[논문]밀도법 기반 위상 최적설계의 실험적 검증

차송현; 이승욱; 조선호

doi:10.7734/coseik.2013.26.4.241

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본 논문에서는 밀도법 기반 위상 최적설계를 통해 얻어진 수치 결과를 바탕으로 CAD 모델을 구성하고 이를 3차원 프린터로 제작하여 실험적으로 최적설계를 검증하였다. 위상 최적설계 과정에서는 체커보드(Checkerboard) 현상이나 잔가지가 종종 나타나는데, 이는 최적설계 구조물을 실제로 제작함에 있어서 어려움을 준다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 민감도 필터링과 모폴로지 기법을 사용하였다. 엄밀한 검증을 위하여 수치 모델과 실험 모델의 부피율을 일치시켰다. 위상 최적설계를 포함한 다양한 설계에 대하여 실험을 통해 비교하여 최적설계 구조물이 가장 높은 강성을 가지고 있음을 확인하였으며 컴플라이언스에 대한 실험결과는 수치해석 값과 잘 일치함을 확인하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

From the numerical results of density-based topology design optimization, a CAD geometric model is constructed and fabricated using 3D printer to experimentally validate the optimal design. In the process of topology design optimization, we often experience checkerboard phenomenon and complicated br...

From the numerical results of density-based topology design optimization, a CAD geometric model is constructed and fabricated using 3D printer to experimentally validate the optimal design. In the process of topology design optimization, we often experience checkerboard phenomenon and complicated branches, which could result in the manufacturing difficulty of the obtained optimal design. Sensitivity filtering and morphology methods are used to resolve the aforementioned issues. Identical volume fraction is used in both numerical and experimental models for precise validation. Through the experimental comparison of stiffness in various designs including the optimal design, it turns out that the optimal design has the highest stiffness and the experimental result of compliance matches very well with the numerical one.

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문제 정의

본 논문에서는 밀도법 기반 위상 최적설계를 통해 얻어진 수치 결과를 CAD 정보로 변환하고 이를 3차원 프린터로 제작하여 최적설계의 타당성을 실험적으로 검증하였다. 위상 최적설계에서 얻어진 최적설계 구조물과 동일한 부피를 가지는 대조군을 설정하였고, 각 구조물의 강성을 실험을 통해 비교하여 최적설계 구조물이 가장 높은 강성을 가지고 있음을 알 수 있었고 위상 최적설계에서 목적함수인 컴플라이언스에 대한 최적설계 구조물의 실험값과 수치해석 값이 잘 일치함을 확인하였다.

가설 설정

따라서 수치해석과 실험값의 유의미한 비교를 위해 완성된 CAD 정보의 부피율이 수치해석 결과의 부피율과 일치하도록 부피 제약조건을 조정하여 수치해석을 다시 수행하였다. 이 과정에서 CAD 모델로 변환될 때와 부피율을 증가시킬 때 모두 구조물의 두께만 두꺼워지기 때문에 그 두 형상이 같다고 가정하였다. 최적설계 구조물의 제작에 사용된 3차원 프린터는 Fig.

제안 방법

구조물 제작에 사용되는 재료의 물성치가 필요하기 때문에 3차원 프린터를 이용하여 Fig. 14와 같이 시편을 제작하여 인장실험을 통해 영률을 측정하였다. Fig.
점 정보를 CAD 정보로 변환하는 과정에서 부피가 증가하는데 이로 인하여 실험에 사용하는 구조물의 부피율과 ‘모폴로지’ 까지 수행한 수치해석 결과의 부피율이 일치하지 않는다. 따라서 수치해석과 실험값의 유의미한 비교를 위해 완성된 CAD 정보의 부피율이 수치해석 결과의 부피율과 일치하도록 부피 제약조건을 조정하여 수치해석을 다시 수행하였다. 이 과정에서 CAD 모델로 변환될 때와 부피율을 증가시킬 때 모두 구조물의 두께만 두꺼워지기 때문에 그 두 형상이 같다고 가정하였다.
, 2003)을 이용하여 개선하였다. 또한 위상 최적설계 구조물과 동일한 부피를 갖는 대조군을 설정한 후, 동일한 조건 하에서 비교함으로써 위상 최적설계 결과의 타당성을 실험적으로 확인하였다.
지금까지 수치적 위상 최적설계 기법은 여러 가지로 개발되어 있으나 실제 실험적으로 검증한 경우는 극히 드물었다. 본 논문에서는 선형 탄성체 문제에 대해 에조인 변수법을 활용하여 밀도법 기반(Density method)의 위상 최적설계를 수행하였고, 그 결과를 CAD 모델로 변환하여 3차원 프린터로 실험 모델을 제작하였다. 최적설계 결과를 제작할 때 위상설계 과정 중 나타날 수 있는 체커보드(Checkerboard)현상이나 잔가지(Branch)는 민감도 필터링(Sensitivity Filtering) 기법을 활용하여 제거하였으며, 밀도법 기반 위상 최적설계에서 나타나는 암시적 경계는 모폴로지(Morphology) 기법(Lee et al.
본 논문의 수치해석은 선형 탄성조건을 가정하고 있기 때문에 실험에서도 이를 만족시켜야 하므로 최적형상과 크기가 유사한 단순보에 충분히 큰 힘을 가하면서 선형 구간을 확인하였다. 그 결과 Fig.
일시적으로 평평한 부분이 발생하고, 시작점이 일정하지 않기 때문에 정확한 컴플라이언스를 구하기 위해서는 Fig. 18과 같이 그래프의 기울기가 일정한 구간에서 연장선을 그어 보다 정확한 변위를 구하였다. 실험 횟수는 16번으로 하고, 상한 3개와 하한 3개를 제외한 10개의 결과를 사용한 평균을 실험값으로 정하였다.
선형 탄성구간임에도 불구하고, 데이터를 측정하기 시작하는 초기하중을 10N으로 설정했을 때, 모든 데이터에서 일시적으로 평평한 구간이 발생하였다. 제작한 최적 형상의 표면이 균질하지 않고, 힘을 가하는 지그가 안정적으로 접촉하기 전까지 다소 변동이 있을 수 있으므로 초기하중을 50N 정도로 설정하고 실험값을 측정하였다.

