[논문]공간 극단값의 분계점 모형 사례 연구 - 한국 여름철 강수량

황승용; 최혜미

doi:10.5351/kjas.2014.27.4.655

초록
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폭염, 폭우와 가뭄 등과 같은 이상 기후 현상에 대한 적절한 대응이 최근 많이 요구되고 있다. 이상 기후 현상을 분석하기 위해 극단값 분석 기법을 적용할 수 있는데, 본 논문은에서는 한국의 여름철 강수량 자료(1973년부터 2012년까지의 5월부터 9월)를 분계점 초과값 모형으로 분석해보았다. 분계점은 한국의 기상관측소들을 5개의 군집으로 나누어, 각 군집별로 지리 정보와 시간을 공변량으로 하는 분위수 회귀 방법을 통하여 추정하였다. Northrop과 Jonathan (2011)과 같이 극단값들이 시공간적으로 독립이라고 가정하고 분석한 후, 추정오차와 검정 과정에 공간 종속성을 반영하였다.

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An adequate understanding and response to natural hazards such as heat wave, heavy rainfall and severe drought is required. We apply extreme value theory to analyze these abnormal weather phenomena. It is common for extremes in climatic data to be nonstationary in space and time. In this paper, we a...

An adequate understanding and response to natural hazards such as heat wave, heavy rainfall and severe drought is required. We apply extreme value theory to analyze these abnormal weather phenomena. It is common for extremes in climatic data to be nonstationary in space and time. In this paper, we analyze summer rainfall data in South Korea using exceedance values over thresholds estimated by quantile regression with location information and time as covariates. We group weather stations in South Korea into 5 clusters and t extreme value models to threshold exceedances for each cluster under the assumption of independence in space and time as well as estimates of uncertainty for spatial dependence as proposed in Northrop and Jonathan (2011).

Keyword

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문제 정의

이와 같은 중요성에도 불구하고 우리나라에서는 극단값 모형을 통한 자료 분석의 예가 적은 편이다. 본 논문에서는 우리나라 여름철 강수량을 극단값 모형으로 분석해 보고자 한다. 한국은 여름철 장마와 태풍으로 인한 집중호우로 홍수 피해가 자주 발생한다.
본 논문에서는 모형의 적합도를 파악하기 위해 각 관측소별로 잔차확률도표(residual probability plot)를 그려 보았다. Figure 3.
본 논문에서는 기상청에서 제공하는 일 강수 자료를 주 최대 강수량으로 요약하여 극단값 분석을 실시하였다. 우리나라의 복잡하고 다양한 지형적인 특성상 강수 사건이 전국적으로 발생하는 경우는 드물기 때문에 최적 분리 군집 방법을 통하여 5개의 군집으로 세분화한 후에 분석하였다.

가설 설정

Northrop과 Jonathan (2011)은 관측 지점의 지리 정보를 공변량으로 하는 분위수 회귀(quantile regression)를 통하여 먼저 분계점을 결정한 후, 점과정 모형의 모수들도 지리 정보를 공변량으로하여 추정하는 방법을 제안하였다. 모형 추정 시에는 먼저 자료가 공간적으로 독립이라는 가정하였으며, 공간적 종속성을 반영하기 위하여 Chandler와 Bate (2007)에 의해 제안된 방법으로 추정오차를 구하였다. 공간 분계점 모형을 간략히 소개하면 다음과 같다.
여기에서 λ는 본 논문의 경우 연평균 관측횟수를 나타내며, 1 + ξ(uij − µij)/σij > 0, σij > 0이고 ξij = ξ로 가정하였다.
모수 σ의 모형은 µ와 동일하거나 저차원의 공변량 다항 함수 형태로 가정하고, µ와 u는 동일한 차수의 다항 함수 모형을 설정하였다.

