 없는 다음과 같은 밀도 분포를 가지는 유동이 일정한 속도(u, v)=(1, 1)로 전파되는 문제를 해석하였다.
- 본 연구에서는 이런 점들을 고려해 하나의 face를 하나의 쓰레드에 할당, 수치 플럭스항을 먼저 병렬 계산하여 저장하였다(face단위 계산으로 커널 작성). 이후에 격자 단위 병렬 계산에서 다시 수치 플럭스항을 적분하여 divergence 항에 합하고 최종적으로 시간적분을 계산을 수행하도록 알고리즘을 구성하였다 (Fig.
- 따라서 쓰레드를 생성할 때 그 개수는 32의 배수로 배정해주는 것이 좋다고 알려져 있고, 실제 최적의 개수는 실험적으로 구해져야 한다. 본 연구에서도 반복적으로 최적의 개수를 찾는 과정을 수행하여 커널호출시의 생성할 쓰레드 개수를 결정하였다.
- 1절의 CUDA 프로그램 구조에서 CPU와 GPU 사이의 데이터를 복사하는 속도가 느리기 때문에, 이 과정을 최소화할 수 있도록 GPU 계산이 수행되는 알고리즘을 구성하여야 한다. 본 연구의 CUDA 기반 유동해석자에서는 한번 CPU 데이터를 전송하면 후처리를 하기 전까지는 GPU에서만 계산이 가능하도록 변수와 커널을 구성하였다.
- 고차 정확도 CFD 방법으로 충격파가 존재하는 압축성 유동을 정밀하게 해석하였다. 이때 불연속 구간에서의 수치 안정성을 보장하기 위하여 MLP를 적용하였고, 방대한 계산량을 효율적으로 처리하기 위하여 NVIDIA Tesla K20 GPU를 이용한 병렬 계산을 수행하였다. GPU에서 정확하고 효율적인 계산을 하기 위해서 데이터 병렬성이 보장되면서 데이터 경쟁이 없도록 GPU 내부 구조를 고려하여 데이터 구조와 알고리즘을 조정하여 CUDA 기반 유동해석자를 개발하였다.
- 불연속이 있는 구간에서 셀 내부 분포를 살펴보면 수치 진동이 linear polynomial로 전파되어 급격한 기울기를 만들고 단조성을 위반하게 된다. 이를 이용하여 불연속 구간인지를 판단하고 troubled-cell을 찾기 위해 다음과 같이 다차원으로 확장한 조건을 이용하였다. (P1-projected MLP condition)
- 본 연구에서는 이런 점들을 고려해 하나의 face를 하나의 쓰레드에 할당, 수치 플럭스항을 먼저 병렬 계산하여 저장하였다(face단위 계산으로 커널 작성). 이후에 격자 단위 병렬 계산에서 다시 수치 플럭스항을 적분하여 divergence 항에 합하고 최종적으로 시간적분을 계산을 수행하도록 알고리즘을 구성하였다 (Fig. 6의 Cell-wise parallel computation).
대상 데이터
- 완성된 CUDA 기반 유동 해석자를 이용하여 2496개의 코어를 가진 NVIDIA Tesla K20에서 해석을 수행하였다. GPU 계산 결과와 비교할 CPU 계산 결과는 2.
데이터처리
- Fig. 7과 같이 균일한 크기의 삼각형으로 이루어진 비정렬 격자계에서 해석하였으며, 격자의 개수를 바꾸어 계산자유도를 늘려가면서 Lp -error를 계산하여 정확도를 확인할 수 있었다. p = 1, 2에 대해서는
이론/모형
- DG와 CPR 방법의 시간차분에 대해서도 고차 정확도를 얻을 수 있는 시간적 분법을 사용하였다. P2 근 사 이하의 3차 이하의 공간 정확도의 해석에는 3차 정확도 TVD Runge-Kutta 방법을 적용하여 계산하였고, P3 근사 이상의 4차 이상의 공간 정확도의 해석에 대해서는 4차 정확도 SSP Runge-Kutta 방법을 사용했다 [16].
- DG와 CPR 방법의 시간차분에 대해서도 고차 정확도를 얻을 수 있는 시간적 분법을 사용하였다. P2 근 사 이하의 3차 이하의 공간 정확도의 해석에는 3차 정확도 TVD Runge-Kutta 방법을 적용하여 계산하였고, P3 근사 이상의 4차 이상의 공간 정확도의 해석에 대해서는 4차 정확도 SSP Runge-Kutta 방법을 사용했다 [16].
- 수치 플럭스 함수로는 정밀하고 강건한 충격파의 포착이 가능하도록 Roe's FDS(Flux Difference Splitting) 기법을 개선한 RoeM 기법을 사용하였다 [14]. 경계 및 영역에서의 적분은 Gauss 구분구적법을 적용하여 각각 2n, 2n+1의 필요한 정확도를 가지도록 하였다.
- 본 연구에서는 Lagrange 다항식을 사용하여 얻어지는 CPR-DG 방법을 이용하였다 [4]. 또한 CPR 방법은 보존성에 대한 문제가 있었는데, 최근에 이를 해결한 conservative CPR 방법[15]을 이용하여 연구를 진행하였다.
- 시험함수의 선택에 따라서 CPR 방법은 DG 방법이나 spectral volume(SV), spectral difference(SD) 방법으로 환원된다. 본 연구에서는 Lagrange 다항식을 사용하여 얻어지는 CPR-DG 방법을 이용하였다 [4]. 또한 CPR 방법은 보존성에 대한 문제가 있었는데, 최근에 이를 해결한 conservative CPR 방법[15]을 이용하여 연구를 진행하였다.
