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문제 정의
- 본 연구에서는 코퓰라(copula)를 이용하여 결합분포함수를 모델링하고, 베이지안(Bayesian)방법을 이용하여 데이터로부터 결합분포함수의 종류를 산정한다. 다양한 상관계수와 결합분포함수의 통계시뮬레이션을 통해 방법의 정확성을 검증하고, 다양한 신뢰성 해석 예제를 통해 데이터로부터 산정된 입력모델이 신뢰성 해석 결과에 미치는 영향을 연구하고자 한다.
제안 방법
- )와 지수(c)의 29셋의 실험데이터를 이용하여 통계모델링을 수행하고, 이를 이용하여 탄성효과와 소성효과가 동일하게 나타나는 천이 피로 수명을 확률적으로 예측하였다.
- 베이지안 방법은 주어진 샘플이 몇 가지 후보 함수 중 어떠한 copula 함수와 가장 적합한지를 선정하기 위해 사용되었다. 원리는 임의의 후보 함수에 대해 주어진 데이터와 입력 변수에 대해 알려진 부가적인 정보를 이용하여 각 후보 함수와 데이터가 적합하다는 가설을 확률로 계산하여 주어진 데이터와 가장 적합한 결합분포함수를 결정한다[2, 3].
- 베이지안 방법이 copula 함수를 얼마나 정확하게 선정하는지 알기 위해 다양한 상관계수(τ=0.2, 0.5, 0.7)와 샘플수(ns=30, 100, 300), copula 종류에 대해 통계 시뮬레이션을 수행하였다.
- 본 논문에서는 상관관계를 갖는 변수의 데이터로부터 결합분포함수를 결정하기 위해 copula를 이용하여 결합분포함수를 모델링 하였으며, 베이지안 방법을 이용하여 copula 종류를 결정하였다. 상관계수와 copula 종류, 샘플 수에 따른 통계시뮬레이션을 수행한 결과 적은 수의 데이터가 있는 경우에도 베이지안 방법은 실제 copula를 정확하게 산정하였다.
- 선정된 모델을 이용하여 피로 변형률 진폭에 기여하는 탄성효과와 소성효과가 동일할 경우의 피로수명인 천이피로수명을 예측해 보자. 아래 수식은 천이 피로 수명을 나타내는 수식이다[7].
대상 데이터
- 950X Steel의 경우 190∼210GPa의 영의계수를 가지므로 E=190GPa을 사용하였다.
- = 0 이다. N은 MCS의 샘플수이며, 본 논문에서는 100,000개의 샘플을 사용하였다.
데이터처리
- τ=0.2, 0.5, 0.7에 대해 10개의 copula로부터 샘플을 무작위로 추출하였으며 MCS(Monte Carol Simulation)을 이용하여 한계상태함수가 0보다 작은 경우에 대한 확률을 신뢰도로 계산하였다.
이론/모형
- copula형태에 따른 신뢰성 해석 결과 비교를 위해 아래와 같은 한계상태함수(limit state function)를 이용하였다.[5]
- 본 연구에서는 코퓰라(copula)를 이용하여 결합분포함수를 모델링하고, 베이지안(Bayesian)방법을 이용하여 데이터로부터 결합분포함수의 종류를 산정한다. 다양한 상관계수와 결합분포함수의 통계시뮬레이션을 통해 방법의 정확성을 검증하고, 다양한 신뢰성 해석 예제를 통해 데이터로부터 산정된 입력모델이 신뢰성 해석 결과에 미치는 영향을 연구하고자 한다.
- 피로강성계수와 지수, 연성계수와 지수의 데이터는 D.Socie의 피로기술노트[6]로부터 얻었으며, 베이지안방법을 이용하여 각 후보 copula에 대한 가중치를 계산하였다. 피로강성계수와 연성계수의 부분분포함수는 로그정규함수(lognormaldistribution)를, 피로강성지수와 연성지수는 정규함수(normaldistribution)을 따르는 것으로 알려져 있으며, 각 분포함수의 파라미터는 데이터로부터 직접 계산하였다.
성능/효과
- 피로강성계수와 연성계수의 부분분포함수는 로그정규함수(lognormaldistribution)를, 피로강성지수와 연성지수는 정규함수(normaldistribution)을 따르는 것으로 알려져 있으며, 각 분포함수의 파라미터는 데이터로부터 직접 계산하였다. 각각의 부분분포함수를 이용하여 각각의 후보 copula에 대한 가중치를 계산한 결과, 피로강성 계수와 지수의 결합분포함수로는 Gaussian copula, 피로연성계수와 지수의 결합분포함수로는 Frank copula가 선정되었다. 다른 후보에 대한 가중치는 모두 0에 가까우므로 Table2에서는 생략되었다.
