기계, 건축, 토목공학 분야 등에는 불균일 단면을 갖는 보 형태의 구조물들이 널리 사용되고 있다. 본 논문은 양단이 단순 지지된 보 구조물들의 동특성과 진동에 대한 문제를 다루며, 국부좌표를 사용한 지배방정식이 유도된다. 갤러킨의 모드합 방법으로 해가 가정되고, 고유진동수를 구하는 행렬식을 푸는 데는 이분법을 적용하였다. 유한요소법이 단지 기하학적 경계조건만을 만족시키는 허용함수를 사용하는 반면, 본 논문에서는 갤러킨의 모드합 방법을 적용하여, 지배방정식과 경계조건을 모두 만족하는 고유함수를 사용하였다. 계의 동특성을 알기위해, 네 종류의 불균일 단면을 갖는 단순 지지 보에 대해 모달 해석과 시험이 수행되었으며, 해석 결과는 실험 결과와 근사한 일치를 나타내었다.
기계, 건축, 토목공학 분야 등에는 불균일 단면을 갖는 보 형태의 구조물들이 널리 사용되고 있다. 본 논문은 양단이 단순 지지된 보 구조물들의 동특성과 진동에 대한 문제를 다루며, 국부좌표를 사용한 지배방정식이 유도된다. 갤러킨의 모드합 방법으로 해가 가정되고, 고유진동수를 구하는 행렬식을 푸는 데는 이분법을 적용하였다. 유한요소법이 단지 기하학적 경계조건만을 만족시키는 허용함수를 사용하는 반면, 본 논문에서는 갤러킨의 모드합 방법을 적용하여, 지배방정식과 경계조건을 모두 만족하는 고유함수를 사용하였다. 계의 동특성을 알기위해, 네 종류의 불균일 단면을 갖는 단순 지지 보에 대해 모달 해석과 시험이 수행되었으며, 해석 결과는 실험 결과와 근사한 일치를 나타내었다.
Beam-type structures with non-uniform cross sections are widely used in mechanical, architectural, and civil engineering fields. This paper deals with dynamic characteristics and vibration problems. Governing equations are first derived by using local coordinates. Their solutions are then assumed by...
Beam-type structures with non-uniform cross sections are widely used in mechanical, architectural, and civil engineering fields. This paper deals with dynamic characteristics and vibration problems. Governing equations are first derived by using local coordinates. Their solutions are then assumed by using Galerkin's mode summation method. Bisection method is also applied in solving the determinant of the matrix which can provide natural frequencies. Whereas finite element methods adopt admissible functions satisfying only geometric boundary condition, in this study we apply Galerkin's mode summation method which uses eigen-functions satisfying both governing equations and boundary conditions. Modal analysis and experimental tests are finally performed using simply-supported beams with four different non-uniform cross-sections. Our analytical results then show good agreement with experimental ones.
Beam-type structures with non-uniform cross sections are widely used in mechanical, architectural, and civil engineering fields. This paper deals with dynamic characteristics and vibration problems. Governing equations are first derived by using local coordinates. Their solutions are then assumed by using Galerkin's mode summation method. Bisection method is also applied in solving the determinant of the matrix which can provide natural frequencies. Whereas finite element methods adopt admissible functions satisfying only geometric boundary condition, in this study we apply Galerkin's mode summation method which uses eigen-functions satisfying both governing equations and boundary conditions. Modal analysis and experimental tests are finally performed using simply-supported beams with four different non-uniform cross-sections. Our analytical results then show good agreement with experimental ones.
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문제 정의
그러나 이제까지의 연구들은 다양한 불균일 단면보에 대한 진동 연구들이 이루어져왔지만, 해석적인 연구들이 주를 이루었다. 따라서, 본 논문 에서는 불균일 단면을 갖는 단순 지지 보 모델에 대해 국부좌표를 이용하여 지배방정식을 유도하고, 지배방정 식과 경계조건을 모두 만족시키는 고유함수를 이용하는 갤러킨의 모드합 방법에 의한 수치해석과 모달시험을 통해 본 논문의 수치해의 타당성을 검토하고자 한다.
제안 방법
먼저 각 보에 대하여 모달테스트를 수행하여 고유진동수와 진폭, 모드형상을 측정함으로써 보의 동특성을 확인하였다. Sine/noise generator는 스위프(sweep)가진법 및 랜덤(random) 가진법을 모두 사용할 수 있다.
) 이므로 고려되어야할 매개변수는 실제 3가지이다. 본 논문에서는 해석상의 용이함을 위해, e1,= e3 로 하여 2개의 매개변수 γ′ = 1 - γ와 z= e2/2를 변화시켜가며 해석하였다. 행렬식 det [ S ] = 0의 해 βn은 이분법(bisection method)을 이용하여 구하였다.
