[논문]압전 수정진동자의 밀도법 기반 위상 최적설계

하윤도; 변태욱; 조선호

doi:10.7734/coseik.2014.27.2.63

압전 수정진동자의 밀도법 기반 위상 최적설계
Density-based Topology Design Optimization of Piezoelectric Crystal Resonators 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.27 no.2, 2014년, pp.63 - 70

하윤도 (군산대학교 조선공학과) , 변태욱 (호서대학교 Co-op 학부) , 조선호 (서울대학교 아이소-지오메트릭 최적설계 창의연구단)

초록
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본 논문에서는 압전 수정진동자의 설계민감도 해석 및 위상 최적설계 기법을 개발하였다. 압전 수정진동자는 가해지는 전하에 의해 두께방향 전단 변형하게 되거나, 혹은 그 반대방향으로 기계 변형에 의해 전기적 신호를 검출하게 된다. 엄밀한 두께방향 전단해석을 위해 두께방향으로 고차 보간을 하는 고차 민들린(Mindlin) 판 이론을 도입하였다. 압전 수정진동자에서 수정판은 부도체이기 때문에 전기적 신호를 검출하거나 전기적 신호에 의해 수정판을 기계적으로 진동시키기 위해 수정판의 상/하 표면에 얇은 전극경을 도포한다. 비록 전극경이 매우 얇기는 하지만 그 무게와 형상에 따라 진동자의 거동이 달라지기 때문에, 설계민감도 해석 및 위상 최적설계를 위한 설계변수는 전극경의 질량 밀도와 관계된다. 따라서 위상 최적설계 문제는 두께방향 전단 변형에너지를 최대화하는 최적의 전극경 분포를 구하도록 구성한다. 또한 보다 의미있는 설계안을 얻기 위해 전극경의 재료량과 면적에 제약조건을 부여한다. 두께방향 전단 주파수(고유치)와 상응하는 모드형상(고유벡터)에 대한 설계구배는 고유벡터 확장법을 이용한 해석적 설계민감도 해석법을 통해 매우 효율적이고 정확하게 계산될 수 있다. 수치예제를 통해 제안된 해석적 설계민감도가 유한차분 설계민감도와 비교하여 매우 효율적이고 정확하게 계산됨을 확인하였다. 또한 위상 최적설계를 통해 도출된 최적 전극경 설계가 모드형상과 두께방향 전단 변형에너지를 개선시킴을 확인하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Design sensitivity analysis and topology design optimization for a piezoelectric crystal resonator are developed. The piezoelectric crystal resonator is deformed mechanically when subjected to electric charge on the electrodes, or vice versa. The Mindlin plate theory with higher-order interpolations along thickness direction is employed for analyzing the thickness-shear vibrations of the crystal resonator. Thin electrode plates are masked on the top and bottom layers of the crystal plate in order to enforce to vibrate it or detect electric signals. Although the electrode is very thin, its weight and shape could change the performance of the resonators. Thus, the design variables are the bulk material densities corresponding to the mass of masking electrode plates. An optimization problem is formulated to find the optimal topology of electrodes, maximizing the thickness-shear contribution of strain energy at the desired motion and restricting the allowable volume and area of masking plates. The necessary design gradients for the thickness-shear frequency(eigenvalue) and the corresponding mode shape(eigenvector) are computed very efficiently and accurately using the analytical design sensitivity analysis method using the eigenvector expansion concept. Through some demonstrative numerical examples, the design sensitivity analysis method is verified to be very efficient and accurate by comparing with the finite difference method. It is also observed that the optimal electrode design yields an improved mode shape and thickness-shear energy.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

현재까지는 전극경 형상을 정하기 위해 설계자의 경험과 실험값들에만 의존하고 있기 때문에 적절한 형상을 얻기가 용이하지 않았다. 따라서 본 연구에서는 수정진동자에 대하여 위상 최적설계 기법을 적용하여 최적의 전극경 형상을 찾아내는 방법을 제안하고자 한다.
본 연구에서는 압전 수정진동자의 성능 향상을 위한 전극 경의 최적배치를 찾기 위해 위상 최적설계 기법을 개발하였다. 설계변수는 전극경의 질량 밀도와 관계되어 있으며, 수정판의 상/하 표면에 대칭으로 도포되는 전극경의 특성을 이용하여 한 면의 전극경 영역만 설계영역으로 설정하고 다른 한면은 설계영역에 따라 변화하도록 설정하였다.
위상 최적설계 문제는 필연적으로 매우 많은 수의 설계 변수를 가지고 있기 때문에 효율적인 설계민감도 해석이 필수적이다. 본 연구에서는 연속체에 기반한 설계민감도 해석을 통해 고유치 및 고유벡터의 설계구배를 효율적이고 정확하게 계산한다. 계산된 설계민감도를 위상 최적설계의 목적함수 및 제약조건의 설계민감도를 구하는데 사용함으로써 매우 효율적인 위상 최적설계가 가능하게 하였다.
두 방정식은 압전 재료에 대한 구성방정식을 통해 연성되며 고유치 해석을 통해 두께방향 전단모드 주파수(고유치) 및 거동(고유벡터) 등을 산출한다. 압전 수정진동자의 수치 해석기법을 위상 최적설계 기법과 결합하여 최적의 기계적, 전기적 성능을 발휘하는 압전 수정진동자의 전극경 형상을 얻고자 한다. 위상 최적설계 문제는 필연적으로 매우 많은 수의 설계 변수를 가지고 있기 때문에 효율적인 설계민감도 해석이 필수적이다.