- 상관계수와 copula 종류, 샘플 수에 따른 통계시뮬레이션을 수행한 결과 적은 수의 데이터가 있는 경우에도 베이지안 방법은 실제 copula를 정확하게 산정하였다. 간단한 수학예제와 공학예제의 신뢰성 해석을 통해 통계모델링의 오류가 신뢰성 해석에 미치는 영향을 관찰하였으며, 정확한 신뢰성 해석 결과를 얻기 위해서는 정확한 통계 모델링이 필요하다는 사실을 확인할 수 있었다. 본 연구의 결과는 극히 적은 수의 데이터를 갖는 랜덤변수의 통계모델링 기법 개발의 기초연구 자료로 이용될 예정이며, 향후 인지론적 불확실성을 갖는 신뢰성 해석문제에서 결과의 신뢰도를 보장할 수 있는 통계 모델링 기법을 연구할 예정이다.
- 만약 선정된 copula를 이용하여 계산한 경우 7,000과 8,000 사이클의 임계 피로 수명에 대해 0.878, 0.830의 신뢰도를 얻을 수 있지만, Gaussiancopula 대신 Frank copula를 적용할 경우 확률은 감소하며, 각각의 변수가 독립변수라고 가정할 경우(Independent copula)확률은 더욱더 감소한다. 만약 실제 피로강성계수와 지수의 결합분포함수가 선정된 Gaussian copula로 모델링할 수 있다면, 두 번째로 가중치가 높은 Frank를 사용할 경우 낮은 확률을 가지므로 더 보수적인 피로수명예측이 가능하며, 독립변수로 가정할 경우 피로수명은 지나치게 보수적인 결과를 가질 수 있다.
- 830의 신뢰도를 얻을 수 있지만, Gaussiancopula 대신 Frank copula를 적용할 경우 확률은 감소하며, 각각의 변수가 독립변수라고 가정할 경우(Independent copula)확률은 더욱더 감소한다. 만약 실제 피로강성계수와 지수의 결합분포함수가 선정된 Gaussian copula로 모델링할 수 있다면, 두 번째로 가중치가 높은 Frank를 사용할 경우 낮은 확률을 가지므로 더 보수적인 피로수명예측이 가능하며, 독립변수로 가정할 경우 피로수명은 지나치게 보수적인 결과를 가질 수 있다. 그러므로 정확한 피로수명예측을 위해서는 정확한 통계 모델링이 필요하다는 사실을 다시 한 번 확인할 수 있다.
- 본 논문에서는 상관관계를 갖는 변수의 데이터로부터 결합분포함수를 결정하기 위해 copula를 이용하여 결합분포함수를 모델링 하였으며, 베이지안 방법을 이용하여 copula 종류를 결정하였다. 상관계수와 copula 종류, 샘플 수에 따른 통계시뮬레이션을 수행한 결과 적은 수의 데이터가 있는 경우에도 베이지안 방법은 실제 copula를 정확하게 산정하였다. 간단한 수학예제와 공학예제의 신뢰성 해석을 통해 통계모델링의 오류가 신뢰성 해석에 미치는 영향을 관찰하였으며, 정확한 신뢰성 해석 결과를 얻기 위해서는 정확한 통계 모델링이 필요하다는 사실을 확인할 수 있었다.
- 반면 상관계수가 높은 경우 copula 종류에 따른 신뢰도 값의 차이가 크므로 정확한 copula 종류를 선정해야한다. 하지만 통계시뮬레이션 결과에서도 알 수 있듯이 높은 상관계수의 경우 적은 데이터 수에도 copula 종류 선정이 쉬우므로 실험데이터만 주어진다면 결합분포함수에 대한 정확한 통계 모델링 가능하며, 결과적으로 신뢰도 결과 역시 정확한 결과를 얻을 수 있다.
후속연구
- 간단한 수학예제와 공학예제의 신뢰성 해석을 통해 통계모델링의 오류가 신뢰성 해석에 미치는 영향을 관찰하였으며, 정확한 신뢰성 해석 결과를 얻기 위해서는 정확한 통계 모델링이 필요하다는 사실을 확인할 수 있었다. 본 연구의 결과는 극히 적은 수의 데이터를 갖는 랜덤변수의 통계모델링 기법 개발의 기초연구 자료로 이용될 예정이며, 향후 인지론적 불확실성을 갖는 신뢰성 해석문제에서 결과의 신뢰도를 보장할 수 있는 통계 모델링 기법을 연구할 예정이다.
- 하지만, 극히 적은 수의 샘플(20개 이하)의 경우 인지론적 불확실성(epistemic uncertainty)이 존재하므로 기존의 통계 모델링을 할 경우 통계모델을 선정하는데 어려움이 있다. 잘못된 통계모델이 선택될 경우, 신뢰성 해석 결과 역시 믿을 수 없으므로 향후 연구 계획은 인지론적 불확실성을 갖는 데이터로부터 신뢰도 있는 신뢰성 해석의 결과를 얻기 위한 통계모델링 기법 개발을 수행할 예정이다.
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