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문제 정의
- TCT를 위한 MBIR에서는 영상재구성에서 필수적 요소인 투사 및 역 투사 연산을 위한 시스템 행렬의 유형별 성능에 따라 재구성된 영상의 정확성이 결정되는 바, 본 연구에서는 시스템행렬 연산을 위한 대표적인 세 가지 유형의 성능에 대하여 비교, 분석하였다. 연산시간 측면에서 비교하면 RTM의 경우 방사선을 단순한 직선으로 모델링하는 반면 SAM과 DDM은 일정한 폭을 갖는 띠 형태로 모델링하므로 RTM이 SAM과 DDM 보다 연산시간이 적게 소요된다.
- 본 연구에서는 RTM, DDM, 및 SAM의 세 가지 방법이 MBIR 알고리즘에 적용될 경우 복원하고자 하는 2차원 단면 영상의 특성에 따라 재구성된 영상에 어떠한 영향을 미치는 가에 대하여 고찰함으로써 영상의 특성에 따른 각 방법의 장단점을 정량적으로 비교 및 분석한다. 이를 위해 위의 세 가지 방법을 사용한 시스템행렬의 연산방법에 대해 서술하고 본 연구에서 이들을 적용하여 영상을 재구성할 MBIR 알고리즘에 대하여 간략히 소개한다.
- 영상재구성을 위해 그림 3(a)와 같은 256 × 256 해상도를 가진 2차원의 소프트웨어 모형(phantom)을 사용하였다. 본 연구에서는 시스템 행렬의 유형에 따른 미세한 부분의 복원 차이를 정확히 관찰하기 위하여 시스템 내외의 잡음을 배제하고 재구성 하였다.
제안 방법
- MBIR에 적용 될 세 가지 유형의 시스템 행렬이 소프트웨어모형의 단면 특성에 따라 재구성된 영상에 어떤 영향을 미치는 지에 대한 확인을 위하여 복원하고자 하는 소프트웨어 모형 내에 10개의 관심영역(regions of interest, ROI)를 미리 설정하였다. ROI에서 재구성된 영상의 정확도를 평가하기 위하여 영상 내의 경계를 따라 설정된 ROI 내에서 백분율 오차를 식(14)를 사용하여 측정하였으며, 영상 내의 평활한 부분의 경우 설정된 ROI 내에서 백분율 오차(regional percentage error, PEroi)뿐 아니라 표준편차(regional standard deviation, STDroi)도 추가로 식(15)를 사용하여 측정하였다.
- 17배 정도 소요되었다. 그러나 이러한 차이는 LUT 방법을 사용할 경우 무시할 수 있을 정도로 감소하게 되므로 본 논문에서 세 가지 방법의 성능을 비교함에 있어서 연산속도 측면은 제외하고 재구성된 영상의 정확성 측면에서만 비교하였다.
- LUT를 적용하지 않은 경우 RTM이 SAM과 DDM에 비해 월등히 빠르나 LUT를 적용할 경우 세 가지 방법 모두 연산시간에 거의 차이가 없는 것을 알 수 있다. 따라서 이 후 본 논문에서는 연산시간 측면 보다 재구성된 영상의 정확성 측면에서 세 가지 방법의 성능을 비교하였다.
- 본 연구에서 고려하는 2차원 단층영상재구성을 위한 시스템 행렬 연산의 세 가지 방법을 실험하기 위해 다음과 같은 실험환경을 설정하였다. 복원하고자 하는 물체를 중심으로 360o로 회전하는 검출기의 각도를 256개의 균일한 이산 각으로 설정하였고, 주어진 각도에서 1차원 검출기의 해상도를 256으로 설정하였다. 이 경우 투과데이터는 256 × 256의 사이노그램이 된다.
- 이를 위해 위의 세 가지 방법을 사용한 시스템행렬의 연산방법에 대해 서술하고 본 연구에서 이들을 적용하여 영상을 재구성할 MBIR 알고리즘에 대하여 간략히 소개한다. 세 가지 시스템 모델의 성능을 비교를 위해 소프트웨어 모형을 사용한 실험을 통해 재구성된 영상들을 정량적으로 비교 및 분석한 후 결론을 맺는다.
