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문제 정의
- 이 시기의 형태심리학자들은 문제해결과 추론의 복잡한 행동들의 발달에 관하여 논하였는데, 문제해결로 더 유명한 Brownell은 “구조에서, 조직에서, 그리고 과목 자체의 내적 관계에서 의미를 찾아야한다”고 주장했다(잉글리쉬 & 핼포드, 2003 재인용). 그 목적은 아동들에게 산술의 구조, 즉 수학의 개념, 원칙, 그리고 과정들을 알리자는 것이었다. Brownell 이론이 수학교육에 시사하는 점은 수학적 개념의 강조와 수학적 관계 등의 지도에서 속도와 정확성을 획득하기 위해서는 훈련 방법보다 의미를 통한 방법이 훨씬 효과적일 수 있다는 점이다.
- 본 연구는 그동안 우리나라에서 수행된 수학 교수-학습 이론 적용 연구들의 특징과 동향을 살펴보고자 하였다. 이를 위해 국내 주요 수학교육 전문 학술지인 한국수학교육학회와 대한수학교육학회의 2000년부터 2013년 10월 20일까지 검색되어진 논문 1190편 중 수학교육 이론 적용 연구 논문 41편을 분석대상으로 하여 수학교육 이론별, 연구방법별, 연구내용별, 연구대상별로 분류하여 수학 교수-학습 연구의 추세, 특징, 방법 등을 분석하였다.
- 이 이론을 적용한 연구는 ‘고등 수학 개념의 올바른 이해를 위한 유의미한 교수법 탐색(한길준 & 우호식, 2001)’ 연구로, 오스벨의 유의미 학습 이론을 바탕으로 교사와 학생 사이의 상호 역할에 대하여 검토해 보고 현장 수학 교사들이 앞으로의 교수-학습 상황 하에서 효과적이고 유의미한 교수법을 채택하고자 한 연구였다.
- 이에 본 연구자는 그동안 우리나라에서 어떤 수학 교수-학습 이론들이 현장에 적용되고 그 효과 검증이 수행되었는지 살펴보기 위해, 국내 주요 수학교육 전문학술지에 게재된 수학 교수-학습 이론 적용 사례 연구 논문들을 수학교육 이론별, 연구방법별, 수학 내용영역별, 연구대상별로 분류하여 그 연구 동향 및 특징을 분석하고자 한다.
제안 방법
- 프로이덴탈, 비고츠키, 반힐레, 딘즈, 브루너, 라카토스, 폴리아, 피아제, 스켐프, 오스벨의 이론을 분석 대상 이론으로 설정하고 연구대상 논문들을 분류하였다. 2000년부터 2013년까지 연도별로 구분하여 그 적용 횟수를 조사하였으며, 이 때 1편의 논문에 여러 가지 이론이 적용된 경우 각각의 이론에 체크하였다.
- 내용영역별 분류에서는 2009 개정 수학과 교육과정을 기초로 하여, 국민공통기본교육과정인 중학교교육과정 내용영역인 ‘기하’, ‘수와 연산’, ‘함수’, ‘문자와 식’, ‘확률과 통계’로 구분하였다.
- 또한 특정 영역이 아닌 수학의 전반적인 내용과 관련된 연구를 포함시키기 위해 ‘일반’ 영역을 설정하였다.
- 본 연구에서는 분석대상 논문 41편을 연구에 적용된 수학교육 이론, 연구방법, 내용영역, 연구대상별로 분류하였다. 이때 적용된 분석의 기준은 다음과 같다.
- 본 연구에서는 수학교육 이론을 학자의 이름을 기준으로 프로이덴탈, 비고츠키, 반힐레, 딘즈, 브루너, 라카토스, 폴리아, 피아제, 스켐프, 오스벨로 설정하고 분석하였다. 10가지 수학교육 이론을 중심으로 총 41편의 논문을 분석한 결과, 아래 <표 2>와 같이 프로이덴탈의 이론과 비고츠키 이론이 동일하게 14편(25.
