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문제 정의
- 현재까지 계층적 크리깅 기법을 최적 설계 문제에 적용한 연구로는 Wilke[8]가 있지만, 격자수와 해석자 등 다양한 경우에 관한 해석이 부족하다. 그러므로, 본 연구에서는 계층적 크리깅을 이용한 VFM의 유용성을 확인하기 위하여, 해석자와 격자수에 따른 LF모델을 구성하고, 각 경우의 파레토 라인상의 샘플들과 계산시간을 바탕으로 정확도 및 계산시간의 이점을 알아보았다. 해석대상으로 일변수 해석함수(Analytic function)를 이용하여 HF/LF모델의 관계에 따라 혹은 정확도 모델의 단계 수에 따라 결과를 살펴보았으며, 비선형적 경향을 나타내는 천음속영역에 대한 익형 최적설계 과정을 통하여 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM의 실제문제에 대한 효율성을 입증하였다.
- 본 연구에서는 VFM 기법의 하나인 계층적 크 리깅 모델을 이용하여 최적설계 과정의 유용성을 검증해 보았다. 이를 위하여 단일 정확도 모델인 Single Fidelity Model의 최적설계 결과 및 계산시간을 기준으로 효율성을 따져 보았다.
- 7에 Case3에서 선정된 초기 HF샘플을 예로 표시해 두었다. 이렇게 선정된 HF샘플을 바탕으로 VFM에 관한 최적 설계를 수행한다.
제안 방법
- 3.1.1에서 사용하였던 해석함수들은 LF모델의 함수 내부에 HF 모델에 사용된 함수를 내포하도록 하여, 함수간의 관계가 비독립적이도록 하였다. 반대로 두 모델간의 관계가 독립적일 경우에도 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM을 효과적으로 사용할 수 있는지를 알아보기 위하여, 식(8) 과 같이 HF모델의 함수와는 전혀 다른 임의의 LF모델에 대한 함수를 선정하였다.
- 다단계 모델에 대한 검증을 위하여 식(9)와 같이 기존 LF 모델의 해석함수에 오차항을 추가하여 최하위수준의 모델(lf-1)을 생성하였다. HF모델의 샘플은 기존과 동일하게 하였으며, LF모델(lf)과 최하위 수준의 모델(lf-1)은 각각 8개, 21개의 샘플을 설계공간에 등 간격으로 분포시켰다.
- 9에 표시된 영역에서 약간의 차이를 보였다. VFMNS, 1/2Grid케이스는 다른 케이스들에 비하여 상대적으로 빨리 수렴 기준을 만족하여, 추가된 샘플이 적었다. 그러므로 빠른 시간 내에 대부분의 영역에서 SF와 유사한 결과를 획득하였지만, 국부적으로 약간의 차이를 보였다.
- 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM의 유용성을 SF를 기준으로 최적 설계의 정확도 및 계산 시간의 측면에서 살펴보았다. Fig.
- 계층적 크리깅을 이용한 VFM의 유용성을 검증하기 위하여 여러 가지 해석함수를 통한 계산을 수행하였다. 먼저, 계층적 크리깅 모델의 VFM에 대한 적용 가능성 여부를 판단하기 위하여 일변수 해석함수에 대하여 계산을 수행하고, EI를 통한 추가 샘플점 계산을 통하여 EGO알고리즘을 검증하였다.
- 먼저, 계층적 크리깅 모델의 VFM에 대한 적용 가능성 여부를 판단하기 위하여 일변수 해석함수에 대하여 계산을 수행하고, EI를 통한 추가 샘플점 계산을 통하여 EGO알고리즘을 검증하였다. 두 번째로, 모델의 정확도를 여러 단계로 할 경우에 대한 효율성을 검토했으며, 마지막으로 두 함수가 서로 독립적인 경향을 가지는 경우에 관한 해석을 통하여 두 모델의 관계에 따른 모델의 정확도 및 본 기법의 효율성을 살펴보았다.
- 31°로 정하였다. 또한 양력과 항력을 목적함수로 두어 각각 최대화와 최소화가 이루어지도록 하였다. 한편, 항력의 감소에 따라 익형이 매우 얇아지는 구조적 문제를 방지하기 위하여, 천음속 영역의 익형설계에 대표적으로 사용되는 RAE2822 익형의 면적에 비해 5%이상 작아지지 않도록 제약조건을 설정하였다.