제안 방법

본 논문에서는 기존 연구결과를 바탕으로 1973년부터 2012년까지의 기간 중 우리나라의 강수량이 집중되는 5월부터 9월의 주 최대 강수량 자료를 이용하여 분계점 초과값 분석을 실시하였다. 효율적인 분석을 위하여 기간 내의 관측소별 최대 강수량과 각 관측소의 지리 정보를 이용하여 먼저 군집분석을 실시하였다.
본 논문에서는 기존 연구결과를 바탕으로 1973년부터 2012년까지의 기간 중 우리나라의 강수량이 집중되는 5월부터 9월의 주 최대 강수량 자료를 이용하여 분계점 초과값 분석을 실시하였다. 효율적인 분석을 위하여 기간 내의 관측소별 최대 강수량과 각 관측소의 지리 정보를 이용하여 먼저 군집분석을 실시하였다. 분계점은 Northrop과 Jonathan (2011)과 같이 분위수 회귀를 통하여 결정하였으며, 이 때 관측 지점의 지리 정보(경도, 위도)와 시간을 공변량으로 고려하였고, 각 군집별로 분위수 회귀 모형을 적합하여 결정하였다.
효율적인 분석을 위하여 기간 내의 관측소별 최대 강수량과 각 관측소의 지리 정보를 이용하여 먼저 군집분석을 실시하였다. 분계점은 Northrop과 Jonathan (2011)과 같이 분위수 회귀를 통하여 결정하였으며, 이 때 관측 지점의 지리 정보(경도, 위도)와 시간을 공변량으로 고려하였고, 각 군집별로 분위수 회귀 모형을 적합하여 결정하였다. 본 연구의 모든 계산과 그림은 R로 수행되었다.
그리고 추정된 u를 분계점으로 하는 LI(θ)을 최대로 하는 해 #를 구한 후, Chandler와 Bate (2007)가 제안한 방법으로 모수의 추정오차를 수정하였다.
우리나라의 복잡하고 다양한 지형적인 특성상 기상 사건이 전국적으로 발생하는 경우는 찾기 어려워 Park과 Kim (2008)이 계보적 군집 방법을 이용하여 북부(경기, 강원, 충북), 중부(경북, 전북, 충남), 남부(전남, 경남) 지역, 총 3개의 군집으로 나누어 우리나라 강수량 자료를 분석한 예가 있다. 본 논문에서는 위도, 경도, 해발, 해안 인접도, 최대 강수량 총 5개의 변수를 이용하여 최적 분리 군집 방법 으로 Figure 3.1과 같이 55개의 관측소를 5개의 군집으로 구분하였다. Park과 Kim (2008)에서 고려한 변수와 관측소의 수 등이 본 논문과 다르다.
본 논문에서는 각 관측소별 연 최대 강수량 자료를 lx, ly, t의 다양한 차수 다항식의 µ와 σ에 대하여 GEV(µ, σ, ξ) 모형 적합한 후 그 결과를 이용하여 선택하였다.
본 논문에서는 기상청에서 제공하는 일 강수 자료를 주 최대 강수량으로 요약하여 극단값 분석을 실시하였다. 우리나라의 복잡하고 다양한 지형적인 특성상 강수 사건이 전국적으로 발생하는 경우는 드물기 때문에 최적 분리 군집 방법을 통하여 5개의 군집으로 세분화한 후에 분석하였다. 자료가 공간적으로 독립이라는 가정하에 극단값 모형을 추정한 후 모수 추정량이나 검정 통계량의 분포에 공간 종속성을 반영하였다.
우리나라의 복잡하고 다양한 지형적인 특성상 강수 사건이 전국적으로 발생하는 경우는 드물기 때문에 최적 분리 군집 방법을 통하여 5개의 군집으로 세분화한 후에 분석하였다. 자료가 공간적으로 독립이라는 가정하에 극단값 모형을 추정한 후 모수 추정량이나 검정 통계량의 분포에 공간 종속성을 반영하였다. 따라서, 공간 상관 모형을 정확히 세우지 않고 추정된 결과를 관측되지 않은 지점까지 포함하여 해석할 수 없다는 한계가 있다.

대상 데이터

본 연구에서는 기상청에서 제공한 1973년부터 2012년의 5월∼9월의 일 강수량 자료를 주 최대 강수량으로 요약하여 사용하였다.
본 연구에서는 기상청에서 제공한 1973년부터 2012년의 5월∼9월의 일 강수량 자료를 주 최대 강수량으로 요약하여 사용하였다. 해당 기간의 강수량 자료를 모두 보유하고 있으며 섬 지역에 위치하지 않은 55개의 관측소만을 고려하였다. 즉, 자료는 5월부터 9월은 20주로 이루어져 있으므로 각 관측소별 매년 20개의 관측값들로 구성되어 있다.
해당 기간의 강수량 자료를 모두 보유하고 있으며 섬 지역에 위치하지 않은 55개의 관측소만을 고려하였다. 즉, 자료는 5월부터 9월은 20주로 이루어져 있으므로 각 관측소별 매년 20개의 관측값들로 구성되어 있다. 모든 관측 지점의 지리 정보는 위도, 경도이고 강수량의 측정 단위는 mm이다.

데이터처리

분계점 초과 확률 τ의 선택을 위하여 그 값을 변화 시켜가며, 각 τ -분위수 회귀분석을 실시하였다.