- 수학 교수-학습 이론을 현장에 적용해 보는 연구에서 어떤 연구방법론을 주로 채택하고 있는지 알아보기 위해 연구대상 논문 41편을 질적, 양적, 교수학적, 혼합 연구방법 별로 분류해 보았다. 그 결과 아래 <표 12>와 같이 질적 연구방법(46.
- 연구대상별 분류에서는 분석 대상 논문에서 보고한 연구대상들을 학교급별인 초등학교, 중학교, 고등학교로 분류하고 일반을 추가하였다. 일반은 특정 학교급을 대상으로 하지 않는 연구를 포함시키기 위해 설정한 것이다.
- 연구방법별 분류에서는 수학교육학 연구방법론(우정호 외 6인, 2007)을 참고하여 양적 연구방법, 질적 연구방법, 이 두 가지 방법을 혼합한 혼합 연구방법, 교수학적 연구방법으로 분류하였다. 우정호 외 6인(2007)에 따르면 양적 연구방법은 정량적으로 증거를 얻고 통계적으로 분석하는 방법이며 질적 연구방법은 광범위한 사례 조사를 통해 언어적 자료를 수집한 다음 귀납적으로 분석하는 방법이다.
- 새수학 운동은 1950년대 초반부터 1960년대까지 지속된 수학자 주도의 교육 개혁 운동으로, 진보주의 교육 이념의 비판과 생활중심의 수학에서 이해중심의 교육으로 전환되었다. 이 운동의 결과 수학적 구조의 엄밀성을 강조하고, 집합, 기호 논리, 현대 대수, 확률과 통계 등을 조기에 도입하게 되었다. 새 수학 시대에서의 수학적 구조에 대한 지도는 논리적인 면을 지나치게 강조하는 경향이 있었다.
- 본 연구는 그동안 우리나라에서 수행된 수학 교수-학습 이론 적용 연구들의 특징과 동향을 살펴보고자 하였다. 이를 위해 국내 주요 수학교육 전문 학술지인 한국수학교육학회와 대한수학교육학회의 2000년부터 2013년 10월 20일까지 검색되어진 논문 1190편 중 수학교육 이론 적용 연구 논문 41편을 분석대상으로 하여 수학교육 이론별, 연구방법별, 연구내용별, 연구대상별로 분류하여 수학 교수-학습 연구의 추세, 특징, 방법 등을 분석하였다.
- 수학교육 이론별 분류에서는 연구대상 논문에서 적용한 수학교육 이론을 수학교육학에서 자주 등장하는 이론을 제안한 학자의 이름을 기준으로 분류하였다. 프로이덴탈, 비고츠키, 반힐레, 딘즈, 브루너, 라카토스, 폴리아, 피아제, 스켐프, 오스벨의 이론을 분석 대상 이론으로 설정하고 연구대상 논문들을 분류하였다. 2000년부터 2013년까지 연도별로 구분하여 그 적용 횟수를 조사하였으며, 이 때 1편의 논문에 여러 가지 이론이 적용된 경우 각각의 이론에 체크하였다.
대상 데이터
- 딘즈의 이론을 적용한 연구를 연구방법별로 볼 때, 교수학적 연구 3편, 질적 연구 2편이었다. 내용영역별로 볼 때, 기하 영역이 2편, 수와 연산(분수) 1편, 미분법 영역 1편, 특정 영역이 아닌 수학의 전반적인 내용과 관련된 일반 영역 1편이었으며, 연구 대상별로는 초등학교를 대상으로 한 연구가 3편, 고등학교를 대상으로 한 연구와 특정학교를 대상으로 하지 않는 일반 영역의 연구가 각 1편이었다.