대상 데이터

Fig. 10은 수치해석과 실험을 수행하기 위한 예제를 나타낸 것으로, 길이 L은 18cm, 높이 H는 3cm, 두께는 1.5cm, 하중 P는 300N이며 해석에 사용된 요소는 L방향으로 360개, H방향으로 60개로 총 21,600개이다.

데이터처리

18과 같이 그래프의 기울기가 일정한 구간에서 연장선을 그어 보다 정확한 변위를 구하였다. 실험 횟수는 16번으로 하고, 상한 3개와 하한 3개를 제외한 10개의 결과를 사용한 평균을 실험값으로 정하였다.

이론/모형

식 (9)는 구조물이 정적 평형상태를 유지하고 있다는 제약조건이다. 설계변수인 재료분포는 다음과 같이 SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization) 방법을 이용하여, 각 요소에 대한 상대 재료밀도와 재료 물성치로 표현할 수 있다.
본 논문에서는 선형 탄성체 문제에 대해 에조인 변수법을 활용하여 밀도법 기반(Density method)의 위상 최적설계를 수행하였고, 그 결과를 CAD 모델로 변환하여 3차원 프린터로 실험 모델을 제작하였다. 최적설계 결과를 제작할 때 위상설계 과정 중 나타날 수 있는 체커보드(Checkerboard)현상이나 잔가지(Branch)는 민감도 필터링(Sensitivity Filtering) 기법을 활용하여 제거하였으며, 밀도법 기반 위상 최적설계에서 나타나는 암시적 경계는 모폴로지(Morphology) 기법(Lee et al., 2003)을 이용하여 개선하였다. 또한 위상 최적설계 구조물과 동일한 부피를 갖는 대조군을 설정한 후, 동일한 조건 하에서 비교함으로써 위상 최적설계 결과의 타당성을 실험적으로 확인하였다.
최종적으로 얻은 재료 밀도 정보를 이용하여 Robert McNeel & Associates에서 만든 상용 소프트웨어인 Rhinoceros를 사용하여 점 정보를 CAD 모델로 변환시킨다.

