[논문]아르키메데스의 《The Method》의 해석기하학적 특성과 그 교육적 시사점에 대한 연구

박선용

doi:10.14477/jhm.2014.27.4.271

아르키메데스의 《The Method》의 해석기하학적 특성과 그 교육적 시사점에 대한 연구
A study on the analytic geometric characteristics of Archimedes' 《The Method》 and its educational implications 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.27 no.4, 2014년, pp.271 - 283

박선용 (Dept. of Math. Edu., The Univ. of Yeungnam)

Abstract ▼ AI-Helper

This study takes a look at Polya's analysis on Archimedes' "The Method" from a math-historical perspective. We, based on the elaboration of Polya's analysis, investigate the analytic geometric characteristics of Archimedes' "The Method" and discuss the way of using the characteristics in education of school calculus. So this study brings up the educational need of approach of teaching the definite integral by clearly disclosing the transition from length, area, volume etc into the length as an area function under a curve. And this study suggests the approach of teaching both merit and deficiency of the indivisibles method, and the educational necessity of making students realizing that the strength of analytic geometry lies in overcoming deficiency of the indivisibles method by dealing with the relation of variation and rate of change by means of algebraic expression and graph.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

물론, 이러한 문제를 조명하기 위해선 폴리아가 제시한 아르키메데스의《The Method》에 대한 분석과 그 원전의 텍스트 사이를 비교하는 작업이 요구된다고 하겠는데, 다음 절부터 이에 대해 다루기로 한다.
이 연구에서는 바로 이 원칙이 바로 해석기하학적 특성을 가지고 있음을 보이려 하는데, 이를 밝히기 위해 《The Method》의 명제 2에서 2a(πx2 + πy2) = xπ(2a)2와 같은 관계를 유도하고 구의 부피를 구하는 다음의 과정을 살펴보도록 하자.
이 연구에서는, 폴리아의 아르키메데스《The Method》에 대한 분석을 검토하는 것을 시작으로 하여, 아르키메데스《The Method》의 ‘방법’에 해석기하학적 특성이 들어있는지의 여부 또는 해석기하학적 특성이 반영된 정도에 대해 살펴보았다.
이것은 첫 번째 연구문제에 대한 것인데, 이와 관련해, 이 연구에서는 아르키메데스가 πx2 + πy2 = π2ax와 같은 관계를 이끌어낼 때는 일반 기하학을 사용했을 것이라는 점과 그러한 관계와 2α(πx2 + πy2 ) = xπ(2α)2을 연결시킬 때는 유추적 아이디어가 아니라 오히려 ‘해석기하학의 초보적 착상’을 이용했을 것이라는 점에 대해 논의하였다.
폴리아의 아르키메데스의 ‘방법’에 대한 분석에 대해 논의하면서, 이 연구에서는 그의 해석에 두 가지 이의를 제기했다.

제안 방법

구체적으로, x2 +y2 = 2ax와 같은 원의 방정식으로부터 πx2 + πy2 = π2ax, 2a(πy2 + πx2) = xπ(2a)2 과 같은 식을 유추를 통해 유도하는 과정을 거치면서 역학적 ‘방법’을 도입하고 구의 부피를 구한다.
다시 말해, 비례식 MS : SQ = MS2: MS · SQ을 구성한 이후 MS2 을 넓이와 길이 중에서 넓이로 선택하면서 MS2 , OS2 , SQ2 을 각각 원기둥, 구, 원뿔의 단면으로 취급하는 사고실험을 수행한 것이다.
이 연구의 결과로부터 도출되는 두 번째 교육적 시사점은 아르키메데스의 ‘해석기하학적 착상’의 유연한 사고와 함께 자리하고 있는 그의 조심성을 교육적으로 이용할 필요가 있다는 점이다. 아르키메데스는 매우 제한된 조건에서 불가분량 사이의 대응에 기초해 불가분량의 총합 사이를 직접 비교하였다. 즉, 그가 불가분량 a, b, c, d 에 대해 a : b = c : d 로부터∫ a :∫ b =∫ c :∫ d 이 된다고 주장할 때는 a와 b(또는 a 와 c) 가 모두 어떤 고정된 값을 가진 경우뿐이었다.
사실, 불가분량과 무한소의 사용과 표준적 해석학을 어떻게 연결시킬 것인가의 문제는 미적분 교수-학습과 관련한 중요한 교육적 난제라 할 수 있다[10]. 이 연구의 두 번째 제안은, 이에 대한 하나의 접근방향을 보여주는 것으로, 변화율을 매개로 하여 불가분량법과 해석기하학의 교육적 연결을 시도하자는 것이라 하겠다.
이러한 사항을 반영한다면, 이 연구의 두 번째 교육적 시사점을 다음과 같이 말할 수 있다: 불가분량법의 장점을 활용해 여러 도형의 넓이나 부피를 구하는 활동을 하더라도, 불가분량법의 섣부른 이용이 변화율의 측면을 반영하지 못함으로써 오류에 이를 수 있다는 것을 인식하게 하고, 그러한 불가분량법의 한계에 대한 인식을 바탕으로 변화량, 변화율 및 그 사이의 관계를 대수식과 그래프로 다루면서 불가분량법의 한계를 극복하는 해석기하학의 장점을 경험하도록 한다.
한편, 이 연구에서는 아르키메데스의 ‘방법’에 담긴 특성을 교육적으로 적절하게 활용하는 방식에 관한 두 번째 연구문제를 제기하였다.