- 반힐의 이론을 적용한 연구를 연구방법별로 볼 때, 교수학적 연구 3편, 질적 연구 2편, 양적 연구 1편이었다. 내용영역별로 볼 때, 기하 영역이 5편, 특정 영역이 아닌 수학의 전반적인 내용과 관련된 일반 영역 1편이었으며, 연구대상별로는 초등학교와 중학교를 대상으로 한 연구가 각 2편, 고등학교를 대상으로 한 연구와 특정학교를 대상으로 하지 않는 일반 영역의 연구가 각 1편이었다. 초, 중, 고등학생을 대상으로 하는 기하 영역의 연구가 대부분을 차지하고 있음을 알 수 있다.
- 따라서 본 연구에서는 연구목적을 수행하기 위한 분석대상 논문으로 총 41편의 학회지 논문을 아래 과 같이 선정하였다.
- 본 연구는 수학교육 이론 적용 사례 연구 논문을 검색, 분류하기 위해 국내 대표 수학교육 전문 학술지인 한국수학교육학회와 대한수학교육학회의 학술지 논문을 각 학회의 공식 홈페이지 학술자료 검색 사이트를 이용해 2000년부터 2013년 까지 모두 검색하였다. 한국수학교육학회 논문으로는 시리즈 A <수학교육>에 게재된 2000년 5월 제 39권 제 1호부터 2013년 8월 제 52권 제 3호까지의 논문 405편을 검색하였으며, 대한수학교육학회 논문으로는 <수학교육학 연구>에 게재된 2000년 7월 제 10권 제 1호부터 2013년 8월 제 23권 3호까지의 논문 361편과 <학교수학>에 게재된 2000년 3월 제 2권 제 1호부터 2013년 9월 제 15권 제 3호까지의 논문 424편을 검색하였다.
- 스켐프의 이론을 적용한 연구는 양적 연구 1편, 질적 연구 1편이었으며, 내용영역은 기하 영역과 수와 연산 영역이었다. 연구대상은 모두 초등학교를 대상으로 하였는데 이는 스켐프 이론이 본래 초등수학에 관한 구체적이고 실험적인 연구를 통해 놀이 활동을 체계적으로 정리하였는데 이러한 입장이 반영된 결과라고 생각된다.
- 라카토스의 이론을 적용한 3편의 연구는 질적 연구 2편, 교수학적 연구 1편이었으며, 내용영역에서는 기하 영역, 수와 연산 영역, 확률과 통계 영역 각각 1편이었다. 연구대상은 초등학교, 중학교, 고등학교를 대상으로 각각 1편으로 나타났다.
- 한국수학교육학회 논문으로는 시리즈 A 에 게재된 2000년 5월 제 39권 제 1호부터 2013년 8월 제 52권 제 3호까지의 논문 405편을 검색하였으며, 대한수학교육학회 논문으로는 에 게재된 2000년 7월 제 10권 제 1호부터 2013년 8월 제 23권 3호까지의 논문 361편과 에 게재된 2000년 3월 제 2권 제 1호부터 2013년 9월 제 15권 제 3호까지의 논문 424편을 검색하였다.
성능/효과
- 10가지 수학교육 이론을 중심으로 총 41편의 논문을 분석한 결과, 아래 와 같이 프로이덴탈의 이론과 비고츠키 이론이 동일하게 14편(25.5%)으로 가장 많이 수학 교수-학습 이론 적용 연구에 이론적 기초로 적용된 것으로 나타났다.
- 그 결과, 두 학술지에 게재된 총 1190편의 논문 중 수학교육 이론 적용 교수-학습 방법 연구와 현장 적용 사례 논문으로 판단되는 논문이 에 23편(5.7%), 에 8편(2.2%), 에 10편(2.4%)으로 나타났다.
- 5%)으로 가장 많이 수학 교수-학습 이론 적용 연구에 이론적 기초로 적용된 것으로 나타났다. 그 다음으로 많이 적용된 이론은 반힐레(10.9%), 딘즈(9.1%), 브루너(7.3%) 순이며, 라카토스, 폴리아, 피아제 이론은 5.5%로 동일한 순위를 차지했고, 스캠프(3.6%)와 오스벨(1.8%) 이론이 가장 적게 적용된 것으로 나타났다.