- 또한 일반적인 경우에도 적용가능 함을 입증하기 위하여 천음속 영역에 대한 익형 최적 설계를 수행하였다. 익형의 형상에 대한 설계변수로 PARSEC을 이용하였으며, 양력을 최대로 하며 항력을 최소로 하는 다목적함수에 대한 설계를 수행하였다.
- 계층적 크리깅을 이용한 VFM의 유용성을 검증하기 위하여 여러 가지 해석함수를 통한 계산을 수행하였다. 먼저, 계층적 크리깅 모델의 VFM에 대한 적용 가능성 여부를 판단하기 위하여 일변수 해석함수에 대하여 계산을 수행하고, EI를 통한 추가 샘플점 계산을 통하여 EGO알고리즘을 검증하였다. 두 번째로, 모델의 정확도를 여러 단계로 할 경우에 대한 효율성을 검토했으며, 마지막으로 두 함수가 서로 독립적인 경향을 가지는 경우에 관한 해석을 통하여 두 모델의 관계에 따른 모델의 정확도 및 본 기법의 효율성을 살펴보았다.
- 먼저, 설계 공간 내에서 초기 근사모델을 만드는데 필요한 샘플을 Latin Hypercube Sampling을 이용하여 추출한다. 이를 바탕으로 FLUENT를 이용한 공력해석과 크리깅을 이용한 근사모델의 생성이 순차적으로 이루어지게 되며, 수렴기준에 따라서 EGO(Efficient Global Optimization)알고리 Fig.
- 1에서 사용하였던 해석함수들은 LF모델의 함수 내부에 HF 모델에 사용된 함수를 내포하도록 하여, 함수간의 관계가 비독립적이도록 하였다. 반대로 두 모델간의 관계가 독립적일 경우에도 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM을 효과적으로 사용할 수 있는지를 알아보기 위하여, 식(8) 과 같이 HF모델의 함수와는 전혀 다른 임의의 LF모델에 대한 함수를 선정하였다. LF모델의 각 함수는 Fig.
- 유용성에 대한 검증을 위하여 SF의 해석을 Baseline으로 선정하고, 서로 다른 정확도를 가지는 해석자와 서로 다른 수의 격자수에 따른 VFM해석 케이스를 선정하였으며, 각 케이스에 사용된 해석자 및 격자수는 Table 5와 Table 6에 정리하였다.
- 해석대상으로 일변수 해석함수(Analytic function)를 이용하여 HF/LF모델의 관계에 따라 혹은 정확도 모델의 단계 수에 따라 결과를 살펴보았으며, 비선형적 경향을 나타내는 천음속영역에 대한 익형 최적설계 과정을 통하여 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM의 실제문제에 대한 효율성을 입증하였다. 이를 위하여 PARSEC을 이용하여 익형 형상 파라메터를 지정하고, FLUENT를 통한 공력해석으로 근사모델에 필요한 샘플을 확보하며, 다목적 유전자 알고리즘(MOGA)을 통하여 최적화 과정을 수행하였다.
- 본 연구에서는 VFM 기법의 하나인 계층적 크 리깅 모델을 이용하여 최적설계 과정의 유용성을 검증해 보았다. 이를 위하여 단일 정확도 모델인 Single Fidelity Model의 최적설계 결과 및 계산시간을 기준으로 효율성을 따져 보았다. 이를 위해 해석함수를 이용한 여러 가지 LF모델에 따른 해석과 천음속 영역의 익형 최적 설계에 대한 해석을 수행하였다.
- 익형의 형상에 대한 설계변수로 PARSEC을 이용하였으며, 양력을 최대로 하며 항력을 최소로 하는 다목적함수에 대한 설계를 수행하였다. 이를 위하여 선정된 샘플에 대한 격자생성과 공력해석을 수행하고, 크리깅 모델을 형성한 다음 EGO알고리즘을 통하여 추가 샘플에 대한 계산을 수행하였다.
