[논문]공간의존 파론도 게임의 협력 효과

이지연

doi:10.7465/jkdi.2014.25.4.745

공간의존 파론도 게임의 협력 효과
Cooperative effect in space-dependent Parrondo games 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.25 no.4, 2014년, pp.745 - 753

초록
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파론도 역설은 개별로는 지는 게임들이 결합하여 이기게 되거나 개별로는 이기는 게임들이 결합하여 지게 되는 역설적인 현상을 말한다. 여러 명의 게임자들이 둘러앉아 게임을 진행할 때, 임의로 선택된 게임자 본인의 과거 실적에 의해 승패 확률이 정해지는 경우와 게임자의 양옆에 있는 다른 게임자들의 실적에 의해 승패 확률이 정해지는 경우를 비교한다. 게임자들의 수와 승패 확률에 의해 계산되는 기대상금을 비교하여 협력에 의한 파론도 효과가 존재함을 확인한다.

Abstract ▼ AI-Helper

Parrondo paradox is the counter-intuitive situation where individually losing games can combine to win or individually winning games can combine to lose. In this paper, we compare the history-dependent Parrondo games and the space-dependent Parrondo games played cooperatively by the multiple players. We show that there is a probability region where the history-dependent Parrondo game is a losing game whereas the space-dependent Parrondo game is a winning game.

주제어

AI 본문요약
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* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

N명의 게임자들이 둘러앉아 공간의존 파론도 게임을 진행하는 경우를 살펴보자. Ethier와 Lee (2012)는 3 ≤ N ≤ 19에 대해 몇개의 특별한 확률값 (p₀, p₁, p₂, p₃)에 대해 시행당 기대상금을 계산하여 파론도 효과가 존재함을 확인하였다.

가설 설정

게임자 i의 직전의 두 번의 시행 결과가 패-패 (각각 패-승, 승-패, 승-승)이면 앞면이 나올 확률이 p₀ (각각 p₁, p₂, p₃)인 동전을 던진다. 다만, 첫 시행을 위한 직전 결과는 패-패, 패-승, 승-패, 승-승 중에서 동일한 확률 1/4로 하나를 정하는 것으로 가정한다. 공간의존 파론도게임 B₂에서는 임의로 선택된 게임자 i의 양옆 게임자 i − 1과 i + 1의 상태가 패-패이면 p₀ 동전을, 게임자 i − 1는 패, 게임자 i + 1는 승이면 p₁ 동전을, 게임자 i − 1는 승, 게임자 i + 1는 패이면 p₂ 동전을, 양옆 게임자 i − 1과 i + 1 모두 승이면 p₃ 동전을 사용한다.
즉, 양옆 게임자들의 상태에 따라 본인이 현재 시행에서 사용할 동전이 달라진다. 여기서도 첫 시행을 위한 상태는 패-패, 패-승, 승-패, 승-승 중에서 동일한 확률 1/4로 하나를 정하는 것으로 가정한다. 두 게임 모두, 게임자 i가 게임을 한 후 앞면이 나오면 1원을 얻어 승의 상태가 되고, 뒷면이 나오면 1원을 잃어 패의 상태가 되며, 이 상태는 게임자 i가 다시 게임을 하게 될 때까지 유지된다.

제안 방법

본 논문에서는 여러 명의 게임자들이 둘러앉아 함께 게임을 진행할 때, 임의로 선택된 게임자 본인의 직전 과거 2번의 시행 결과에 의해 승패 확률이 결정되는 과거의존 파론도 게임과 임의로 선택된 게임자의 양 옆에 있는 다른 게임자들의 최근 시행 결과에 의해 승패 확률이 결정되는 공간의존 파론도 게임을 비교한다. 각 경우에서 계산되는 기대상금을 통해, 여러 게임자들의 협력으로 진행되는 공간의존 파론도 게임의 기대상금은 양수로서 이기는 게임이 되는 반면에 홀로 진행되는 과거의존 파론도 게임의 기대 상금은 음수가 되어 지는 게임이 되는 승패 확률의 범위가 존재함을 확인한다.