- 첫 번째 법칙인 연습 또는 반복의 법칙은 자극을 준 횟수가 많을수록, 학습과 같은 반응이 지속되는 시간도 길며 이것은 만들어지는 각 자극-반응 본드가 많은 연습을 필요로 한다는 것을 의미한다. 두 번째 법칙인 효과의 법칙에 따르면, 만족과 관련한 반응은 강해지고 고통과 관련한 반응은 약해진다. 세 번째 준비의 법칙은 학습자가 학습할 준비가 되어 있어야 한다는 것으로 이미 배가 부른 쥐에게 똑같이 먹이를 주더라도 더 이상 움직이려 하지 않는다는 예로 설명할 수 있다.
- 반힐의 이론을 적용한 6편의 연구는 반힐의 이론이 기하학적 사고의 발생적 단계에 대한 깊은 통찰을 바탕으로 기하학습의 수준을 설정한 교수-학습 이론인 만큼, 대부분이 기하 영역에서 연구가 이루어졌다. 또한 이 연구 모두 반힐의 이론을 보완하기 위해 GSP, Cabri Ⅱ 등 공학을 활용하거나 수학저널 쓰기 등을 활용하였으며, 이론을 적용한 수업에서 기학학적 수준의 변화가 있어, 반힐의 이론이 기하교육 개선에 기여할 가치를 지닌 이론이라는 결론을 도출하였다. 반힐레 이론 적용 연구들의 연구방법, 내용영역, 연구대상별 분포는 아래 <표 5>과 같다.
- 14편의 프로이덴탈의 이론을 적용한 연구 결과 내용을 살펴보면, 대부분이 프로이덴탈의 교수학적 현상학, 안내된 재발명의 원리, 수학화 학습지도론의 주요 원리를 반영하여 수업에 적용한 결과 학습의 필요성을 인식하며 역사발생적 배경에 따른 여러 가지 탐구 활동과 측정 활동을 통해 수학적 개념을 발전적으로 이해 할 수 있다는 내용으로 요약될 수 있다. 또한 프로이덴탈의 이론에 근거한 수학 학습으로 학생들의 학업 성취도, 수학적 성향, 수학적 의사소통 능력 등에 긍정적인 영향을 주는 것으로 나타났다. 프로이덴탈 이론 적용 연구들의 연구방법, 내용영역, 연구대상별 분포는 아래 <표 3>과 같다.
- 라카토스 이론을 적용한 연구 결과를 종합적으로 살펴보면 증명과 반박의 과정이 수학자가 수학 지식을 창안할 때 뿐 아니라 학생들의 수학 교수·학습에 유용한 방법임을 확인하고 있다.
- 라카토스의 이론을 적용한 연구들을 세부적으로 살펴보면, ‘Lakatos 방법론을 초등수학에 적용하기 위한 연구(강문봉, 2004)’에서 라카토스의 이론을 초등학교 수준에서 적용할 수 있는 방안을 탐색하고 사례를 개발하였는데 초등학교 수준에서도 적용할 가치가 있는 교육 인식론이자 방법론임을 알 수 있었다.
- 본 연구 결과, 프로이덴탈과 비고츠키 이론이 가장 많이 수학 교수-학습 연구에 적용되었다. 그 이유로 프로이덴탈의 이론은 수학을 학습하는 학생들이 수학화를 통해 학습자 스스로 지식을 구성해 나가야 한다는 학습자의 능동적 활동을 강조한 교수학습 이론으로 여러 수학교육학자에 의해 학생 중심 수학교육을 위한 이론적 근거로 주목을 받아왔고 제7차 교육과정안의 구성방향이 프로이덴탈의 교육학적 인식론과 일치되어짐에 따라 그의 수학화 이론에 대한 연구가 더불어 많이 진행되어진 것으로 보인다.