- 그림 3은 소프트웨어 모형으로부터 획득한 투과데이터를 64개의 부분집합과 50회의 OS-SPS을 통해 재구성된 결과이다. 세 가지 유형의 시스템 행렬의 성능을 ML과 MAP(QD/NQ) 추정법에 적용한 결과에 따라 비교하기 위하여 각 영상마다 좌측 하단에 동일한 부분을 확대하여 배치하였다. 그림 3의 (b), (c), (d)는 ML 추정에서의 시스템 행렬의 성능을 비교하기 위해 λ = 0으로 설정하여 재구성한 결과를 나타낸 것이다.
- 본 연구에서는 RTM, DDM, 및 SAM의 세 가지 방법이 MBIR 알고리즘에 적용될 경우 복원하고자 하는 2차원 단면 영상의 특성에 따라 재구성된 영상에 어떠한 영향을 미치는 가에 대하여 고찰함으로써 영상의 특성에 따른 각 방법의 장단점을 정량적으로 비교 및 분석한다. 이를 위해 위의 세 가지 방법을 사용한 시스템행렬의 연산방법에 대해 서술하고 본 연구에서 이들을 적용하여 영상을 재구성할 MBIR 알고리즘에 대하여 간략히 소개한다. 세 가지 시스템 모델의 성능을 비교를 위해 소프트웨어 모형을 사용한 실험을 통해 재구성된 영상들을 정량적으로 비교 및 분석한 후 결론을 맺는다.
- 표 1은 256 × 256 투과데이터로 부터 256 × 256 영상을 재구성하기 위해 OS-SPS 알고리즘을 RTM, SAM, DDM 세 가지 방법으로 구현하고 64개의 부분집합과 50회의 반복연산을 통해 소요된 총 연산시간을 LUT의 사용 전(on-the-fly, OTF)/후(LUT)에 따라 비교한 것이다.
데이터처리
- MBIR에 적용 될 세 가지 유형의 시스템 행렬이 소프트웨어모형의 단면 특성에 따라 재구성된 영상에 어떤 영향을 미치는 지에 대한 확인을 위하여 복원하고자 하는 소프트웨어 모형 내에 10개의 관심영역(regions of interest, ROI)를 미리 설정하였다. ROI에서 재구성된 영상의 정확도를 평가하기 위하여 영상 내의 경계를 따라 설정된 ROI 내에서 백분율 오차를 식(14)를 사용하여 측정하였으며, 영상 내의 평활한 부분의 경우 설정된 ROI 내에서 백분율 오차(regional percentage error, PEroi)뿐 아니라 표준편차(regional standard deviation, STDroi)도 추가로 식(15)를 사용하여 측정하였다.
- 그림 1. 시스템 행렬 H를 계산하기 위한 RTM, SAM, DDM의 비교.
이론/모형
- 본 논문에서 투사선 구동 시스템 모델의 성능 비교를 위해 사용할 모델 기반 반복연산 재구성(MBIR) 방법은 최대사후(maximum a posteriori, MAP) 추정법에 기반한 OS-SPS (ordered subsets-separable paraboloidal surrogates)[14] 알고리즘이다. 여기서 OS (ordered subsets)[17-19] 방법은 투과데이터를 여러 개의 부분집합(subsets)으로 나누고 각 부분집합에 대하여 투사 및 역투사 연산을 포함하는 SPS 알고리즘을 독립적으로 수행함으로써 수렴속도를 부분집합의 개수 배 만큼 증가시킨다.
- 본 논문에서는 목적함수 Φ(μ)에 접하면서 개별적으로 최대화가 용이한 일련의 대리(surrogate) 함수들 ∅(#)을 정의하고, 각 대리함수를 Newton-Raphson 방법으로 최대화함으로써 #를 구하는 OS-SPS[24,25] 방법을 사용하였으며 이 경우 최종식은 다음과 같이 주어진다.
- LUT 에는 방사선이 향하는 각도 θ 에 대한 각 화소 (i,j) 별로 결정되는 검출기 상의 정보, 즉 검출기 칸과 해당되는 가중치를 저장되므로 (i,j,θ)를 좌표로 하는 3차원 배열의 LUT가 사용될 수 있다. 본 연구에서는 RTM을 통해 구해지는 가중치를 정확하고 빠르게 계산하기 위하여 Siddon이 제안한 교차길이의 효율적 계산방법[9]을 사용하였다. Siddon 방법의 경우 검출기 칸으로부터 진행되는 방사선이 통과하는 영상공간의 화소의 개수 N과 화소의 위치 (i,j) 및 교차길이 rtθ,ij 를 제공한다.