- 이를 위하여 단일 정확도 모델인 Single Fidelity Model의 최적설계 결과 및 계산시간을 기준으로 효율성을 따져 보았다. 이를 위해 해석함수를 이용한 여러 가지 LF모델에 따른 해석과 천음속 영역의 익형 최적 설계에 대한 해석을 수행하였다.
- 4와 같이 국부적 최소점을 정확하게 예측하지 못한 결과로 계산되었다. 이를 해결하기 위해 유전알고리즘을 통하여 EI의 최대값을 가지는 샘플을 1회당 1개의 샘플을 추가한 뒤, 근사모델을 재생성하는 과정을 반복하였다. 그결과 2번째 EI Cycle이후(총 2개의 샘플) 실제 해와 똑같은 그래프가 계산됨을 확인하였다.
- 또한 일반적인 경우에도 적용가능 함을 입증하기 위하여 천음속 영역에 대한 익형 최적 설계를 수행하였다. 익형의 형상에 대한 설계변수로 PARSEC을 이용하였으며, 양력을 최대로 하며 항력을 최소로 하는 다목적함수에 대한 설계를 수행하였다. 이를 위하여 선정된 샘플에 대한 격자생성과 공력해석을 수행하고, 크리깅 모델을 형성한 다음 EGO알고리즘을 통하여 추가 샘플에 대한 계산을 수행하였다.
- LF 모델은 11개의 샘플을 사용하였으며, HF모델은 4개의 샘플을 사용하여 계산을 수행하였다. 크리깅 모델은 국부적 최소점에 샘플이 존재할 경우, 정확한 모델로 근사 가능하므로, 계층적 크리깅 기법를 이용한 VFM의 유용성을 확인하기 위하여 HF모델의 샘플을 국부적 최소점이 아닌 다른 지점에 배치해 두었다.
- 한편, EGO알고리즘의 적용가능성을 확인하기 위하여 LF모델의 해석함수를 식(7)과 같이 다항식 및 상수항을 이용, 더욱 과장된 오차항을 추가하였다.
- 또한 양력과 항력을 목적함수로 두어 각각 최대화와 최소화가 이루어지도록 하였다. 한편, 항력의 감소에 따라 익형이 매우 얇아지는 구조적 문제를 방지하기 위하여, 천음속 영역의 익형설계에 대표적으로 사용되는 RAE2822 익형의 면적에 비해 5%이상 작아지지 않도록 제약조건을 설정하였다.
- 현재의 방법을 천음속 영역에 대한 익형 최적 설계에 적용하였다. 유동조건은 마하수 0.
대상 데이터
- 해석함수로는 식(6)과 같이 Forrester[9]에서 사용된 함수를 HF모델에 적용하였으며, 약간의 오차항을 추가한 함수를 LF모델에 적용하였다. LF 모델은 11개의 샘플을 사용하였으며, HF모델은 4개의 샘플을 사용하여 계산을 수행하였다. 크리깅 모델은 국부적 최소점에 샘플이 존재할 경우, 정확한 모델로 근사 가능하므로, 계층적 크리깅 기법를 이용한 VFM의 유용성을 확인하기 위하여 HF모델의 샘플을 국부적 최소점이 아닌 다른 지점에 배치해 두었다.
- VFM은 고 정확도에 많은 계산 자원을 필요로 하는 High-Fidelity(HF)모델과 저 정확도에 적은 계산 자원을 필요로 하는 Low-Fidelity(LF) 모델을 이용하며, 정확한 근사모델을 만드는데 필요한 샘플들을 HF모델 대신에 LF모델에서 다수의 샘플을 선정한다. 이를 바탕으로 기존의 고 정확도 모델만을 사용한 근사모델에 비해 유사한 수준의 정확도를 가지며 계산시간을 줄일 수 있다는 장점을 가지고 있다.
- 해석을 위한 초기 샘플은 Latin Hypercube Sampling을 이용하여 설계 공간 내에 균등하게 분포하도록 하며, 각 케이스별 샘플 수는 Table 7에 정리 되어 있다. VFM케이스의 경우에는 초기의 샘플들이 최적 설계 영역에 있지 않을 가능성이 있으므로, LF모델에 한하여 최적화 과정을 수행하여 Fig. 7과 같이 40개의 LF 추가 샘플을 획득하였다. 이 경우 각 케이스에 관하여 LF모델의 샘플이 대략적인 Pareto fronts를 형성하는 것을 확인 할 수 있었으며 LF모델에서 충분한 최적화가 이루어진 것으로 판단된다.