- 연구대상 논문 41편에서 연구를 수행한 수학 내용 영역을 분석한 결과, 수학교육 이론 적용 연구가 가장 활발하게 이루어진 영역은 기하 영역으로 나타났으며, 그 적용 대상 학교급은 초등학교와 중학교를 대상으로 한 연구가 65.9%이고 고등학교를 연구 대상으로 한 경우는 19.5%로 소수였다. 이것은 현재 우리나라에 알려진 수학교수-학습 이론의 대부분이 일반적인 교수-학습 원리를 제공하거나 아니면 특정한 내용 영역 내에서 초등학교, 중학교 현장에 더 적용 가능한 이론들이 많이 보급되어 있다는 점에서 그 원인을 찾을 수 있을 것이다.
- 연구대상 논문 41편에서 연구한 수학 내용영역을 수와 연산, 문자와 식, 함수, 확률과 통계, 기하, 일반 영역으로 분석한 결과, 아래 과 같이 수학 교수-학습 이론 적용 연구는 수학 내용 영역 중, 기하 영역에서 가장 많이 수행되었으며, 그 다음으로 함수(19.5%), 수와 연산(19.5%), 일반 영역(17.1%), 문자와 식(7.3%), 확률과 통계(4.9%) 순의 분포로 나타났다.
- 1922년 Thorndike는 조건에 따라 특정한 반응이 특정한 자극에 연결되어 있다고 주장하며 학습의 초기 세 가지 법칙, 즉 연습 또는 반복의 법칙, 효과의 법칙, 준비의 법칙을 주장 하였다. 첫 번째 법칙인 연습 또는 반복의 법칙은 자극을 준 횟수가 많을수록, 학습과 같은 반응이 지속되는 시간도 길며 이것은 만들어지는 각 자극-반응 본드가 많은 연습을 필요로 한다는 것을 의미한다. 두 번째 법칙인 효과의 법칙에 따르면, 만족과 관련한 반응은 강해지고 고통과 관련한 반응은 약해진다.
- 폴리아의 이론을 적용한 연구 결과를 종합해 보면, 문제 해결 및 발견술을 수업에 적용한 결과 학생들에게 긍정적인 결과를 가져오는 것으로 나타났으며, 특히 폴리아의 이론은단독으로 적용하기 보다는 프로이덴탈, 비고츠키, 반힐, 브루너, 라카토스의 이론과 함께 적용한 것이 특징이다. 폴리아 이론 적용 연구들의 연구방법, 내용영역, 연구대상별 분포는 아래 <표 9>와 같다.
후속연구
- 이것은 여러 이유에서 그 원인을 찾아볼 수 있겠으나, 연구자들에 의해 개발된 수학교육 이론들이 이론에만 그치고 실제로 현장에 적용되어 그 이론의 효과를 검증받는 연구가 제대로 병행되지 않고 있는데서 원인을 찾아 볼 수 있다. 따라서 수학교육 이론의 현장 적용사례 연구가 더욱더 활발히 이루어져야 하고, 수행된 현장 적용 연구 결과들이 종합적으로 정리, 분석되는 절차를 거쳐 효과성이 검증된 이론들은 많은 수학교육자들에게 보급되어 교육되어야 할 것이다.
- 이러한 내용영역과 학교급의 편중 현상은 다양한 내용영역과 학교급을 위한 국내외 수학 교수-학습 이론들이 많이 개발되거나 보급되지 않아서 발생되는 것으로 보여진다. 또한 우리나라 수학교육학에서 중요하게 다루는 거의 모든 이론이 외국의 수학교육자들에 의해 개발된 것이라는 점을 감안할 때, 앞으로 국내 수학교육자들에 의한 교수-학습이론들이 더 많이 개발되고 보급되어야 할 필요가 있다고 보여진다.
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