[논문]이진확률수열의 무작위성 검정

여인권

doi:10.5351/kjas.2014.27.1.115

[국내논문] 이진확률수열의 무작위성 검정
A Test for Randomness of the Binary Random Sequence 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.27 no.1, 2014년, pp.115 - 122

초록
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이 논문에서는 이진확률수열의 무작위성을 검정하는 방법을 제안한다. 연의 길이는 절사된 기하분포를 따르는데 제안하고자 하는 검정통계량은 연의 평균길이를 기초로 하고 있으며 표본크기가 커지면 점근적으로 ${\chi}^2_2$-분포를 따른다. 검정크기와 검정력을 비교하기 위해 몬테칼로모의실험을 실시했다. 로또 6/45에서의 추첨여부에 대한 수열에 적용해 보았으며 로또는 무작위성을 만족하는 것으로 나타났다.

Abstract ▼ AI-Helper

A test for randomness of the binary random sequence is proposed in this paper. The proposed test statistic is based on the mean length of runs distributed with truncated geometric distribution and asymptotically ${\chi}^2_2$-distributed when the size of the sequences is large. A small Monte Carlo simulation compared the size of the test with a significant level as well as evaluated the test power. We applied the proposed method to the sequence of yes or no numbers in Lotto 6/45 and concluded that the randomness of Lotto is retained.

Keyword

AI 본문요약
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문제 정의

이 논문에서는 임의의 어떤 번호가 매 회에서 전 회에서의 추첨여부와 관계없이 독립적으로 추첨되는지를 검정하는 방법에 대해 알아본다. 이 번호가 어떤 회에서 추첨되었으면 1, 아니면 0이라고 표시하면 자료는 이진확률수열(binary random sequence) 구조를 가진다.
이 논문에서는 π가 임의의 값을 가질 때에도 이진확률수열의 무작위성을 검정하기 위한 검정통계량을 제안하고 이 통계량의 점근적 성질에 대해 알아본다.
이 논문에서는 연의 개수 대신 연의 길이를 이용하여 π가 1/2이 아닌 경우에도 적용할 수 있는 검정통계량을 소개하고자 한다.
이 방법은 각종 난수발생기에서 발생되는 난수들 간의 독립성 여부를 확인하는데 사용될 수 있으며 이진 뿐만 아니라 항이 여러개인 경우에도 확장시킬 수 있다. 이 논문에서는 제시된 통계량의 근사적 독립성을 확보하기 위해 수열의 크기가 큰 경우를 중심으로 이론을 유도하였나 향후 n이 크지 않은 경우에도 적용할 수 있는 방법에 대해 알아볼 예정이다.
이 논문에서는 이진확률수열의 무작위성을 확인하기 위한 검정통계량과 점근적 성질에 대해 알아보았다. 또한 모의실험을 통해 유의수준 5%와 1%에서의 검정의 크기와 검정력을 추정해 보았으며 1회부터 569회까지의 자료를 이용하여 로또 6/45의 각 번호에 대해 당첨번호에 포함여부의 수열을 유도하여 무작위적인지 아닌지를 검정해 보았다.

가설 설정

이 때 1이 추출될 확률이 6/45인 것처럼 이 논문에서는 π의 값을 알고 있다고 가정한다.
제안 방법에 대한 타당성을 보이기 위해 제안 검정통계량의 검정크기(test size)와 검정력에 대한 모의실험을 실시하였다. 이진확률수열을 생성하기 위해 아래와 같은 결합분포를 따른다고 가정하였다.

제안 방법

제안 방법에 대한 타당성을 보이기 위해 제안 검정통계량의 검정크기(test size)와 검정력에 대한 모의실험을 실시하였다. 이진확률수열을 생성하기 위해 아래와 같은 결합분포를 따른다고 가정하였다.
이 논문에서는 이진확률수열의 무작위성을 확인하기 위한 검정통계량과 점근적 성질에 대해 알아보았다. 또한 모의실험을 통해 유의수준 5%와 1%에서의 검정의 크기와 검정력을 추정해 보았으며 1회부터 569회까지의 자료를 이용하여 로또 6/45의 각 번호에 대해 당첨번호에 포함여부의 수열을 유도하여 무작위적인지 아닌지를 검정해 보았다.