- 목적함수의 분포에 따른 형상 및 압력 분포의 경향을 관찰하기 위하여, 항력이 가장 작은 샘플과 양력이 가장 큰 샘플 그리고 두 목적함수가 절충이 되는 샘플을 파레토 라인에서 선정하였다. 일반적으로 양력을 최대화하기 위해서는 캠버가 들어간 형태를 하게 된다.
- 익형의 형상은 PARSEC[10]을 이용하였다. PARSEC은 공력성능과 관계되는 익형 형상에 대한 여러 가지 파라메터를 다항식의 형태로 나타낸 것이다.
- 한편, 최적설계 결과로부터 향상된 성능에 대한 압력분포 및 형상을 관찰하기 위하여, 천음속 익형 설계에 주로 사용되어 오던 RAE2822 익형과 Balanced 케이스에 대한 비교 또한 Fig. 11에도식하였으며, Balanced 케이스는 비교를 위하여 RAE2822 익형과 양력계수가 유사한 케이스를 선정하였다. 그 결과 Balanced 케이스의 익형은 RAE2822와는 다르게 상대적으로 약한 충격파를 통하여 급격한 압력 손실을 방지함을 보여 주었다.
이론/모형
- 1. Optimization procedure of variable fidelity model and single fidelity model 즘을 이용하여 추가 샘플링 여부를 결정한다.
- 여기서 식(1)의 전역모델을 구성하는 함수f T (x)에 따라서 여러 가지 크리깅 모델을 형성할 수 있다. Table 2와같이 VFM에서 LF모델은 전역모델의 함수 값에 벡터의 모든 요소의 값이 1인 #를 이용한 정규 크 리깅 기법을 사용하였으며, HF모델은 LF 크리깅 모델을 바탕으로 계산된 추정치인 # 을 전역모델의 함수 값에 적용한 계층적 크리깅 기법이 적용되었다. 계층적 크리깅 모델의 자세한 유도과정은 참고문헌[7]에 자세히 설명되어 있다.
- 그리고 이 두 모델은 Table 1과 같이 해석자(Potential Theory, Euler Equation, NS Equation)의 정확도에 따라 또는 격자수에 따라서 분류할 수 있다. 대표적으로 모델간의 보정을 기반(Correction Based method)에 둔 VFM 방법을 이용한다.
- 해석함수로는 식(6)과 같이 Forrester[9]에서 사용된 함수를 HF모델에 적용하였으며, 약간의 오차항을 추가한 함수를 LF모델에 적용하였다. LF 모델은 11개의 샘플을 사용하였으며, HF모델은 4개의 샘플을 사용하여 계산을 수행하였다.
성능/효과
- 1) LF모델은 HF모델의 경향성 및 유동특성을 적절히 설명 가능하여야 한다. 해석함수에 대한 분석을 통하여 LF모델과 HF모델의 경향이 전혀 다른 경향을 가질 경우 오히려 HF모델의 샘플만을 이용한 근사모델이 더 효율적임을 알 수 있다.
- 2) VFM1/2Grid , VFM1/3Grid는 설계시간이 SF대비 각각 64.20%, 42.59%감소하였으며, SF와 유사한 최적설계결과를 도출하였다. 이로서 본 기법의 유용성이 입증되었다.
- 6과 같이 여러 단계를 거쳐 만들어진 크리깅 모델이 실제 값과 정확히 일치함을 알 수 있었다. hf/lf 모델의 기존의 2단계 정확도 모델에 대한 해석과 동일하며, 그 하위 수준의 모델을 추가 하였음에도 계산이 가능하다는 측면에서 볼 때, 정확도의 단계를 세분화 할수록 계산 시간을 더 줄여줄 수 있다는 가능성을 보여준다.
