[논문]아르키메데스가 《The Method》에서 원뿔의 무게중심을 구한 방식에 대한 하나의 가설

박선용; 홍갑주

doi:10.14477/jhm.2013.26.5_6.371

아르키메데스가 《The Method》에서 원뿔의 무게중심을 구한 방식에 대한 하나의 가설
An Assumption on How Archimedes Found out the Center of Gravity of Cones in 《The Method》 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.26 no.5/6, 2013년, pp.371 - 388

박선용 (Dept. of Math. Edu., Yeungnam Univ.) , 홍갑주 (Dept. of Math. Edu., Busan National Univ. of Edu.)

Abstract ▼ AI-Helper

In ${\ll}$The Method${\gg}$, Archimedes presented the famous heuristic technique for calculating areas, volumes and centers of gravity of various plane and solid figures, utilizing the law of the lever. In that treatise, Archimedes used the fact that the center of gravity of a cone lies one-quarter of the way from the center of the base to the vertex, but the proof of this is not extant in his works. This study analyzes the propositions and their relations of ${\ll}$The Method${\gg}$ focusing on the procedural characteristics of the 'method' of Archimedes. According to the result of that analysis, this study discusses the likely approach which was taken for Archimedes to find out the center of gravity of a cone.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

특히 원뿔의 무게중심을 그의 「방법」을 통해 구할 수 있다면, 그것은 가설로서의 분명한 개연성을 가질 것이다. 실제로 이러한 탐색적 추측활동을 수행하기 위해, 본 연구에서는 《The Method》의 전체 맥락과 아르키메데스의 「방법」의 특성을 신중하게 고찰한다.
이 연구에서는 아르키메데스가 자신의 역학적 「방법」을 통해 원뿔의 무게중심의 위치를 어떻게 구했는지에 대한 개연성 있는 가설을 구성하기 위해 《The Method》에서 역학적 「방법」이 적용되는 과정을 상세하게 살펴보았다. 그 결과, 역학적 「방법」이 적용되는 과정에서 두드러지게 나타나는 특징은 비례식으로 표현되는 식의 대수적인 면을 이용하는 것이었다.
이에 주목하여, 이 연구에서는 아르키메데스가 원뿔의 무게중심의 위치를 구한 방법에 대한 하나의 가설을 제시하고자 한다. 특히 원뿔의 무게중심을 그의 「방법」을 통해 구할 수 있다면, 그것은 가설로서의 분명한 개연성을 가질 것이다.
하지만 데카르트에 이르러 동차성의 원리가 비로소 극복되었다는 수학사적 판단이 일반적이라는 점에서, 이러한 예측은 수학사학계에서 보편적 지지를 받기는 다소 어렵다. 이에, 이 연구에서는 원뿔의 무게중심을 구하는 지레 모델의 복잡도를 단계적으로 높여가며 아르키메데스가 원뿔의 무게중심을 구했던 방식을 추측해보는 시도를 하였다.
이제, 실제로 《The Method》의 명제 1의 내용부터 위의 「방법」의 절차에 기초해 그 아이디어를 중심으로 하여 간략하게 살펴보도록 하자. 여기서는, 각 명제의 조건과 탐구과정의 세세한 부분들은 생략하고, 연구의 필요에 알맞은 정도로, 각 명제의 내용자체와 탐구과정의 중심 아이디어에 대해서만 다루기로 한다.

가설 설정

입체도형이 이러한 평형 상태에 놓여 있을 때, 어떤 입체도형의 무게중심이 지레 위에 위치한다면 그 도형의 중력 작용점 위치는 무게중심 위치와 일치한다.³⁾반면, 어떤 입체도형의 무게중심이 지레 위에 있지 않다면 그 무게중심으로부터 지레에 수선을 그어 중력 작용점 위치를 결정한다.