- 수치 플럭스 함수로는 정밀하고 강건한 충격파의 포착이 가능하도록 Roe's FDS(Flux Difference Splitting) 기법을 개선한 RoeM 기법을 사용하였다[14].
- 이와 같은 과정을 통해 찾아낸 troubled-cell은 계층적인 제한기법을 적용하였다. 셀 내부가 다음과 같이 표현될 때,
- 4이다. 이후 부분에서는 Euler 방정식에 대하여 수치기법을 적용하여 전개하도록 하겠다.
- 충격파와 같은 불연속 영역의 수치 진동을 제어하기 위해 다차원 공간 제한기법을 적용하였다. MLP는 다차원 유동의 특성을 반영하여 DG와 CPR 방법에 대해서 충격파를 정밀하게 포착 가능한 공간 제한기법으로 크게 세 부분으로 이루어져 있다 [8].
- 는 형상 함수이다. 형상 함수는 다항함수 공간 Vn의 기저함 수들은 모두 가능하나, 본 연구에서는 계산 효율성을 위해 직교형상 함수(orthogonal shape function)의 일종인 Jacobi 다항식의 텐서 곱[13]을 사용하였다.
성능/효과
- Table 3는 GPU로 계산한 결과만 나타내었다. 3차원으로 확장한 유동해석자도 고차의 정확도가 얻어져, 수치기법이 2차원과 3차원에 대해 모두 제대로 구현되었음을 확인하였다.
- 이 문제에 대해서도 CPU와 GPU의 계산 효율성을 비교하여, 앞서 Schardin 문제와 동일한 방식으로 Table 5로 정리하였다. DG와 CPR 방법 모두 3차원 경우에 speedup이 2차원 경우보다 감소되었다. 이 역시 앞 절에서 설명한 내용과 비슷하게 2차원에서 삼각형 인 격자가 3차원에서 사면체로 바뀌면서 격자당 계산량이 크게 증가되었기 때문이다.
- L∞ , L1에 대해서도 비슷한 결과를 얻을 수 있었고, 고차 정확도 수치기법이 CUDA 기반 유동 해석자에서 정확하게 구현되었다는 것을 확인할 수 있었다.
- 계산 효율성 측면에서는 GPU 계산이 CPU 12개 코어를 사용한 것보다 대략 1.5 ~ 2.5배 정도 계산시간이 단축되는 것을 확인하였다. 연구에 사용한 장비들의 Fig.
- (a)는 실험에서 얻어진 결과이고[17], (b)는 약 39만개의 균일한 삼각형으로 이루어진 비정렬 격자계에 대해서 DG-MLP 기법(P3)으로 해석한 결과다. 두 결과 모두에서 충격파와의 상호작용에 의한 유동의 불안정성으로 나타나는 작은 원형의 vortexlet이 포착된 것을 확인할 수 있다.
- 이 역시 앞 절에서 설명한 내용과 비슷하게 2차원에서 삼각형 인 격자가 3차원에서 사면체로 바뀌면서 격자당 계산량이 크게 증가되었기 때문이다. 또한 사면체의 face 적분은 삼각형에 대해 이루어지기 때문에 실제 계산시간에서 CPR 방법이 DG 방법에 비해 최대 50% 이상 빠른 결과가 얻어졌다 (Fig. 11의 오른쪽 그래프).
- 먼저 Table 2에서 DG와 CPR 방법 모두 3차(P2)와 4차(P3) 정확도의 결과를 얻을 수 있었다. 또한, CPU 순차 해석에서 계산한 값과 GPU에서 계산한 값의 차이가 machine-error 수준으로 작다는 것을 확인할 수 있다. L∞ , L1에 대해서도 비슷한 결과를 얻을 수 있었고, 고차 정확도 수치기법이 CUDA 기반 유동해석자에서 정확하게 구현되었다는 것을 확인할 수 있었다.
- 5배 정도 계산시간이 단축되는 것을 확인하였다. 연구에 사용한 장비들의 Fig. 1과 같은 이론적인 계산 성능은 Tesla K20이 1.17GFlops, Intel Xeon CPU가 0.44GFlops로 이론적으로는 약 2.65배 정도의 성능 차이를 가진다. 이와 비교하여, 논문에서 수행한 GPU 계산이 어느 정도 병렬화가 잘 이루어진 것으로 보인다.
- GPU에서 정확하고 효율적인 계산을 하기 위해서 데이터 병렬성이 보장되면서 데이터 경쟁이 없도록 GPU 내부 구조를 고려하여 데이터 구조와 알고리즘을 조정하여 CUDA 기반 유동해석자를 개발하였다. 이를 이용해 실제 2차원, 3차원 유동문제들을 해석하여 CPU 계산과 동일한 결과를 얻었으며 충격파가 있는 유동 현상을 정확하게 포착 가능하였다.
- 첫 번째로 GPU 메모리의 접근은 통합적(coalesced memory access)이어야 하고 메모리 전달과정은 최소화되어야 한다. 통합적 접근이란 각 쓰레드가 연속된 메모리의 값에 접근할 때 한꺼번에 메모리의 데이터에 접근하는 것을 말한다.
후속연구
- P4 이상의 높은 정확도의 근사에서는 격자당 계산량이 더욱 증가하여 speedup에 영향을 줄 것이다. 따라서 GPU 특성을 고려하여, 쓰레드를 격자 단위로 나누는 병렬 계산대신에 solution point같은 더 작은 단위로 나누어 병렬화한다면 GPU 의 이론적인 성능에 가까운 speedup을 얻을 수 있을 것이다.
- 이와 비교하여, 논문에서 수행한 GPU 계산이 어느 정도 병렬화가 잘 이루어진 것으로 보인다. 향후에 GPU 병렬 계산에 대한 추가적인 최적화 과정도 가능할 것으로 예상된다.
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