- 11에도식하였으며, Balanced 케이스는 비교를 위하여 RAE2822 익형과 양력계수가 유사한 케이스를 선정하였다. 그 결과 Balanced 케이스의 익형은 RAE2822와는 다르게 상대적으로 약한 충격파를 통하여 급격한 압력 손실을 방지함을 보여 주었다. 그리고, 선정된 샘플에 대한 모든 공력성능은 Table 10에 정리되어 있으며, 특히 RAE2822와 유사한 양력계수를 가지는 Balanced 케이스는 Reference 케이스인 RAE2822익형 보다 양항비가약 24%정도 향상된 것을 확인 할 수 있었다.
- 그 결과 Fig. 6과 같이 여러 단계를 거쳐 만들어진 크리깅 모델이 실제 값과 정확히 일치함을 알 수 있었다. hf/lf 모델의 기존의 2단계 정확도 모델에 대한 해석과 동일하며, 그 하위 수준의 모델을 추가 하였음에도 계산이 가능하다는 측면에서 볼 때, 정확도의 단계를 세분화 할수록 계산 시간을 더 줄여줄 수 있다는 가능성을 보여준다.
- 이를 해결하기 위해 유전알고리즘을 통하여 EI의 최대값을 가지는 샘플을 1회당 1개의 샘플을 추가한 뒤, 근사모델을 재생성하는 과정을 반복하였다. 그결과 2번째 EI Cycle이후(총 2개의 샘플) 실제 해와 똑같은 그래프가 계산됨을 확인하였다.
- 샘플이 국부적 최소/최대점에 존재하지 않으므로 적은 샘플수로는 단일 크리깅만을 이용하여 정확한 계산이 어려움을 확인할 수 있다. 그러나 LF 모델의 정보를 기반으로 한 VFM결과, Bridge Function을 이용한 계산 결과는 SF에 대한 해석결과에 비해 HF모델의 경향을 더 정확히 계산하였으며, 계층적 크리깅 모델을 이용한 경우에는 실제 HF모델을 아주 정확하게 계산하였다. 이를 바탕으로 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM방법이 다른 방법에 비해 매우 정확하게 HF모델을 묘사할 수 있음을 확인할 수 있었다.
- 그 결과 Balanced 케이스의 익형은 RAE2822와는 다르게 상대적으로 약한 충격파를 통하여 급격한 압력 손실을 방지함을 보여 주었다. 그리고, 선정된 샘플에 대한 모든 공력성능은 Table 10에 정리되어 있으며, 특히 RAE2822와 유사한 양력계수를 가지는 Balanced 케이스는 Reference 케이스인 RAE2822익형 보다 양항비가약 24%정도 향상된 것을 확인 할 수 있었다.
- 11에 나타나 있으며, cl,max케이스부터 cd,min케이스로 갈수록 압력계수의 값이 완만하게 변하는 것으로 충격파에 의한 영향을 확인 할 수 있다. 또한, 이를 바탕으로 VFM의 최적화 결과가 일반적인 물리적 현상과 일치함을 확인할 수 있다.
- 그러므로 빠른 시간 내에 대부분의 영역에서 SF와 유사한 결과를 획득하였지만, 국부적으로 약간의 차이를 보였다. 반대로 VFMEuler, full-grid케이스는 많은 수의 추가 샘플을 계산하였지만, 파레토 라인 주변의 샘플을 빠르게 획득하지 못하고, 많은 수의 반복 계산 후에야 최적 설계 영역 주변의 샘플을 획득할수 있었다. 반면, VFMNS, 1/3Grid케이스는 모든 영역에서 SF NS,full-grid케이스와 유사한 결과를 획득 하였다.
- 이 경우 더이상의 좋은 샘플이 없을 것으로 판단하여 계산을 중단한다. 본 논문에서는 추가 샘플에 대한 계산을 5회 반복하는 동안 개선점이 나타나지 않을 경우를 수렴 기준으로 정하였는데, 한 반복회당 2~3개의 샘플을 추가 하므로 5회면 충분한 수의 샘플을 추가 했을 것으로 판단된다.
- Table 3은 HF샘플을 얼마나 사용 하였을 때 정확한 근사모델로 수렴하는지를 정리 하였다. 이 결과를 토대로, LF 모델의 함수가 HF 모델의 함수와 전혀 다른 경향성을 가질 경우 오히려 HF샘플만을 이용한 근사모델 형성 방법보다 더 비효율적인 것을 확인하였다. 실제 문제에 이를 적용할 경우, 유동특성이 전혀 다른 두 모델을 이용할 때 정확한 결과가 도출되지 않을 것으로 생각된다.