제안 방법

또한 유도된 설계민감도를 위상 최적 설계에 적용하였다. AT-컷 쿼츠 수정판의 두께 방향 전단 변형을 엄밀하게 구현하기 위해서 두께방향으로 고차 형상함수를 사용하는 고차 민들린 판 이론을 도입하였다. 수치 예제를 통해서 위상 최적설계를 통해 설계주파수를 변경하지 않으면서 전단변형 모드가 보다 명확하게 나올 수 있는 결과를 제시할 수 있음을 확인하였다.
본 연구에서는 연속체에 기반한 설계민감도 해석을 통해 고유치 및 고유벡터의 설계구배를 효율적이고 정확하게 계산한다. 계산된 설계민감도를 위상 최적설계의 목적함수 및 제약조건의 설계민감도를 구하는데 사용함으로써 매우 효율적인 위상 최적설계가 가능하게 하였다.
고차 민들린(Mindlin) 판이론에 기반한 유한요소법을 통해 압전 수정진동자의 자유진동 거동을 해석하였다. 압전 수정진동자는 얇은 판이면서 두께방향의 전단변형을 해석하기 때문에 두께방향으로는 고차 형상함수를 사용하는 고차 민들린 판이론(Mindlin, 1984)을 도입하였다.
15%정도의 계산시간만 필요하고 매우 정확하게 계산됨을 확인하였다. 또한 유도된 설계민감도를 위상 최적 설계에 적용하였다. AT-컷 쿼츠 수정판의 두께 방향 전단 변형을 엄밀하게 구현하기 위해서 두께방향으로 고차 형상함수를 사용하는 고차 민들린 판 이론을 도입하였다.
본 논문의 2장에서는 고차 민들린 판 이론을 도입하여 압전 수정진동자의 고유치 해석 문제를 구성한다. 또한 전극경의 영향을 해석 이론에 포함시키도록 고유치 해석 문제를 수정한다. 3장에서는 목적함수의 설계 구배를 계산하기 위해 고유치와 고유벡터의 설계민감도 해석을 한다.
여기서, ψ, u는 각각 전단 변형에너지와 정규 재료밀도 함수를 뜻한다. 또한 첫번째 제약조건은 전극경에 의해 발생하는 부가질량이 전단변형을 구속하기 때문에 최저 사용 재료량 V₀과 최저 집중 사용재료량 V₁을 부여해서 전극경 형상을 유지하도록 하였다. 여기서 정규 재료밀도 값의 기준은 형상을 유지할 수 있도록 경험적으로 0.
본 연구에서는 압전 수정진동자의 성능 향상을 위한 전극 경의 최적배치를 찾기 위해 위상 최적설계 기법을 개발하였다. 설계변수는 전극경의 질량 밀도와 관계되어 있으며, 수정판의 상/하 표면에 대칭으로 도포되는 전극경의 특성을 이용하여 한 면의 전극경 영역만 설계영역으로 설정하고 다른 한면은 설계영역에 따라 변화하도록 설정하였다. 연속체 기반의 설계민감도 해석을 통해 고유치와 고유벡터의 설계변수에 대한 구배를 엄밀하고 효율적으로 계산할 수 있었다.
성능함수는 위상 최적설계의 목적함수와 동일하게 전단 변형에너지 ψ로 하였다.
3장에서는 목적함수의 설계 구배를 계산하기 위해 고유치와 고유벡터의 설계민감도 해석을 한다. 엄밀하고 효율적인 설계민감도 해석을 위해 연속체에 기반한 해석적 설계민감도 해석법을 제안한다. 소개된 고유치 해석 및 설계민감도 해석과 결합하여 4장에서는 위상 최적설계 문제를 정식화한다.
위상 최적설계에 의한 성능개선 효과를 확인하기 위해 모델 B에 대해서 모드 형상과 고유진동수, 전단 변형에너지를 Fig. 7에서 비교하였다. 초기 재료분포에서의 모드형상보다 위상 최적설계 후의 모드형상이 전단변형을 좀 더 구체적으로 나타내고 있음을 확인할 수 있다.
µm로 설정하였다. 일반적으로 전극경은 수정판의 상/하 표면에 대칭적으로 마스킹되기 때문에 본 연구에서는 한 면의 전극경만을 독립적인 설계영역으로 취급하고 다른 한 면은 설계영역에 나타나는 분포와 대칭적으로 전극경을 분포시키도록 설정하였다.

