[논문]효율적인 실시간 차량 시뮬레이션을 위한 자코비안 갱신이 불필요한 뉴턴 적분방법

강종수; 임준현; 배대성

doi:10.7735/ksmte.2014.23.4.337

효율적인 실시간 차량 시뮬레이션을 위한 자코비안 갱신이 불필요한 뉴턴 적분방법
A Jacobian Update-Free Newton's Method for Efficient Real-Time Vehicle Simulation 원문보기

한국생산제조시스템학회지 = Journal of the Korean Society of Manufacturing Technology Engineers, v.23 no.4, 2014년, pp.337 - 344

강종수 (Dept. of Mechanical Engineering, Hanyang Univ.) , 임준현 (Dept. of Mechanical Engineering, Hanyang Univ.) , 배대성 (Dept. of Mechanical Engineering, Hanyang Univ.)

Abstract ▼ AI-Helper

While implicit integration methods such as Newton's method have excellent stability for the analysis of stiff and constrained mechanical systems, they have the drawback that the evaluation and LU-factorization of the system Jacobian matrix required at every time step are time-consuming. This paper proposes a Jacobian update-free Newton's method in order to overcome these defects. Because the motions of all bodies in a vehicle model are limited with respect to the chassis body, the equations are formulated with respect to the moving chassis-body reference frame instead of the fixed inertial reference frame. This makes the system Jacobian remain nearly constant, and thus allows the Newton's method to be free from the Jacobian update. Consequently, the proposed method significantly decreases the computational cost of the vehicle dynamic simulation. This paper provides detailed generalized formulation procedures for the equations of motion, constraint equations, and generalized forces of the proposed method.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

. 본 논문은 더 나아가 자코비안 갱신을 요구하지 않는 뉴턴방법을 제안하고자 한다. 즉, 시뮬레이션 전에 LU-분해된 자코비안 행렬을 저장하여 계속적으로 사용하는 개념으로 매 뉴턴 반복과정에서는 지배방정식의 생성과 역치환(back-substitution)만이 필요하게 되며 이를 통하여 시뮬레이션 효율성을 향상시키는 것이다.
본 논문은 암시적 적분방법인 뉴턴방법과 직교좌표(Cartesian coordinates)를 바탕으로 실시간 차량 시뮬레이션을 구현하는 방법에 대한 연구로, 본 논문을 통해 참고문헌^[6]에서 제안된 방법의 운동방정식, 구속조건, 그리고 일반 힘을 공식화하는 일반화된 절차 및 기존공식과의 관계를 제공하고자 한다.
본 연구는 실시간 차량 시뮬레이션을 위한 자코비안 갱신이 불필요한 뉴턴 적분방법을 제안한다. 기존의 직교 일반좌표를 이용하는 방법에서는 시스템 자코비안의 성분들이 고정된 관성좌표계에 기준하여 표현됨에 따라, 차량의 운동에 따른 자코비안의 변화량이 크므로, 뉴턴방법을 사용함에 있어 자코비안이 주기적으로 새롭게 생성되어야만 한다.

제안 방법

모의실험은 2개의 주행조건에 대해 수행하였는데, 하나는 차량을 60 km/hr로 주행시킨 후, rack and pinion조인트를 Fig. 4(a)와같이 조향하여 J-turn 시뮬레이션을 수행하였고, 다른 하나는 차량이 40 km/hr로 주행 중 Fig. 4(c)와 같은 범프를 통과하는 bump pass 시뮬레이션을 수행하였다.
이 때, 시스템 자코비안 H_p의 생성과 LU-분해(LU-decomposition)에 가장 많은 시간이 소요되므로, 계산시간의 단축을 위해서 H_p의 갱신주기가 조절되어진다. 본 논문에서는 스텝마다 한 번씩만 H_p를 갱신하는 것을 종전의 방법으로 설정하였다. 제안방법은 Newton chord법^[11]을 적용하여 초기(즉, t=0) p를 통해 H_{p,t = 0}를 생성 및 LU-분해하고 이를 저장한 후 전 시뮬레이션 시간동안 갱신없이 사용하는 것이다.
본 논문에서는 운동방정식, 구속조건, 그리고 일반 힘을 차체좌표계 기준의 방법으로 공식화하는 일반화된 절차를 기존의 관성좌표계 기준의 방법과 비교 예시함으로써 구속조건 및 일반 힘의 종류에 상관없이 편리하게 제안방법을 구현토록 하였으며, 전 차량 모델을 바탕으로 J-turn과 bump-pass 조건에서 검증하였다. 제안 방법은 본 논문에 설명된 기존 방법과의 일반화된 관계식을 이용하여 기존 프로그램을 활용하여 용이하게 구현될 수 있다.
제안하는 방법은 차량이라는 다물체 시스템에 있어 모든 바디는 차체(chassis body)에 대하여 제한된 운동을 한다는 점을 활용 하는 것이다. 이를 위해 운동방정식, 구속조건, 그리고 일반힘이 관성좌표계가 아닌 차체부착 좌표계를 기준으로 공식화되었다. 차체를 모든 강체의 기저(base)로 활용하여 계산속도 향상을 도모하는 연구는 이미 제안된 바 있다.
제안된 방법은 직교좌표(Cartesian coordinates)를 기반으로 뉴턴적분 방법을 이용하는 다물체 차량 시뮬레이션에 특화되어 적용 가능한 방법이다. 하지만, 차량 이외에도(차량의 경우 차체와 같은) 기준강체가 오로지 한개만 존재하며 시스템내의 모든 강체들이 그 기준강체와 제한된 상대운동을 갖는 경우 제안방법의 적용을 고려해 볼 수 있다.
기존의 직교 일반좌표를 이용하는 방법에서는 시스템 자코비안의 성분들이 고정된 관성좌표계에 기준하여 표현됨에 따라, 차량의 운동에 따른 자코비안의 변화량이 크므로, 뉴턴방법을 사용함에 있어 자코비안이 주기적으로 새롭게 생성되어야만 한다. 제안방법에서는 차량의 기준강체라고 할 수 있는 차체에 부착된 좌표계를 기준으로 운동방정식, 구속조건 및 일반힘이 표현되었다. 따라서, 시스템 자코비안의 변화량 역시 차체 좌표계에 상대적인 변화량으로 제한되며 이를 통해 자코비안 갱신이 불필요한 뉴턴방법을 가능케 하였다.
본 논문에서는 스텝마다 한 번씩만 H_p를 갱신하는 것을 종전의 방법으로 설정하였다. 제안방법은 Newton chord법^[11]을 적용하여 초기(즉, t=0) p를 통해 H_{p,t = 0}를 생성 및 LU-분해하고 이를 저장한 후 전 시뮬레이션 시간동안 갱신없이 사용하는 것이다. 따라서, Fig.
제안하는 방법은 차량이라는 다물체 시스템에 있어 모든 바디는 차체(chassis body)에 대하여 제한된 운동을 한다는 점을 활용 하는 것이다. 이를 위해 운동방정식, 구속조건, 그리고 일반힘이 관성좌표계가 아닌 차체부착 좌표계를 기준으로 공식화되었다.