성능/효과

이 연구에서는 《The Method》에서 그 유연성에 의해 불가분량의 총합을 지레의 원리에 의해 간접적으로 비교하는 ‘방법’뿐만 아니라 불가분량의 총합을 직접 비교하는 ‘방법’도 활용된다는 것을 구체적으로 보여주었다.
이러한 분석 결과를 종합해보면, 명제 2에서 MS : SQ = MS2: MS·SQ와 같은 변형과정은 일종의 사고실험 과정이라 할 수 있다.

후속연구

이 연구의 결과로부터 도출되는 두 번째 교육적 시사점은 아르키메데스의 ‘해석기하학적 착상’의 유연한 사고와 함께 자리하고 있는 그의 조심성을 교육적으로 이용할 필요가 있다는 점이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	폴리아는 아르키메데스의《The Method》의 ‘방법’의 특성을 어떠한 것에 있다고 보았는가?	폴리아는 아르키메데스의《The Method》의 ‘방법’의 특성을 좌표기하학적인 것에 있다고 보고, 아래와 같이 주장한다; “우리는 그가 사용했던 방법으로 구의 체적을 구하고자 한다. 아르키메데스는 원의 회전체가 구라고 간주했다.
	폴리아는 아르키미데스의 '무엇'이 수학교육계에서 재조명 받도록 하는 데에 큰 역할을 했다고 할 수 있는가?	폴리아는 아르키메데스의 《The Method》가 수학교육계에서 재조명 받도록 하는 데에 큰 역할을 했다고 할 수 있다[10]. 그는, 아르키메데스의 역학적 ‘방법’1)을 적용해 구의 부피를 구하는 활동이 학생에게는 교사에 대한 경의를 그리고 자신에게는 자긍심을 준다고 고백할 정도로, 물리적 직관을 활용하는 수학교육 및 그 보급에 노력을 기울였다.
	두 개의 고정된 직교축으로부터 변화하는 거리 사이의 관계를 오늘날의 표기법으로 나타내면?	그리고 그는 두 개의 고정된 직교축으로부터 변화하는 거리 사이의 관계에 의하여 특성 지워진 하나의 자취를 원으로 간주했다. 오늘날의 표기법으로 이 관계를 나타내면 x2+y2 = 2ax와 같이 되며, 이것은 반지름이 a이고, 원점에서 y 축과 만나는 원의 방정식이다[8, p. 270].

참고문헌 (10)

C. B. BOYER, A History of Mathematics, Wiley, 1991. 양영오, 조윤동 역, 수학의 역사(상), 경문사, 2000.
J. L. COOLIDGE, A History of Geometrical Method, New York, Dover Publications, 1963.
C. H. EDWARDS, The Historical Development of the Calculus, New York, Springer-Verlag, 1979.
T. L. HEATH, The Works of Archimedes with the Method of Archimedes, New York, Dover Publications, 1912.
HONG G. J., An Educational Study on Archimedes' Mathematics, Doctoral Dissertation of Seoul National University, 2008. 홍갑주, 아르키메데스 수학의 교육적 연구, 서울대학교 박사학위논문, 2008.
PARK S. Y., The New Interpretation of Archimedes' 'Method', The Korean Journal for History of Mathematics 23(4) (2010), 47-58. 박선용, 아르키메데스 '방법' 에 대한 새로운 해석, 한국수학사학회지 23(4) (2010), 47-58.
PARK S. Y., HONG G. J., An Assumption on How Archimedes Found out the Center of Gravity of Cones in , Journal for History of Mathematics 26(5-6) (2013), 371-388. 박선용, 홍갑주, 아르키메데스가 에서 원뿔의 무게중심을 구한 방식에 대한 하나의 가설, 한국수학사학회지 26(5-6) (2013), 371-388.

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G. POLYA, Induction and Analogy in Mathematics, New Jersey, Princeton University, 1973. 이만근 외 역, 수학과 개연추론-수학에서의 귀납과 유추, 서울, 경문사, 2003.
D. E. SMITH, History of Mathematics(Vol. 2), New York, Dover Publications, 1953.
WOO J. H., The Basis of School Mathematics, Seoul, SNU Press, 2010. 우정호, 학교수학의 교육적 기초, 서울, 서울대학교 출판문화원, 2010.

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