$\require{mediawiki-texvc}$

연합인증

연합인증 가입 기관의 연구자들은 소속기관의 인증정보(ID와 암호)를 이용해 다른 대학, 연구기관, 서비스 공급자의 다양한 온라인 자원과 연구 데이터를 이용할 수 있습니다.

이는 여행자가 자국에서 발행 받은 여권으로 세계 각국을 자유롭게 여행할 수 있는 것과 같습니다.

연합인증으로 이용이 가능한 서비스는 NTIS, DataON, Edison, Kafe, Webinar 등이 있습니다.

한번의 인증절차만으로 연합인증 가입 서비스에 추가 로그인 없이 이용이 가능합니다.

다만, 연합인증을 위해서는 최초 1회만 인증 절차가 필요합니다. (회원이 아닐 경우 회원 가입이 필요합니다.)

연합인증 절차는 다음과 같습니다.

최초이용시에는
ScienceON에 로그인 → 연합인증 서비스 접속 → 로그인 (본인 확인 또는 회원가입) → 서비스 이용

그 이후에는
ScienceON 로그인 → 연합인증 서비스 접속 → 서비스 이용

연합인증을 활용하시면 KISTI가 제공하는 다양한 서비스를 편리하게 이용하실 수 있습니다.

괴델의 극대 존재론
Gödel's Maximal Ontology 원문보기

Journal for history of mathematics = 한국수학사학회지, v.27 no.6, 2014년, pp.403 - 408  

현우식 (Hoseo Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

The interdisciplinary study addresses the G$\ddot{o}$del's ontology from the perspective of the mathematical maximality. We first investigate G$\ddot{o}$del's God having all the positive properties as the intersection of ultrafilters in his own ontological proof(1970). Regardin...

주제어

#괴델   #존재론   #극대성   #선택 공리   #극대 필터  

AI 본문요약
AI-Helper 아이콘 AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

  • 이 논고는 괴델이 생각했던 수학적 극대성을 철학적 존재론의 입장에서 새롭게 해석하고자 하는 학제적 작업이다. 이를 위하여 현대 수학에서 무한을 다루기 위해 필수적인 도구로 사용되는 극대성의 구상과 논리를 해석할 것이다.

가설 설정

  • 1) 여기에서 선택 공리는 우리가 경험한 후 사용할 수 있는 대상 내에 포함될 수 없다. 선택 공리는 수용 여부와 관련된 문제이다.
  • 그리고 모든 필터에 대하여 극대 필터가 존재한다.4) 즉 모든 필터는 극대 필터에 포함된다.
  • 5) 괴델이 정의한 신 G은 수학적으로는 극대 필터의 교집합(the intersection of ultrafilter) ∩ U 을 의미하는 것이다.
  • 극대적 대상의 존재에 대한 괴델의 증명은 정당화될 수 있는가? 일정한 조건 하에서 극대적 대상의 존재를 정당화시켜 주는 수학적 법칙이 극대성 법칙(maximal principles)으로 불리고 있는데, 체르멜로의 정렬법칙(Zermelo’s well-ordering principle, 1904), 조른의 레마 (Zorn’s lemma, 1935), 쿠라토프스키의 법칙(Kuratowski principles, 1922), 하우스도르프 (Hausdorff principles, 1914)의 법칙 등이 포함된다[10]. 이러한 법칙들은 현대 수학의 기초를 논의하는 데 필수적인 ‘선택 공리(the axiom of choice)’와 논리적으로 동등한 것으로 증명된다는 점에 주목할 필요가 있다.
  • 이를 위하여 현대 수학에서 무한을 다루기 위해 필수적인 도구로 사용되는 극대성의 구상과 논리를 해석할 것이다. 논증의 범위는 괴델이 정의한 극대성과 그 의미에 집중될 것이다.
본문요약 정보가 도움이 되었나요?