성능/효과

대조군보다 최적설계 결과의 컴플라이언스가 작기 때문에 본 논문에서 수행한 위상 최적설계는 유효함을 알 수 있다. 그리고 수치해석 값과 실험값의 일치율이 95% 이상으로 매우 높고 최적설계 결과의 일치율과 대조군의 일치율이 거의 같으므로 실험으로 신뢰할 만한 값을 얻었음을 알 수 있다.
대조군보다 최적설계 결과의 컴플라이언스가 작기 때문에 본 논문에서 수행한 위상 최적설계는 유효함을 알 수 있다. 그리고 수치해석 값과 실험값의 일치율이 95% 이상으로 매우 높고 최적설계 결과의 일치율과 대조군의 일치율이 거의 같으므로 실험으로 신뢰할 만한 값을 얻었음을 알 수 있다.
최적설계에 대하여 수치해석과 실험에서 구한 컴플라이언스는 Table 2와 같으며 약 95%의 일치율을 보였다. 또한 동일한 부피율을 갖는 대조군에 대하여 수치해석과 실험을 수행하였으며 대조군의 컴플라이언스도 약 96%의 높은 일치율을 보였다.
본 논문에서는 밀도법 기반 위상 최적설계를 통해 얻어진 수치 결과를 CAD 정보로 변환하고 이를 3차원 프린터로 제작하여 최적설계의 타당성을 실험적으로 검증하였다. 위상 최적설계에서 얻어진 최적설계 구조물과 동일한 부피를 가지는 대조군을 설정하였고, 각 구조물의 강성을 실험을 통해 비교하여 최적설계 구조물이 가장 높은 강성을 가지고 있음을 알 수 있었고 위상 최적설계에서 목적함수인 컴플라이언스에 대한 최적설계 구조물의 실험값과 수치해석 값이 잘 일치함을 확인하였다. 따라서 수치적인 최적설계가 실제 실험에서도 유효함이 입증되었으므로 수치 최적설계의 타당성에 대한 실험적 근거를 마련하였다고 할 수 있다.
최종적으로 실제로 제작한 구조물의 부피율은 68.6%이다. 최적설계에 대하여 수치해석과 실험에서 구한 컴플라이언스는 Table 2와 같으며 약 95%의 일치율을 보였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	위상 최적설계는 무엇인가?	위상 최적설계는 재료 물성치에 대한 설계민감도와 수학적 최적화를 결합하여 주어진 재료량 제한조건 하에 최적의 재료분포를 찾는 설계기법이다. 1988년 Bendsøe와 Kikuchi가 균질화(Homogenization) 기법에 위상 최적화 방법을 도입하여 사용한 이후, 많은 위상 최적화 방법은 선형 및 비선형 구조문제(Cho et al.
	위상 최적설계 문제에서 호율적으로 설계 민감도를 얻을 수 있는 방법이 요구되는 이유는?	, 2003)를 해결하는 방법으로 개발되어 왔다. 일반적으로 위상 최적설계 문제는 많은 설계변수를 포함하기 때문에 효율적으로 설계민감도를 얻을 수 있는 방법이 요구된다. 여러 설계민감도 해석기법 중 연속체 기반 에조인 변수법(Adjoint variable method: Haug et al.
	밀도법 기반 위상 최적설계를 통해 얻어진 수치 결과를 CAD 정보로 변환하고 이를 3차원 프린터로 제작하여 최적설계의 타당성을 실험적으로 검증한 결과, 무엇을 확인할 수 있었는가?	본 논문에서는 밀도법 기반 위상 최적설계를 통해 얻어진 수치 결과를 CAD 정보로 변환하고 이를 3차원 프린터로 제작하여 최적설계의 타당성을 실험적으로 검증하였다. 위상 최적설계에서 얻어진 최적설계 구조물과 동일한 부피를 가지는 대조군을 설정하였고, 각 구조물의 강성을 실험을 통해 비교하여 최적설계 구조물이 가장 높은 강성을 가지고 있음을 알 수 있었고 위상 최적설계에서 목적함수인 컴플라이언스에 대한 최적설계 구조물의 실험값과 수치해석 값이 잘 일치함을 확인하였다. 따라서 수치적인 최적설계가 실제 실험에서도 유효함이 입증되었으므로 수치 최적설계의 타당성에 대한 실험적 근거를 마련하였다고 할 수 있다.

참고문헌 (9)

Bendoe, M.P., Kikuchi, N. (1988) Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 71, pp.197-224.

상세보기
Bendsoe, M.P., Sigmund, O. (2002) Topology Optimization; Theory, Methods and Applications, Springer, New York.
Cho, S., Jung, H. (2003) Design Sensitivity Analysis and Topology Optimization of Displacement-loaded Nonlinear Structures, Journal of Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192, pp.2539-2553.

상세보기
Haug, E.J., Choi, K.K., Komkov, V. (1986) Design Sensitivity Analysis of Structural Systems, Academic Press, New York.
Kim, M.-G., Kim, J.-H., Cho, S. (2010) Topology Design Optimization of Heat Conduction Problems using Adjoint Sensitivity Analysis Method, Journal of Computational Structural Engineering, 23(6), pp.683-691.
Lee, D.H., Min, S.J. (2003) CAD Model Construction Using Topology Image, Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers A, 27(11), pp.1925-1932.

원문보기 상세보기
Sigmund, O. (1997) On the Design of Compliant Mechanisms Using Topology Optimization, Mech. Struct. & Mach. 25(4), pp.493-524.

상세보기
Sigmund, O., Peterson, J. (1998) Numerical Instabilities in Topology Optimization: A Survey on Procedures Dealing with Checkerboards, Meshdependencies and Local Minima, Structural Optimization, 16, pp.68-75.

상세보기
Sigmund, O. (2001) A 99 line Topology Optimization Code Written in Matlab, Struct Multidisc Optim, 21, pp.120-127.

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