- 영상재구성을 위해 그림 3(a)와 같은 256 × 256 해상도를 가진 2차원의 소프트웨어 모형(phantom)을 사용하였다.
성능/효과
- 그림 3의 (b), (c), (d)는 ML 추정에서의 시스템 행렬의 성능을 비교하기 위해 λ = 0으로 설정하여 재구성한 결과를 나타낸 것이다. ML의 경우 재구성된 영상을 확대한 부분과 재구성한 영상의 측면도를 나타내는 그림 4(b)를 보면 RTM/SAM/DDM 모두 시스템행렬의 비균일성으로 인한 잡음이 존재하는 것을 확인할 수 있으며, 정성적으로는 유사하게 복원된 것으로 보이나 소프트웨어 모형과의 백분율 오차(percentage error, PE) 측면에서 RTM이 SAM과 DDM 에 비해 근소하게 낮은 것을 확인할 수 있다. 그림 3의 (e), (f), (g)는 MAP 추정법을 적용한 결과이며 이 때 적용된 페널티 함수는 식(12)의 제곱형태이고 λ = 0.
- 결론적으로 TCT를 위한 MBIR 영상재구성에서 ML과 같이 사전정보가 없는 알고리즘을 사용하여 영상을 재구성하는 경우 복원하고자 하는 물체가 주로 복잡한 경계로 이루어진 경우 RTM을 적용하는 것이 효율적이고, 주로 평활한 영역으로 이루어진 경우 SAM과 DDM을 적용하는 것이 효율적이다. 그러나 MAP 추정 법을 사용한 영상재구성에서 경계보존의 기능을 갖는 비제곱 형태의 사전정보를 선택할 경우 시스템행렬 연산을 위해 RTM을 사용하면 복원하고자 하는 영상 내의 복잡한 경계를 더욱 정확하게 복원할 뿐만아니라 영상 내의 평활한 영역도 SAM과 DDM 못지않게 우수하게 복원하는 것으로 평가된다.
- 경계보존의 기능을 갖는 비제곱 형태의 사전정보를 사용한 MAP의 경우 영상 내의 모든 경계 부분 뿐 아니라 평활한 영역에서도 RTM이 가장 우수하게 복원하는 것을 확인할 수 있었는데, 이는 비제곱 형태의 사전정보가 적절한 α > 0를 사용할 경우 영상내의 경계를 보존하면서도 평활영역의 잡음을 효율적으로 감소시킬 수 있기 때문인 것으로 판단된다.
- 결론적으로 TCT를 위한 MBIR 영상재구성에서 ML과 같이 사전정보가 없는 알고리즘을 사용하여 영상을 재구성하는 경우 복원하고자 하는 물체가 주로 복잡한 경계로 이루어진 경우 RTM을 적용하는 것이 효율적이고, 주로 평활한 영역으로 이루어진 경우 SAM과 DDM을 적용하는 것이 효율적이다. 그러나 MAP 추정 법을 사용한 영상재구성에서 경계보존의 기능을 갖는 비제곱 형태의 사전정보를 선택할 경우 시스템행렬 연산을 위해 RTM을 사용하면 복원하고자 하는 영상 내의 복잡한 경계를 더욱 정확하게 복원할 뿐만아니라 영상 내의 평활한 영역도 SAM과 DDM 못지않게 우수하게 복원하는 것으로 평가된다.
- 이 경우 경계에 걸쳐 설정된 모든 ROIs에서 RTM의 PEroi가 가장 낮으므로 RTM이 SAM과 DDM에 비해 복잡한 경계를 상대적으로 우수하게 복원하는 것을 확인 할 수 있다. 그러나 영상 내의 평활한 부분에 설정된 ROIs를 비교해보면 SAM이 PEroi와 STDroi 측면에서 평활한 부분을 가장 정확하게 복원하는 것을 확인할 수 있는데, 이는 SAM에서 방사선을 일정 두께를 갖는 띠 모양으로 모델링하는데 기인한 것으로 판단된다.