성능/효과

본 논문에서는 여러 명의 게임자들이 둘러앉아 함께 게임을 진행할 때, 임의로 선택된 게임자 본인의 직전 과거 2번의 시행 결과에 의해 승패 확률이 결정되는 과거의존 파론도 게임과 임의로 선택된 게임자의 양 옆에 있는 다른 게임자들의 최근 시행 결과에 의해 승패 확률이 결정되는 공간의존 파론도 게임을 비교한다. 각 경우에서 계산되는 기대상금을 통해, 여러 게임자들의 협력으로 진행되는 공간의존 파론도 게임의 기대상금은 양수로서 이기는 게임이 되는 반면에 홀로 진행되는 과거의존 파론도 게임의 기대 상금은 음수가 되어 지는 게임이 되는 승패 확률의 범위가 존재함을 확인한다. 이로서 기존의 파론도 효과는 두 게임을 임의적으로 결합하거나 주기적으로 반복할 때 생겨났지만 이처럼 여러 게임자들의 협력에 의해 기존의 성향이 반대로 바뀌는 파론도 현상이 나타날 수 있음을 보임으로써 파론도 현상의 발생 범위를 확대하는 의미를 가진다.
Ethier와 Lee (2012)는 3 ≤ N ≤ 19에 대해 몇개의 특별한 확률값 (p₀, p₁, p₂, p₃)에 대해 시행당 기대상금을 계산하여 파론도 효과가 존재함을 확인하였다. 더불어 역 파론도 효과가 대칭적으로 존재함을 증명하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	파론도 역설은 무엇인가?	파론도 역설은 개별로는 지는 게임들이 결합하여 이기게 되거나 개별로는 이기는 게임들이 결합하여 지게 되는 역설적인 현상을 말한다. 여러 명의 게임자들이 둘러앉아 게임을 진행할 때, 임의로 선택된 게임자 본인의 과거 실적에 의해 승패 확률이 정해지는 경우와 게임자의 양옆에 있는 다른 게임자들의 실적에 의해 승패 확률이 정해지는 경우를 비교한다.
	파론도 역설은 어디에서 유래되었는가?	파론도 역설 (Parrondo paradox)는 스페인의 물리학자 파론도 (Juan M. R. Parrondo)가 소개한 동전 던지기 게임에서 유래하였다 (Parrondo, 1996). 게임 A는 앞면이 나올 확률이 #12 − ϵ인 동전을 던져서 앞면이 나오면 게임자는 1원을 얻고, 뒷면이 나오면 1원을 잃는다.
	파론도가 소개한 동전 던지기 게임은 누적 상금에 따라 동전이 결정되기 때문에 무엇이라고 불리는가?	파론도가 처음 제안한 게임은 게임자의 현재 누적 상금에 따라 게임 B의 동전이 결정되기 때문에 원금의존 파론도 게임 (capital-dependent Parrondo game)이라고 부른다. Parrondo 등 (2000)은 원금의존 파론도 게임을 변형하여 게임자의 과거 시행 결과에 따라 게임 B의 동전이 결정되는 과거의존 파론도 게임 (history-dependent Parrondo game)을 소개하였는데, 직전의 두 번의 시행 결과에 따라 현재 시행에서 사용될 동전이 결정되어 그 승패 확률이 정해지는 게임이다.

참고문헌 (10)

Cho, D. and Lee, J. (2012a). Parrondo paradox and stock investment. Korean Journal of Applied Statistics, 25, 543-552.

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Cho, D. and Lee, J. (2012b). Spatially dependent Parrondo games and stock investments. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 23, 867-880.

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Ethier, S. N. and Lee, J. (2009). Limit theorems for Parrondo's paradox. Electronic Journal of Probability, 14, 1827-1862.

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Ethier, S. N. and Lee, J. (2012). Parrondo games with spatial dependence. Fluctuation and Noise Letters, 11, 1250004.

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Harmer, G. P. and Abbott, D. (2002). A review of Parrondo's paradox. Fluctuation and Noise Letters, 2, R71-R107.

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Lee, J. (2009). Optimal strategies for collective Parrondo games. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 20, 973-982.
Lee, J. (2011). Paradox in collective history-dependent Parrondo games. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 22, 631-641.
Parrondo, J. M. R. (1996). How to cheat a bad mathematician? In the Workshop of the EEC HC&M Network on Complexity and Chaos, ISI, Torino, Italy.
Parrondo, J. M. R., Harmer, G. P. and Abbott, D. (2000). New paradoxical games based on Brownian ratchets. Physical Review Letters, 85, 5226-5229.

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Toral, R (2001). Cooperative Parrondo's games. Fluctuation and Noise Letters, 1, 7-12.

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