대상 데이터

모의실험은 R의 rbinom함수를 이용했으며 아래의 결과에 의하면 무작위성에 문제가 없는 것으로 나타났다. Table 3.

후속연구

이 논문에서는 π가 임의의 값을 가질 때에도 이진확률수열의 무작위성을 검정하기 위한 검정통계량을 제안하고 이 통계량의 점근적 성질에 대해 알아본다. 이 방법은 로또뿐만 아니라 각종 컴퓨터 프로그램에서 제공하는 난수의 무작위성 여부를 확인하는데 사용될 수 있다. Rukhin 등 (2010)에는 적합도검정, 연검정, 최대연길이 등 15가지의 난수검정방법이 제시되어 있으나 우리가 알아보고자 하는 형태를 가진 이진확률수열의 무작위성을 검정하는 방법을 제시하지 않고 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	로또 당첨번호에 대한 균일성 연구는 언제 연구되었나?	당첨번호에 대한 균일성(uniformity)이나 무작위성(randomness)에 대한 연구는 Genest 등 (2002), Helman (2005) 등에 의해 연구되었다. 특히 Johnson과 Klotz (1993)는 Lotto America Megabucks Lottery의 200회의 당첨번호를 사용하여 54개 각 번호가 당첨번호에 속할 확률을 최대가능도추정법을 통해 추정하고 이를 이용하여 균일성 검정을 실시하였다.
	로또 6/45는 어떤 사회적 기여를 하는가?	로또 6/45는 사회적으로 사행성, 한탕주의와 같은 많은 부작용도 낳았지만 저소득층이나 소외 계층을 위한 각종 복지사업이나 임대주택 건설 등 다양한 사업의 재원으로 사용되고 있다. 2002년 12월 7일 처음 추첨을 실시된 이후 현재까지 각종 사건과 이슈를 만들어 왔고 많은 사람들에게 인생역전이라는 환상을 주며 운영되고 있다.
	이진확률수열의 독립성은 어떻게 확인하는가?	이 번호가 어떤 회에서 추첨되었으면 1, 아니면 0이라고 표시하면 자료는 이진확률수열(binary random sequence) 구조를 가진다. 이러한 수열에서의 독립성은 연검정(run test)을 통해 확인할 수 있으나 연검정의 경우 1이 발생할 확률 π가 0.5일 때 사용된다. 이 논문에서는 π가 임의의 값을 가질 때에도 이진확률수열의 무작위성을 검정하기 위한 검정통계량을 제안하고 이 통계량의 점근적 성질에 대해 알아본다.

참고문헌 (7)

Coronel-Brizio, H. G., Hernandez-Montoya, A. R., Rapallo, F. and Scalas, E. (2008). Statistical auditing and randomness test of lotto $\kappa$ /N-type games, Phisica A: Statistical Mechanics and its Applications, 387, 6385-6390.

상세보기
Genest, C., Lockhart, R. A. and Stephens, M. A. (2002). ${\chi}^2$ and the lottery, Journal of the Royal Statistical Society: Series D, 51, 243-257.

상세보기
Helman, D. (2005). Combinatorial interdependence in lottery, Teaching Mathematics and its Applications, 24, 203-207.

상세보기
Johnson, R. A. and Klotz, J. (1993). Estimating hot numbers and testing uniformity for the lottery, Journal of the American Statistical Association, 88, 662-668.

상세보기
Kim, J. H. (2004). Are there hot numbers in the Lotto Korean lottery?, The Korean Communications in Statistics, 11, 413-418.

원문보기 상세보기
Lim, S. and Baek, J. (2009). Statistical randomness test for Korean lotto game, Journal of the Korean Data & Information Science Society, 20, 779-786.
Rukhin, A., Soto, J., Nechvatal, J., Smid, M., Barker, E., Leigh, S., Levenson, M., Vangel, M., Banks, D., Heckert, A., Dray, J. and Vo, S. (2010). A Statistical test suite for random and pseudorandom num- ber generators for cryptographic applications, NIST Special Publication 800-22 Revision 1a, NIST, Gaithersburg.

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