대상 데이터

사용된 전극경은 은(Ag, silver)이며, 두께(2t)는 10^-4 µm이다. 모델은 100개의 고차 민들린판 요소로 구성되어 있다. 설계변수는 전극경의 밀도와 연관이 되는 각 요소의 정규 재료밀도 함수 u이며, Fig.
사용된 전극경은 은(Ag, silver)이며, 두께(2t)는 10-4 µm이다.

데이터처리

설계민감도 식 (50)의 정확성 및 효율성을 알아보자. 설계 민감도가 정확하게 구해졌는지 확인하기 위해서, 유한차분법을 이용하여 검증한다. Fig.

이론/모형

이때 수정판은 그 형태와 잘린 방향에 따라 다양한 타입이 존재한다. 본 연구에서는 고차진 동인 두께방향 전단 진동(Thickness Shear Vibration)에 적합한 AT-컷 쿼츠(AT-cut Quartz) 수정판(Bottom, 1982) 을 사용한다. At-컷 쿼츠 압전 수정진동자는 원하는 설계주파수 에서 두께방향 전단 진동 모드(Thickness Shear Vibration Mode)를 통해 요구되는 전기적 신호를 발생시켜야 한다.
고차 민들린(Mindlin) 판이론에 기반한 유한요소법을 통해 압전 수정진동자의 자유진동 거동을 해석하였다. 압전 수정진동자는 얇은 판이면서 두께방향의 전단변형을 해석하기 때문에 두께방향으로는 고차 형상함수를 사용하는 고차 민들린 판이론(Mindlin, 1984)을 도입하였다. 압전 수정진동자의 지배방정식은 기계적 운동방정식과 정전기적 전하방정식으로 구성된다.