이론/모형

Northrop과 Jonathan (2011)은 허리케인 발생 시 멕시코만의 파고 자료의 분계점 초과값들을 사용하여 극단값 분석을 하였는데, 먼저 공간적 독립 가정하에서 모형을 추정하였다. 그리고 추정량의 표준오차를 구하는 과정에서 Chandler와 Bate (2007)가 제안한 방법으로 공간 종속성이 반영되도록 하였다. 분계점 초과값 분석에서 분계점의 결정은 중요한 문제이다.
주어진 τ에 대하여 y τ (x)를 공변량 x의 함수로 모형화한 후, Koenker와 Bassett (1978)에 의해 제안된 점검 함수(check function) 방법으로 추정하였다.
지리 정보 (l_x, l_y)는 4차 다항 모형까지 시간 (t)은 2차 다항 모형까지 고려하여 로그 가능도를 계산하였다. 그리고, Chandler와 Bate (2007)가 제안한 방법으로 공간 종속성을 반영한 가능도비 검정 통계량을 이용하여 유의수준 0.05로 모형을 선택하였다. 연 최대 강수량 분포의 µ는 군집 2, 3과 4에서 위도, 경도와 시간 모든 공변량과, 군집 1에서는 시간과, 군집 5에서는 위도, 경도와 선형 관계를 보여주고 있으며, σ는 모든 군집에서 시간과는 선형 관계가 없음을 확인할 수 있었다.

성능/효과

군집 1, 2와 4 지역은 기존의 연구결과와 같이 연 최대 강수량이 증가하는 경향이 있음을 확인한 반면 군집 3과 5 지역은 뚜렷한 경향을 보이지 않았고, 상자 그림을 통하여 극단값 분포의 꼬리 성질을 나타내는 ξ가 양의 값임을 짐작할 수 있었다.
연 최대 강수량 분포의 µ는 군집 2, 3과 4에서 위도, 경도와 시간 모든 공변량과, 군집 1에서는 시간과, 군집 5에서는 위도, 경도와 선형 관계를 보여주고 있으며, σ는 모든 군집에서 시간과는 선형 관계가 없음을 확인할 수 있었다.
위의 사전적인 탐색적 자료 분석을 통하여 한국의 (연도별, 주별) 최대 강수량이 관측소의 위치와 시간의 영향을 받음을 확인하였다. 따라서, 극단값 분포 모수 µ, σ가 위도(l_x), 경도(l_y)와 시간(t)의 다항식, ξ는 상수 모형으로 가지는 2.
056)로 0의 값을 포함하고 있는 것을 제외하고는 다른 모든 군집에서 ξ의 95% 신뢰구간이 0을 포함하고 있지 않는 것으로 나타났다. 즉, 전체적으로 우리나라 모든 지역에서 최대 강수량이 긴 꼬리 분포 형태임을 확인할 수 있었다. 특히 동해안 지역의 ξ 추정량은 상대적으로 매우 크다.
각 관측 지점의 분위수 회귀를 통해 정해진 분계점으로 적합된 군집별 분계점 모형에서 모수 µ의 모형을 살펴보면, 군집 5를 제외한 모든 군집에서 시간에 따른 강수량의 증가 경향을 확인할 수 있었으며, 특히 남부 내륙 지역의 최대 강수량 증가 속도가 가장 빠르며, 중부 지역도 동해안 지역보다는 빠르게 증가하는 것으로 보인다.
그런데 각 관측소별로 분위수 초과 강수량의 시간과의 관계를 살펴본 Yoon과 Moon (2014)은 광주 관측소의 경우 선형 관계가 있음을 확인하고 있다. 위도가 높아질수록 전남, 남부 내륙과 동해안 지역은 최대 강수량이 작아지는 경향을 확인하였으며, 북부 내륙 지역 최대 강수량이 높아지는 것을 확인하였다. 경도가 높아질수록 내륙과 동해안 지역은 최대 강수량이 작아지며, 전남 지역은 증가함을 알 수 있다.
위도가 높아질수록 전남, 남부 내륙과 동해안 지역은 최대 강수량이 작아지는 경향을 확인하였으며, 북부 내륙 지역 최대 강수량이 높아지는 것을 확인하였다. 경도가 높아질수록 내륙과 동해안 지역은 최대 강수량이 작아지며, 전남 지역은 증가함을 알 수 있다. 서해안 지역은 관측 지점의 위치의 영향을 받고 있지 않는 것으로 파악되었다.
모수 σ는 우리나라 전 지역에서 시간의 영향은 받지 않는 것으로 추정되었고, 동서해안 지역을 제외한 내륙과 전남 지역은 경도와 위도와는 선형 관계를 보이고 있다. 모수 ξ는 모든 군집에서 양의 값으로 추정되어 우리나라 대부분의 지역에서 주 최대 강수량이 긴 꼬리 분포 형태임을 확인할 수 있었다. 그중 특히 동해안 지역으로 구분된 군집 3지역의 ξ값이 다른 지역에 비해 큰데 이 지역은 홍수와 같은 피해의 발생 가능성이 다른 지역에 비해 높을 것을 의미한다.
그중 특히 동해안 지역으로 구분된 군집 3지역의 ξ값이 다른 지역에 비해 큰데 이 지역은 홍수와 같은 피해의 발생 가능성이 다른 지역에 비해 높을 것을 의미한다. 추정된 모형의 적합성을 잔차 확률 도표로 확인하였을 때 전반적으로 잘 적합된 모형이라는 결과를 얻었다.

