[논문]기하학적 모델을 이용한 장, 단3화음의 수학적 구조 연구

문준희; 박종률

doi:10.7468/jksmee.2014.28.2.219

기하학적 모델을 이용한 장, 단3화음의 수학적 구조 연구
A Study on Mathematical Structures of Major and Minor Triads using Geometrical Model 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.28 no.2, 2014년, pp.219 - 234

문준희 (광주과학고등학교) , 박종률 (전남대학교)

초록
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음악과 수학은 구조적인 유사성이 많다. 음악에서 중요하게 사용하는 장,단3화음은 서로 음정의 순서가 뒤바뀐 전회(Inversion)관계가 되는데 이는 수학적으로 반사(reflection)에 해당한다. 기하학적인 표현은 수학에서뿐만 아니라 음악에서도 그 구조를 이해하는데 도움이 되는데 음악에서 조성관계를 나타낸 도표를 톤네츠(Tonnetz)라고 한다. 톤네츠를 활용하면 장,단3화음의 반사 관계를 쉽게 파악할 수 있고 또한 이도(transposition)를 평행이동(translation)으로 나타낼 수 있다. 본 연구에서는 기존의 톤네츠를 살펴보고 수학적 원리로 새롭게 구성한 S-Tonnetz를 소개한다.

Abstract ▼ AI-Helper

Music and mathematics have a lot of structural similarities. Major and minor triads used importantly in music are in a relationship of inversion in which the sequence of the intervals is reversed, which is equivalent to reflection in mathematics. Geometrical expressions help understand structures in music as well as mathematics, and a diagram that shows tonal relationships in music is called Tonnetz. Relationships of reflection between major and minor triads can easily be understood by using Tonnetz, and also, transpositions can be expressed in translation. This study looks into existing Tonnetz and introduces S-Tonnetz newly formed by a mathematical principle.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

따라서 본 연구에서는 음악과 수학의 통합 교수학습에 대한 기초 자료로서 수학적으로 분석할 수 있는 음악의 구조에 대하여 살펴본 후 특히 장,단3화음을 설명할 수 있는 기하학적인 모델을 제시한다. 장,단3화음은 음악에서 중요하게 다루는 화음이며 그 구성이 서로 전회관계, 즉 수학에서의 반사관계를 이룬다는 특징이 있다.
4개의 음으로 이루어지는 화음의 경우 4차원으로 확장되므로 우리가 인식할 수 있는 범위를 넘어선다. 또한 주로 논의하게 될 장,단3화음의 경우에도 3차원 공간상의 점으로 나타나므로 기하학적 표현에 의해 음악의 구조를 쉽게 이해하려는 본 연구의 목표에는 부합하지 않는다. 음악에서의 성부진행을 분석하는 것은 연구의 목적을 벗어나므로 다음 장에서는 2차원 톤네츠에 기반한 기하학적 모델을 논의하도록 하겠다.
마지막으로 C장3화음의 각 음을 완전4도와 완전5도 음정만큼 올린 이도에 대하여 생각해 보자. 수학적으로 이도는 평행이동에 해당하는데 이를 쉽게 확인하기 위해 가로축으로의 평행이동으로 나타내면 다음 <그림Ⅳ-9>와 같다.
이때 수학에서의 연산과 비슷하게 음악에서는 OPTIC 연산이 있는데 이는 2008년 Science에 실린 Clifton Callendar, Ian Quinn, Dmitri Tymoczko의 ‘일반화된 성부진행 공간(Generalize Voice-Leading Space)’에서 등장한 개념이다(박정미, 2010). 본 연구에서는 Dmitri Tymoczko(2011)를 참고하여 OPTIC 연산을 살펴보고 수학에서 어떤 개념과 유사한지 비교하고자 한다.
본 연구에서는 음악의 구조를 수학적으로 표현해보고 특히 장,단3화음을 기하학적인 모델인 톤네츠를 사용하여 분석해 보았다. 음악은 수학과 밀접한 관계를 맺으며 발전해 왔고 따라서 음악과 수학을 통합하려는 시도는그 전개가 매우 자연스러우며 수학이 어떻게 활용될 수 있는지 다양한 분야에 걸쳐 확인해 볼 수 있다는 점에서 의의가 있다.
이때 평행이동을 시각적으로 간단히 나타내기 위해 단2도가 하나의 기본축이 되는 톤네츠를 생각해 볼 수 있다. 오일러 톤네츠를 활용하여 단2도를 가로축으로 갖는 새로운 톤네츠를 구성해 보고 이 톤네츠의 의의에 대하여 살펴보도록 하자.
또한 음악에서는 화음의 구조를 쉽게 이해할 수 있도록 기하학적인 모델인 톤네츠를 사용하는데 톤네츠를 통해 화음을 이루는 음들을 쉽게 찾을 수 있을 뿐만 아니라 장,단3화음의 반사 관계를 시각적으로 확인할 수 있다. 이 논문에서는 톤네츠의 구성원리를 수학적으로 살펴보고, 수학적으로 분석이 용이하도록 새롭게 구성한 톤네츠를 소개한다.
수학에서 뿐만 아니라 음악에서도 기하학적 표현은 음악의 구조 및 원리를 쉽게 이해하는데 도움이 된다. 장,단3화음의 기하학적 모델을 수학적으로 분석하기 전에 음악에서 사용하는 몇 가지 기하학적 표현의 예를 살펴보도록 하자.