대상 데이터

제안된 일반관계식의 검증을 위하여 Fig. 3과 같이 전·후륜 모두 더블 위시본 타입의 현가장치, 조향장치 및 파워트레인 시스템을 갖는 전 차량 모델을 이용하였다.

이론/모형

수행된 2개의 주행조건에 대해 기존방법과 제안방법으로부터 계산된 결과가 비교되어졌다. 모든 시뮬레이션은 상용프로그램인 버추얼모션사의 다풀(DAFUL) 프로그램을 기반으로 수행되었으며, 3.5 GHz PC를 이용하여 1 ms로 고정된 스텝사이즈에서 이루어 졌다.

성능/효과

24 ms였다. 따라서, 제안방법이 기존방법 대비 약 57%의 계산시간 절감효과가 있음을 알 수 있었다.
본 논문에서는 운동방정식, 구속조건, 그리고 일반 힘을 차체좌표계 기준의 방법으로 공식화하는 일반화된 절차를 기존의 관성좌표계 기준의 방법과 비교 예시함으로써 구속조건 및 일반 힘의 종류에 상관없이 편리하게 제안방법을 구현토록 하였으며, 전 차량 모델을 바탕으로 J-turn과 bump-pass 조건에서 검증하였다. 제안 방법은 본 논문에 설명된 기존 방법과의 일반화된 관계식을 이용하여 기존 프로그램을 활용하여 용이하게 구현될 수 있다.

후속연구

기존방법의 경우 매 시간스텝에서 자코비안을 갱신하므로 초기 자코비안을 갱신없이 사용하는 제안방법에 비해 수렴성이 일반적으로 우수하다고 할 수 있겠다. 본 논문에서 수행된 시뮬레이션은 1 ms라는 매우 작은 스텝사이즈를 적용하여 두 방법 간의 수렴성에 큰 차이는 없었으나(즉, 두 방법 모두 1~2회의 뉴턴반복만으로 수렴됨), 10 ms 같은 상대적으로 큰 스텝사이즈를 적용할 경우 두 방법 간 수렴성에 차이를 보일 수 있을 것으로 판단되며 이에 대한 연구가 추후 진행될 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	차량 동역학 해석연구에서 계산 효율성이 중요한 이유는 무엇인가?	차량 동역학 해석연구에 있어서 가장 중요하게 고려되는 인자 중한 가지는 계산 효율성인데 이는 계산 효율이 실시간 해석 가능성과 직결되기 때문이다. 특히, 차량 시뮬레이션은 HILS(hardware in the loop simulation)와 OILS(operator in the loop simulation)로 확대 적용되고 있는데, 두 가지 모두 실시간 해석을 전제로 한다는 점에서 계산 효율의 중요성을 다시 한 번 확인할 수 있다[1,2].
	뉴턴 적분법에서 해석시간에 영향을 주는 요소는 무엇인가?	뉴턴반복을 통해 해를 찾아가는 뉴턴 적분법을 이용한 해석에 있어, 반복횟수가 해석시간에 영향을 준다. 기존방법의 경우 매 시간스텝에서 자코비안을 갱신하므로 초기 자코비안을 갱신없이 사용하는 제안방법에 비해 수렴성이 일반적으로 우수하다고 할 수 있겠다.
	연구에서는 어떻게 자코비안 갱신이 불필요한 뉴턴 적분방법을 가능케 하였는가?	기존의 직교 일반좌표를 이용하는 방법에서는 시스템 자코비안의 성분들이 고정된 관성좌표계에 기준하여 표현됨에 따라, 차량의 운동에 따른 자코비안의 변화량이 크므로, 뉴턴방법을 사용함에 있어 자코비안이 주기적으로 새롭게 생성되어야만 한다. 제안방법에서는 차량의 기준강체라고 할 수 있는 차체에 부착된 좌표계를 기준으로 운동방정식, 구속조건 및 일반힘이 표현되었다. 따라서, 시스템 자코비안의 변화량 역시 차체 좌표계에 상대적인 변화량으로 제한되며 이를 통해 자코비안 갱신이 불필요한 뉴턴방법을 가능케 하였다.

참고문헌 (11)

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Kelley, C. T., 1995, Iterative methods for linear and nonlinear equations, Philadelphia Pennsylvania : SIAM press.

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표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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