후속연구

본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서 극단값 분계점 모형을 소개하고, 3절에서 분석 자료의 소개와 탐색적인 분석 결과, 자료의 분계점 모형 적합 결과를 제시하고 있으며, 마지막으로 4절은 요약 및 해석, 향후 연구 내용으로 이루어져 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	이상기후적인 사건들의 특징은 무엇인가?	폭염, 태풍, 홍수, 가뭄 등과 같은 이상기후적인 사건들은 매우 드물게 발생하지만 큰 피해를 초래할 수 있는 사건들이다. 생명, 안전과 재산에 주는 직접적인 피해뿐만 아니라 기반 시설의 확충과 보험료의 상승 등 간접적인 피해도 만만치 않다.
	극단값 분석 기법은 무엇을 위해 적용할 수 있는가?	폭염, 폭우와 가뭄 등과 같은 이상 기후 현상에 대한 적절한 대응이 최근 많이 요구되고 있다. 이상 기후 현상을 분석하기 위해 극단값 분석 기법을 적용할 수 있는데, 본 논문은에서는 한국의 여름철 강수량 자료(1973년부터 2012년까지의 5월부터 9월)를 분계점 초과값 모형으로 분석해보았다. 분계점은 한국의 기상관측소들을 5개의 군집으로 나누어, 각 군집별로 지리 정보와 시간을 공변량으로 하는 분위수 회귀 방법을 통하여 추정하였다.
	통계적인 분석을 통한 정확한 예측이 필요한 예는 무엇인가?	이에 적절히 대응하기 위하여 통계적인 분석을 통한 정확한 예측에 대한 필요성이 최근 들어 대두되고 있다. 예를 들어 홍수의 경우에는 연 최대 강수량과 같은 극단값의 분포를 추정하여 대응책을 마련해야 할 것이다. 이와 같은 중요성에도 불구하고 우리나라에서는 극단값 모형을 통한 자료 분석의 예가 적은 편이다.

참고문헌 (14)

Chandler, R. E. and Bate, S. B. (2007). Inference for clustered data using the independence log-likelihood, Biometrika, 94, 167-183.

상세보기
Choi, Y. E. (2004). Trends on temperature and precipitation extreme events in Korea, Journal of the Korean Geographical Society, 39, 711-721.

원문보기 상세보기
Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer, London.
Davison, A. C., Padoan, S. A. and Ribatet, M. (2012). Statistical modeling of spatial extremes, Statistical Science, 27, 161-186.

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Davison, A. C. and Smith, R. L. (1990). Models for exceedances over high thresholds (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society Series B, 52, 393-442.
Jung, J. Y., Jin, S. H. and Park, M. S. (2008). Precipitation analysis based on spatial linear regression model, The Korean Journal of Applied Statistics, 21, 1096-1107.

원문보기 상세보기
Kim, S. Y., Kwon, Y. A., Park, C. Y. and Chun, J. H. (2008). Regional characteristics of the monthly variability of precipitation from May to September over South Korea, Journal of Climate Research, 2, 64-75.
Koenker, R. and Bassett, G. Jr. (1978). Regression quantiles, Econometrica, 46, 33-50.

상세보기
Lee, K. M., Baek, H. J. and Cho, C. H. (2012). Analysis of changes in extreme precipitation in Seoul using quantile regression, Journal of Climate Research, 3, 199-209.
Lee, S. H. and Kwon, W. T. (2004). A variation of summer rainfall in Korea, Korean Geographical Society, 39, 819-832.
Northrop, P. J. and Jonathan, P. (2011). Threshold modelling of spatially dependent non-stationary extremes, Environmetrics, 22, 799-809.

상세보기
Park, M. S. and Kim, H. Y. (2008). Classification of precipitation data based on smoothed periodogram, the Korean Journal of Applied Statistics, 21, 547-560.

원문보기 상세보기
Smith R. L. (1989). Extreme value analysis of environmental time series : An application to trend detection in ground-level ozone, Statistical Science, 4, 367-377.

상세보기
Yoon, S. K. and Moon, Y. I. (2014). The Recent increasing trends of exceedance rainfall thresholds over the Korean major cities, Journal of the Korean Society of Civil Engineers, 34, 117-133.

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