성능/효과

수치 예제를 통해서 위상 최적설계를 통해 설계주파수를 변경하지 않으면서 전단변형 모드가 보다 명확하게 나올 수 있는 결과를 제시할 수 있음을 확인하였다. 또한 설계영역에 따라서 다양한 위상을 얻을 수 있음을 알 수 있었다.
고유진동수는 설계주파수에 해당하는 것으로 위상 최적설계에 의한 변화가 거의 없어야 하므로 타당한 방향임을 알 수 있다. 또한 전단 변형에너지의 절대 적인 증가량은 작아 보이지만, 설계주파수에 해당하는 모드 자체가 전단변형이고, 전체 변형에너지의 86.3%를 차지하던 전단 변형에너지가 위상 최적설계 후에는 88.9%로 증가한 것이므로 실제 성능개선은 상당한 것으로 볼 수 있다.
유한 차분법의 결과와 거의 일치함을 알 수 있다. 또한 전체 설계 변수에 대한 설계민감도를 구하는데 유한차분법은 약 8883.2 초가 걸린 반면, 해석적인 방법은 약 0.15%정도인 13.7초가 소요되어 매우 효율적이며 정확함을 알 수 있다(Xeon CPU 2.4GHz, 2GB RAM 기준).
AT-컷 쿼츠 수정판의 두께 방향 전단 변형을 엄밀하게 구현하기 위해서 두께방향으로 고차 형상함수를 사용하는 고차 민들린 판 이론을 도입하였다. 수치 예제를 통해서 위상 최적설계를 통해 설계주파수를 변경하지 않으면서 전단변형 모드가 보다 명확하게 나올 수 있는 결과를 제시할 수 있음을 확인하였다. 또한 설계영역에 따라서 다양한 위상을 얻을 수 있음을 알 수 있었다.
연속체 기반의 설계민감도 해석을 통해 고유치와 고유벡터의 설계변수에 대한 구배를 엄밀하고 효율적으로 계산할 수 있었다. 연속체 기반 설계민감도 해석은 유한차분법을 통한 민감도 해석에 비해 약 0.15%정도의 계산시간만 필요하고 매우 정확하게 계산됨을 확인하였다. 또한 유도된 설계민감도를 위상 최적 설계에 적용하였다.
설계변수는 전극경의 질량 밀도와 관계되어 있으며, 수정판의 상/하 표면에 대칭으로 도포되는 전극경의 특성을 이용하여 한 면의 전극경 영역만 설계영역으로 설정하고 다른 한면은 설계영역에 따라 변화하도록 설정하였다. 연속체 기반의 설계민감도 해석을 통해 고유치와 고유벡터의 설계변수에 대한 구배를 엄밀하고 효율적으로 계산할 수 있었다. 연속체 기반 설계민감도 해석은 유한차분법을 통한 민감도 해석에 비해 약 0.
7에서 비교하였다. 초기 재료분포에서의 모드형상보다 위상 최적설계 후의 모드형상이 전단변형을 좀 더 구체적으로 나타내고 있음을 확인할 수 있다. 고유진동수는 0.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	압전 수정진동자의 두 가지 효과는?	압전 수정진동자에는 두가지 압전 효과가 발생된다. 첫번째는 직접적인 압전 효과 (Direct Piezoelectric Effect; Cady, 1946)로서 전극경을 통해 전하가 가해졌을 때 수정이 기계적으로 변형하는 것을 말한다. 두번째는 반대로 수정이 강제적으로 진동하면 전극경 사이에 전기장이 발생하는 효과이다. 가장 간단한 형태의 압전 진동자는 하나의 수정판과 수정판 양면에 동일한 모양으로 도금되는 전극경이다. 이때 수정판은 그 형태와 잘린 방향에 따라 다양한 타입이 존재한다. 본 연구에서는 고차진 동인 두께방향 전단 진동(Thickness Shear Vibration)에 적합한 AT-컷 쿼츠(AT-cut Quartz) 수정판(Bottom, 1982) 을 사용한다.
	압전 수정진동자는 무엇으로 구성되는가?	압전 수정진동자(Piezoelectric Crystal Resonator)는 압전 수정(Piezoelectric Crystal)과 수정 표면에 도금되는 전극경(Electrode)으로 구성된다. 압전 수정진동자에는 두가지 압전 효과가 발생된다.
	At-컷 쿼츠 압전 수정진동자는 무엇을 통해 요구되는 전기적 신호를 발생시켜야 하는가?	본 연구에서는 고차진 동인 두께방향 전단 진동(Thickness Shear Vibration)에 적합한 AT-컷 쿼츠(AT-cut Quartz) 수정판(Bottom, 1982) 을 사용한다. At-컷 쿼츠 압전 수정진동자는 원하는 설계주파수 에서 두께방향 전단 진동 모드(Thickness Shear Vibration Mode)를 통해 요구되는 전기적 신호를 발생시켜야 한다. 그러나 압전 수정판은 부도체이므로 전기적 신호를 얻기 위해서 수정판의 양면에 동일한 모양으로 얇은 층의 전극경을 도금한다.

참고문헌 (9)

Bottom, V.E. (1982) Introduction to Quartz Crystal unit Design, Van Nostrand Reinhold Co., New Work.
Cady, W.G. (1946) Piezoelectricity, McGraw-Hill, New Work.
Lee, P.C.Y., Syngellakis, S., Hou, J.P. (1987) A Two-dimensional Theory for High-frequency Vibrations of Piezoelectric Crystal Plates with or Without Electrodes, Journal of Applied Physics, 61(4), pp.1249-1262.

상세보기
Mindlin, R.D. (1963) High Frequency Vibrations of Plated, Crystal Plates, Progress in Applied Mechanics, Macmillan, New York, pp.73-84.
Mindlin, R.D. (1984) Frequencies of Piezoelectrically Forced Vibrations of Electroded, Doubly Rotated, Quarz Plates, International Journal of Solids and Structures, 20(2), pp.141-157.

상세보기
Nelson, R.B. (1986) Simplified Calculation of Eigenvector Derivative, AIAA Journal, 14(9), pp.823-832.
Tiersten, H.F. (1969) Linear Piezoelectic Plate Vibrations, Plenum Press, New York.
Wang, J., Yong, Y.K., Imai, T. (1999) Finite Element Analysis of Piezoelectric Vibrations of Quartz Plate Resonators with Higher-order Plate Theory, International Journal of Solids and Structures, 36, pp.2303-2319.

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Kim, M.-G., Kim, J.-H., Cho, S. (2010) Topology Design Optimization of Heat Conduction Problems using Adjoint Sensitivity Analysis Method, Computational Structural Engineering Institute of Korea, 23(6), pp.683-691.

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