제안 방법

이 장에서는 먼저 기본 두 축에 의하여 어떠한 축이 새롭게 만들어지는지 수학적으로 분석해 보도록 한다. 그 중 완전5도와 장3도를 기본 축으로 사용하는 오일러의 톤네츠를 바탕으로 살펴보도록 하겠다.
S-Tonnetz는 다른 톤네츠와 마찬가지로 각 화음을 기하학적으로 쉽게 파악할 수 있으며 특히 장,단3화음의 반사관계를 잘 드러내준다. 또한 12반음계의 가장 작은 단위인 반음 간격으로 가로축이 표현되므로 톤네츠를 만들기에 편리하고 각음정의 화살표 길이가 실제 음정의 크기와 유사하게 주어진다는 점에서 좀 더 적절한 시각적 표현을 제공한다.
본 연구에서는 장,단3화음의 기하학적 모델을 살펴보고 평행이동으로 음악의 이도를 표현할 것이므로 O,P,C 연산에 의한 동치류만 고려하도록 한다.
또한 주로 논의하게 될 장,단3화음의 경우에도 3차원 공간상의 점으로 나타나므로 기하학적 표현에 의해 음악의 구조를 쉽게 이해하려는 본 연구의 목표에는 부합하지 않는다. 음악에서의 성부진행을 분석하는 것은 연구의 목적을 벗어나므로 다음 장에서는 2차원 톤네츠에 기반한 기하학적 모델을 논의하도록 하겠다.
또한 [7]이 Z₁₂의 생성원이 되므로 완전5도만을 이용하여 모든 음계를 나타낸 피타고라스 음계의 타당성을 수학적으로 뒷받침 하였으며 O,P,C연산을 통해 실제 음악에서 다양하게 표현될 수 있는 화음을 화음 동치류로 간단히 나타낼 수 있음을 보았다. 이어서 음악의 구조를 쉽게 이해하기 위한 기하학적인 모델로서 2차원 톤네츠와 다차원 공간을 이용한 Dmitri Tymoczko의 기하학적 모델, 그리고 2차원 톤네츠에 각 음정의 크기를 고려한 P-Tonnetz에 대해 살펴보았다. 이러한 선행연구를 기반으로 하여 4장에서는 2차원 톤네츠를 수학적으로 분석해 보고 단2도를 축으로 갖는 새로운 톤네츠를 구성하였고 이를 S-Tonnetz라 하였다.

이론/모형

본 연구에서는 장,단3화음의 기하학적 모델을 살펴보기로 하였는데 Dmitri Tymoczko의 방법에 의하면 장,단3화음은 세 개의 음으로 구성된 화음(3화음, triad)이므로 3차원 공간에서의 점으로 나타난다.
이때 각 간격을 일정하게 하지 않고 세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5인 직각삼각형을 이용한 것으로 와 같은 기하학적 모델을 사용하였다.

후속연구

한 가지 제한점으로는 S-Tonnetz은 수학적인 관점에서 구성한 것이므로 이 톤네츠를 이용하여 실제 곡에서 사용된 다양한 화음을 분석하거나 효율적인 화음 진행을 이용하는 작곡에 응용할 때에는 그다지 실용적이지 않을 수 있다. 그러나 중등학교에서 장,단3화음이 어떤 음정으로 구성되었는지 이해하고 조옮김에 따른 장,단3화음의 구성음들을 쉽게 파악하는 수준으로는 충분히 활용 가능할 것이며 음악에서의 전회관계와 이도를 수학에서의 반사와 평행이동의 관점에서 생각할 수 있는 좋은 예가 될 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	오일러의 톤네츠는 무엇으로 이루어져 있는가?	오일러의 톤네츠는 완전5도와 장3도 2개의 축으로 이루어져 있다. [7]이 Z12를 생성하므로 완전5도를 한 축으로 하면 이 축 위에 모든 12음을 표현할 수 있어서 이러한 방식으로 만들어진 톤네츠는 수학적으로도 타당하며 또한 음악에서 중요한 음정인 완전5도, 장3도를 이용한다는 점에서 의미가 있다.
	Dmitry Tymoczko(2011)는 음악 구조의 기하학적 모델로 무엇을 제시하였나?	Dmitry Tymoczko(2011)는 기하학이 음악 구조를 모델링하는데 강력한 도구를 제공한다고 보았다. 특히 음악 구조의 기하학적 모델로 반음계(chromatic scale)1)에서의 각 음고(pitch)2)를 직선 위의 점으로 보는 음고 공간 (pitch space)과 원 위의 점으로 보는 음고류 공간(pitch-class space)을 제시하였는데 음고류 공간은 옥타브 차이가 나는 음을 모두 동등하게 보기 때문에 어떤 옥타브 위치인지 표시할 필요가 없다. 이때 각 옥타브 위치는 C4 , C5와 같이 숫자를 이용하여 나타내는데 ‘가온 다(middle C)’ 음은 C4이며 숫자가 하나씩 커질수록 한 옥타브 위 음이 된다.
	수학과 음악이 밀접한 관계가 있다는 것을 피타고라스의 기록에서 찾아보면?	특히 음악은 수학과 구조적 유사성이 많다. 고대 그리스의 피타고라스는 조화로운 화음을 간단한 정수비로 나타내었으며 또한 피타고라스 음계에서 콤마(comma)의 존재에 대한 문제점을 무리수를 사용한 평균율을 통해 해결한 것이 하나의 예가 된다. 수학자 라이프니츠(G.

참고문헌 (12)

NCTM (2007). 학교수학을 위한 원리와 규준 (류희찬, 조완영, 이경화, 나귀수, 김남균, 방정숙 역). 경문사.
Cohn, R. (1997). Neo-Riemannian Operations, Parsimonious Trichords, and Their "Tonnetz" Representations. Journal of Music Theory, 41(1), 1-66.

상세보기
Tymoczko, D. (2011). A Geometry of Music. Oxford University Press.
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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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