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문제 정의
- 파산확률의 정확한 계산은 보험 정책수립의 기초가 되는 중요한 작업이다. 본 논문에서는 양의 실수 값을 갖는 모든 분포를 근사할 수 GPH 분포를 토대로 하여 매우 정확한 파산확률을 계산해 내는 범용의 방법을 제시하였다. 또한 계산 예를 통해 이파산확률 계산방법의 타당성과 정확성을 검증하였다.
- 대재해 상황에 적용되는 기법들[11, 12 등]이 제안된 바 있으나 초기유보금이 매우 클 때의 단순한 점근적(asymptotic) 공식만이 주어져 실용성이 떨어진다. 본 연구는 보통의 상황과 대재해 상황에서 동시에 사용할 수 있고 계산상에서도 효율적인 일반적인 기법을 개발하는 것이 목적이다.
- 물론 보다 복잡한 클레임 도착과정을 가정하고 접근할 수도 있겠으나(예를 들면 [7]), 고전적인 푸아송 도착이 보편적인 실제 상황과 충분히 부합되는 측면이 있고, 이 가정 하에서 조차 충분한 범용성과 정확성을 가진 파산확률의 계산방법을 찾기 쉽지 않다는 점 때문에, 본 연구에서는 복합푸아송 형태의 누적 클레 임의 틀을 유지한다. 이 기본틀 하에서 파산확률은제 2장에서 설명되는 대로 Pollaczeck-Kinchine 공식(다른 이름으로 Beekman 공식)으로 얻어지게 되는데, 이것을 GPH(generalized phase type) 접근방 법[1, 2, 14]을 이용하면 정확하게 계산해 낼 수 있다는 것이 본 연구의 기본 착상이다.
- 이 된다. 이제 우변에 GPH 형태를 대입해 정리해 보자. 우선 F Q (0) = 1 - ρ이므로
- 이제 위에 언급한 GPH의 성질을 종합하여 클레임 규모가 GPH 분포로 주어 질 때의 정확한 파산확률의 공식을 구해보자. 이는 다음의 정리로 요약할 수있다.
- 정리에서 식 (17)이 얻어졌으나 여기에는 무한대개의 다중 합성곱의 계산이 포함되어 실제로 계산해 내기가 쉽지 않다. 이제 큐잉시스템에서의 수준교차 (level-crossing) 기법을 이용하여 gQ 를 보다 효율적으로 계산하는 방법을 고안해보자. 우선 1 - ψ(u) 를 FIFO-M/G/1 큐잉시스템에서 정상상태의 대기 시간(delay) 분포로 해석할 수 있음을 관찰한다[3, 15 등].
가설 설정
- 본 연구에서는 {N(t), t ≥ 0}를 발생률 α인 푸아송 과정으로 가정하고, Z i, i = 1, 2, ⋯ 를 분포 F 를 따르고 서로 독립이며 N(t) 와도 독립인 확률변수 열로 가정한다.
- 본 연구에서는 클레임의 도착은 전통적인 푸아송 과정(Poisson process)을 가정하되, 클레임 크기의 분포는 매우 일반적인 상황을 상정한다. 즉, 일상적인 클레임의 상황이나 두꺼운 꼬리(heavy-tailed) 상황(대재해 상황)에 관계없이 일반적으로 유효성이 보장되는 파산확률 계산방법에 관심을 둔다.
- 이제 고객의 도착과정이 도착률 α인 푸아송 과정이고 서비스 시간이 평균 μ인 분포 F를 따른다고 하고 ρ = αμ < 1라고 가정하자.
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