- 이는 직선의 방사선이 투사되는 RTM과 달리 일정한 폭을 유지하며 투사되는 SAM과 DDM은 방사선이 일정한 두께를 가지므로 영상 내에 존재하는 경계 부분이 방사선 폭보다 좁은 경우 과 평활화로 인해 좁은 경계와 경계 사이를 정확하게 복원하지 못하기 때문인 것으로 판단된다. 반면 평활한 영역에서 RTM은 시스템행렬의 비균일성으로 인한 잡음이 SAM, DDM에 비해 현저히 많이 발생하는 것을 확인할 수 있었고, SAM이 PEroi 와 STDroi 측면에서 상대적으로 더정확함을 확인하였다. 이는 RTM이 SAM/DDM과 달리 인접한 두 개의 방사선 사이에 공백이 존재하므로 민감 지도의 표준편차가 다소 크게 나타나고, 이로 인해 RTM은 평활한 영역을 SAM과 DDM 만큼 정확하게 복원하지 못한것으로 보인다.
- 세 가지 유형의 시스템 행렬의 성능을 ML과 MAP (QD/ NQ) 영상재구성을 통해 복원된 영상의 PEroi 측면에서 비교하였을 때 ML의 경우 RTM이 SAM과 DDM에 비해 복잡한 경계를 더 정확하게 복원하는 것을 확인 하였다. 이는 직선의 방사선이 투사되는 RTM과 달리 일정한 폭을 유지하며 투사되는 SAM과 DDM은 방사선이 일정한 두께를 가지므로 영상 내에 존재하는 경계 부분이 방사선 폭보다 좁은 경우 과 평활화로 인해 좁은 경계와 경계 사이를 정확하게 복원하지 못하기 때문인 것으로 판단된다.
- DDM은 SAM을 근사 화하여 연산시간을 단축한 방법이나 RTM 보다는 연산속도가 상대적으로 느리다. 표 1의 실험결과에 의하면 RTM을 기준으로 한 상대적인 연산시간은 ML의 경우 SAM이 약 1.71배, DDM이 약 1.62배, QD 사전정보를 사용한 MAP의 경우 SAM이 약 1.39배, DDM 이 약 1.37배, NQ 사전정보를 사용한 MAP의 경우 SAM 이 약 1.2배, DDM이 1.17배 정도 소요되었다. 그러나 이러한 차이는 LUT 방법을 사용할 경우 무시할 수 있을 정도로 감소하게 되므로 본 논문에서 세 가지 방법의 성능을 비교함에 있어서 연산속도 측면은 제외하고 재구성된 영상의 정확성 측면에서만 비교하였다.
- 9 × 103) 영상재구성에서의 PEroi 및 STDroi를 나타낸 것인데, 이 경우에도 경계보존 기능이 없는 제곱 사전정보를 사용함에도 불구하고 RTM이 SAM 또는 DDM에 비해 복잡한 경계를 상대적으로 잘 복원하였다. 한편, 평활한 부분에서는 SAM이 RTM과 DDM에 비해 우수하게 복원하며, 표 1에서와 마찬가지로 DDM의 성능은 RTM과 SAM의 중간을 유지하는 것을 확인할 수 있다.
- 그러나 이 경우 ML을 통해 재구성한 영상과 정성적으로 비교했을 때 경계 부분의 정보가 소실되어 재구성된 영상의 정확도가 PE측면에서 감소하였다. 한편, 평활한 영역에서는 SAM이 PEroi 와 STDroi 측면에서 가장 우수하게 복원하였고 이 경우 ML을 통해 재구성한 영상에 비해 평활한 영역에서 나타나는 영상 내 잡음이 감소한 것을 확인 할 수 있었다. 경계보존의 기능을 갖는 비제곱 형태의 사전정보를 사용한 MAP의 경우 영상 내의 모든 경계 부분 뿐 아니라 평활한 영역에서도 RTM이 가장 우수하게 복원하는 것을 확인할 수 있었는데, 이는 비제곱 형태의 사전정보가 적절한 α > 0를 사용할 경우 영상내의 경계를 보존하면서도 평활영역의 잡음을 효율적으로 감소시킬 수 있기 때문인 것으로 판단된다.
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