제안 방법

구체적으로, 이 연구에서는 명제 4로부터 명제 5로 그리고 명제 2로부터 명제 8로 그 상황이 전환되는 과정과 그 특징에 주목하여, 명제 3의 상황을 원뿔의 무게중심 위치를 찾는 상황으로 변형하였는데, 이러한 변형과정은 모두 대수적 처리의 요소를 지니고 있다고할 수 있다. 이런 점에서, HA : AS = MS : SQ = MS² : MS · SQ = MS · SQ : SQ²와 같은 변형과정 안에는 초보적 형태의 해석기학적 아이디어가 들어가 있다고 간주할 수 있을 것이다.
《The Method》는 아르키메데스의 여러 논문 중에서도 발견술 측면에서 가장 흥미로운 논문이다. 그 논문에서 아르키메데스는 어떤 도형의 넓이나 부피를 미지수로 두고, 넓이나 부피를 이미 아는 다른 도형과 지레 위에서의 평형조건을 찾은 다음, 지레의 법칙에 의해 유도되는 방정식을 풀어 그 넓이 혹은 부피를 구한다. 지레의 법칙이라는 역학적 원리를 순수 수학적인 문제의 해결에 이용하고 있는 것이다.
한편, 이러한 목적을 위해 아르키메데스는 명제 1에서부터 명제 9까지에 걸쳐 역학적 「방법」을 적용하는 방식을 체계적으로 소개한다. 그리고 명제 10에서 그러한 「방법」을 적용함으로써 쌍곡회전체의 부피를 구할 수 있다고 언급한 후, 명제 11부터 15까지 말발굽체와 원통교차체의 부피를 구하는 것에 대해 다룬다 [7, 10].
여기서, 포물선의 축에 평행하고 각각 G와 I를 지나는 두 직선이 BC 와 만나는 점을 각각 G′ 와 I′라 하자.
이런 점에 착안한다면, 「아르키메데스가 자신의 역학적 「방법」을 가지고 어떻게 원뿔의 무게중심의 위치를 찾았을까?」의 문제에 대해서는 명제 1에서부터 명제 9까지를 분석하면서 그 맥락을 고려해 가상의 예측 활동을 해보는 것이 필요할 것으로 판단된다. 이를 위해, 우선 아르키메데스 「방법」의 특성에 초점을 맞추어 명제 1부터 명제 9까지 살펴보도록 하자.
을 구할 수 있을 것이다. 이제, 「원뿔의 무게중심을 구하는 지레 모델 1」과 비교해, 지레의 받침점을 기준으로 하여 어떤 한쪽 편에 원뿔을 포함해 회전체 입체도형 2개가 위치해 전체가 평형을 이루는 상황을 「원뿔의 무게중심을 구하는 지레 모델 2」로 명명하기로 하자. 물론, 이러한 지레모델은 다음과 같이 일반화시킬 수 있다.

성능/효과

이 연구에서는 아르키메데스가 자신의 역학적 「방법」을 통해 원뿔의 무게중심의 위치를 어떻게 구했는지에 대한 개연성 있는 가설을 구성하기 위해 《The Method》에서 역학적 「방법」이 적용되는 과정을 상세하게 살펴보았다. 그 결과, 역학적 「방법」이 적용되는 과정에서 두드러지게 나타나는 특징은 비례식으로 표현되는 식의 대수적인 면을 이용하는 것이었다. 이 연구에서도 그 점에 주목하여 가설을 구성할 수 있었으며, 바로 이러한 특징이 「방법」의 유용성을 설명해준다고 하겠다.

후속연구

이에 주목하여, 이 연구에서는 아르키메데스가 원뿔의 무게중심의 위치를 구한 방법에 대한 하나의 가설을 제시하고자 한다. 특히 원뿔의 무게중심을 그의 「방법」을 통해 구할 수 있다면, 그것은 가설로서의 분명한 개연성을 가질 것이다. 실제로 이러한 탐색적 추측활동을 수행하기 위해, 본 연구에서는 《The Method》의 전체 맥락과 아르키메데스의 「방법」의 특성을 신중하게 고찰한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	방법을 적용하기 위해 필요한 것은?	아르키메데스는 이러한 문제해결 접근방식을 역학적 「방법」이라 지칭하였다. 그런데「방법」을 적용하기 위해서는, 「어떤 물체의 넓이나 부피를 모르는 상황에서 그것을 포함한 물체들이 지레팔의 어떤 위치에서 평형을 이루는지 어떻게 알 수 있느냐?」의 걸림돌을 제거할 필요가 있다. 이와 관련해, 아르키메데스는 대응하는 모든 단면 또는 선분끼리 평형을 이룬다면 전체 도형도 평형을 이룬다고 가정하고, 전체의 평형을 찾는 대신 대응하는 단면 또는 선분끼리의 평형을 찾음으로써 이 제한사항을 극복한다 [9,11].
	The Method에서 아르키메데스가 구한 것은?	《The Method》는 아르키메데스의 여러 논문 중에서도 발견술 측면에서 가장 흥미로운 논문이다. 그 논문에서 아르키메데스는 어떤 도형의 넓이나 부피를 미지수로 두고, 넓이나 부피를 이미 아는 다른 도형과 지레 위에서의 평형조건을 찾은 다음, 지레의 법칙에 의해 유도되는 방정식을 풀어 그 넓이 혹은 부피를 구한다. 지레의 법칙이라는 역학적 원리를 순수 수학적인 문제의 해결에 이용하고 있는 것이다.
	아르키메데스의 여러 논문 중 발견술 측면에서 가장 흥미로운 논문은?	《The Method》는 아르키메데스의 여러 논문 중에서도 발견술 측면에서 가장 흥미로운 논문이다. 그 논문에서 아르키메데스는 어떤 도형의 넓이나 부피를 미지수로 두고, 넓이나 부피를 이미 아는 다른 도형과 지레 위에서의 평형조건을 찾은 다음, 지레의 법칙에 의해 유도되는 방정식을 풀어 그 넓이 혹은 부피를 구한다.

참고문헌 (12)

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Park, S. Y.,"The New Interpretation of Archimedes' 'Method'", The Korean Journal for History of Mathematics, 23(4) (2010), 47-58. (박선용,"아르키메데스방법에 대한 새로운 해석", 한국수학사학회지 23(4) (2010), 47-58.)
D. E. Smith, History of Mathematics (Vol. 2), New York, Dover Publications, 1953.

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