질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
무한과 유한을 구분하고 다루기 위해서 필요한 현대 수학의 개념적 도구에는 무엇이 포함되어야 하는가? 무한과 유한을 구분하고 다루기 위해서 필요한 현대 수학의 개념적 도구에는 자연수 집합과 선택 공리(axiom of choice)가 포함되어야 한다.1) 여기에서 선택 공리는 우리가 경험한 후 사용할 수 있는 대상 내에 포함될 수 없다.
선택 공리는 무엇에 포함될 수 없는가? 무한과 유한을 구분하고 다루기 위해서 필요한 현대 수학의 개념적 도구에는 자연수 집합과 선택 공리(axiom of choice)가 포함되어야 한다.1) 여기에서 선택 공리는 우리가 경험한 후 사용할 수 있는 대상 내에 포함될 수 없다. 선택 공리는 수용 여부와 관련된 문제이다.
선택 공리의 사용에 관하여 선택 공리에 대한 수학적 인식이 가능한 이유는? 괴델(K. Gödel, 1938) [4]과 코헨(P. Cohen, 1963) [1]에 의하여 선택 공리가 체르멜로프랭켈(Zermelo-Fraenkel)의 공리적 집합론 내에서 상대적 무모순성과 공리적 독립성을 가진다는 것이 증명되었다. 그러므로 선택 공리의 사용에 관하여 선택 공리에 대한 수학적 인식이 가능하다.
질의응답 정보가 도움이 되었나요?

참고문헌 (10)

  1. P. Cohen, Set Theory and the Continuum Hypothesis, New York: Dover Publications, 2008. 

  2. H. Friedman, My Forty Years on His Shoulders, Kurt Godel and the Foundations of Mathematics, M. Baaz, Cambridge: Cambridge University Press, 2011, 399-432. 

  3. K. Godel, The completeness of the axioms of the functional calculus of logic, Kurt Godel Collected Works I: Publications 1929-1936, S. Feferman et al, New York: Oxford University Press, 1986, 102-121. 

  4. K. Godel, The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis, Kurt Godel Collected Works II: Publications 1938-1974, S. Feferman et al, New York: Oxford University Press, 1990, 26-27. 

  5. K. Godel, The consistency of the generalized continuum hypothesis, Kurt Godel Collected Works II: Publications 1938-1974, S. Feferman et al, New York: Oxford University Press, 1990, p. 27. 

  6. K. Godel, Ontological proof, Kurt Godel Collected Works III: Unpublished Essays and Lectures, 1970. S. Feferman et al, New York: Oxford University Press, 1995, 403-404. 

  7. Hong Sung Sa, Hong Young Hee, Axiom of Choice and 19th Century Mathematics, The Korean Journal for History of Mathematics 9(1) (1996), 1-11. 홍성사, 홍영희, 선택공리와 19세기 수학, 한국수학사학회지 9(1) (1996), 1-11. 

    원문보기 상세보기

  8. Hong Sung Sa, Hong Young Hee, Axiom of Choice after Zermelo, The Korean Journal for History of Mathematics 9(2) (1996), 1-9. 홍성사, 홍영희, Zermelo 이후의 선택공리, 한국수학사학회지 9(2) (1996), 1-9. 

    원문보기 상세보기

  9. Hyun Woosik, Godel on the Foundations of Mathematics, The Korean Journal for History of Mathematics 20(3) (2007), 17-26. 현우식, 괴델이 보는 수학의 토대, 한국수학사학회지 20(3) (2007), 17-26. 

  10. T. Jech, About the Axiom of Choice, Handbook of Mathematical Logic, J. Barwise(ed.), New York: North-Holland Publishing Company, 1977, 345-370. 

관련 콘텐츠

오픈액세스(OA) 유형

BRONZE

출판사/학술단체 등이 한시적으로 특별한 프로모션 또는 일정기간 경과 후 접근을 허용하여, 출판사/학술단체 등의 사이트에서 이용 가능한 논문

저작권 관리 안내
섹션별 컨텐츠 바로가기

AI-Helper ※ AI-Helper는 오픈소스 모델을 사용합니다.

AI-Helper 아이콘
AI-Helper
안녕하세요, AI-Helper입니다. 좌측 "선택된 텍스트"에서 텍스트를 선택하여 요약, 번역, 용어설명을 실행하세요.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.

선택된 텍스트

맨위로