- 그러므로 천음속 영역에서는 공력특성에 가장 큰 영향을 주는 충격파에 의한 예측이 가능하여야 하며, Euler/Navier-Stokes 기반의 해석자간 보정을 통하여 VFM을 구성하는 것이 유용하다. 이는 VFMEuler, full-grid케이스가 SF의 최적설계 결과와 대체로 유사한 경향을 보이며, 설계시간이 38.33% 감소한 것을 바탕으로 확인 할 수 있다.
- 그러나 LF 모델의 정보를 기반으로 한 VFM결과, Bridge Function을 이용한 계산 결과는 SF에 대한 해석결과에 비해 HF모델의 경향을 더 정확히 계산하였으며, 계층적 크리깅 모델을 이용한 경우에는 실제 HF모델을 아주 정확하게 계산하였다. 이를 바탕으로 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM방법이 다른 방법에 비해 매우 정확하게 HF모델을 묘사할 수 있음을 확인할 수 있었다.
- VFM은 고 정확도에 많은 계산 자원을 필요로 하는 High-Fidelity(HF)모델과 저 정확도에 적은 계산 자원을 필요로 하는 Low-Fidelity(LF) 모델을 이용하며, 정확한 근사모델을 만드는데 필요한 샘플들을 HF모델 대신에 LF모델에서 다수의 샘플을 선정한다. 이를 바탕으로 기존의 고 정확도 모델만을 사용한 근사모델에 비해 유사한 수준의 정확도를 가지며 계산시간을 줄일 수 있다는 장점을 가지고 있다. 그리고 이 두 모델은 Table 1과 같이 해석자(Potential Theory, Euler Equation, NS Equation)의 정확도에 따라 또는 격자수에 따라서 분류할 수 있다.
- 이는 LF1/2Grid와 LF1/3Grid에 대한 계산시간이 HF모델에 대한 계산시간에 비해 상대적으로 적으며, 이로 인해 HF 근사모델을 구축하는데 사용된 추가 샘플의 수에 따라서 계산시간이 좌우된 것으로 판단된다. 이를 바탕으로 상대적으로 적은 계산시간을 차지하는 LF모델을 바탕으로 HF모델을 보정하는 VFM이 매우 효율적임을 알 수 있다.
- VFM을 이용한 최적 설계는 SF에 비하여 대략 40~65% 계산시간이 감소하였다. 한편, VFMNS, 1/2Grid케이스에 비해 LF모델의 격자수를 더 적게 쓴 VFMNS, 1/3Grid케이스가 더 많은 계산 자원을 소모한 것으로 나타났다. 이는 LF1/2Grid와 LF1/3Grid에 대한 계산시간이 HF모델에 대한 계산시간에 비해 상대적으로 적으며, 이로 인해 HF 근사모델을 구축하는데 사용된 추가 샘플의 수에 따라서 계산시간이 좌우된 것으로 판단된다.
- 그러므로, 본 연구에서는 계층적 크리깅을 이용한 VFM의 유용성을 확인하기 위하여, 해석자와 격자수에 따른 LF모델을 구성하고, 각 경우의 파레토 라인상의 샘플들과 계산시간을 바탕으로 정확도 및 계산시간의 이점을 알아보았다. 해석대상으로 일변수 해석함수(Analytic function)를 이용하여 HF/LF모델의 관계에 따라 혹은 정확도 모델의 단계 수에 따라 결과를 살펴보았으며, 비선형적 경향을 나타내는 천음속영역에 대한 익형 최적설계 과정을 통하여 계층적 크리깅 모델을 이용한 VFM의 실제문제에 대한 효율성을 입증하였다. 이를 위하여 PARSEC을 이용하여 익형 형상 파라메터를 지정하고, FLUENT를 통한 공력해석으로 근사모델에 필요한 샘플을 확보하며, 다목적 유전자 알고리즘(MOGA)을 통하여 최적화 과정을 수행하였다.
후속연구
- 향후, 계산 자원을 많이 차지하는 3D 케이스 혹은 회전체등에 적용한다면 이 방법의 효율성을 극대화 될 것으로 생각된다.
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