실험에 사용된 균일보는 Al 6061 판재를 사용하였으며, 전장 1000mm, 폭 32mm 그리고 두께 4mm의 크기로 제작하였고, 보의 양끝 단에 지지를 위하여 직경 2mm의 구멍을 관통시켰다. 불균일 단면보는 균일 단면 보와 동일한 재질과 크기를 적용하되 보 중앙부에 대칭으로 200, 400mm의 두 종류의 길이에 대하여 각각 2, 1.3mm 깊이의 홈 형태를 갖는 불균일 단면을 추가로 가공하여 제작하였다.
1의불균일 단면보는 강성 및 질량의 분포가 달라지기 때문에 계의 고유진동수 및 모드형상에 변화를 주게 된다. 수치해석에서는 이와 같은 불균일 단면보에 대해, 홈의 깊이 및 길이를 변화시킴으로써 불균일 단면보의 강성분포와 질량분포 변화가 계의 고유치 및 형상함수에 미치는 영향을 해석한다. 불균일 단면보의 고유치 해석은 계의 특성방정식의 해 βn을 구하는 것이다.
대상 데이터
실험에 사용된 균일보는 Al 6061 판재를 사용하였으며, 전장 1000mm, 폭 32mm 그리고 두께 4mm의 크기로 제작하였고, 보의 양끝 단에 지지를 위하여 직경 2mm의 구멍을 관통시켰다. 불균일 단면보는 균일 단면 보와 동일한 재질과 크기를 적용하되 보 중앙부에 대칭으로 200, 400mm의 두 종류의 길이에 대하여 각각 2, 1.
데이터처리
(1) 불균일 단면보의 모드해석을 위하여 국부좌표를 이용한 형상함수를 정의하고, Galerkin의 모드합 방법에 의한 고유진동수와 고유모드를 얻었다. 고유진동수에 대한 정량적 비교를 위하여 상용 FEM S/W (Pro/Engineer)를 사용한 해석결과와 비교하여 1% 미만의 오차로 비교적 근사한 결과를 얻었다. 또한, 모달테스트 결과와 비교한 수치도 측정장비의 해상도 오차에서 대부분 크게 벗어나지 않았다.
25(Hz)의 해상도로 100(Hz) 범위에서 3차 모드까지 구하였다. 랜덤 가진에 의한 신호의 왜곡을 줄이기 위해 전달함수는 64회 평균을 하여 스무딩(smoothing)한 결과를 얻었다. 모드형상은 전달함수로부터 피크피킹방법(peak picking method)을 사용하여 계산하였다[13].
이론/모형
먼저 각 보에 대하여 모달테스트를 수행하여 고유진동수와 진폭, 모드형상을 측정함으로써 보의 동특성을 확인하였다. Sine/noise generator는 스위프(sweep)가진법 및 랜덤(random) 가진법을 모두 사용할 수 있다. 그러나 실험 대상인 보 구조는 단순하기 때문에 실험시간이 짧은 랜덤가진법을 이용하여 전달함수를 구하였다.
랜덤 가진에 의한 신호의 왜곡을 줄이기 위해 전달함수는 64회 평균을 하여 스무딩(smoothing)한 결과를 얻었다. 모드형상은 전달함수로부터 피크피킹방법(peak picking method)을 사용하여 계산하였다[13]. 가진점은 x = 0의위치에 고정하고 측정위치는 시험보를 10등분하여 l/10만큼씩 거리를 증가시켜가며 전달함수를 계측하였다.
3333px;">3 로 하여 2개의 매개변수 γ′ = 1 - γ와 z= e2/2를 변화시켜가며 해석하였다. 행렬식 det [ S ] = 0의 해 βn은 이분법(bisection method)을 이용하여 구하였다. 경우의 수를 줄이기 위해 해석 대상 보는 홈 깊이비 γ′ =1/2, 1/3로, 홈의 길이 z=0.
성능/효과
(1) 불균일 단면보의 모드해석을 위하여 국부좌표를 이용한 형상함수를 정의하고, Galerkin의 모드합 방법에 의한 고유진동수와 고유모드를 얻었다. 고유진동수에 대한 정량적 비교를 위하여 상용 FEM S/W (Pro/Engineer)를 사용한 해석결과와 비교하여 1% 미만의 오차로 비교적 근사한 결과를 얻었다.
(2) 불균일 단면보의 홈 깊이가 깊어질수록 고유진동 수가 감소하며, 진동모드의 절점과 홈이 있는 경우 동적강성효과가 발생하는 역학적 타당성을 확인할 수 있다.
(3) 모드형상에 대한 확인을 위하여 모달시험에 의한 형상벡터를 구하여 수치해석에 의한 결과와 비교하였으며, 다만, 경계조건 유지를 위하여 가진점 위치를 다양하게 변화시킬 수 없었으며 초기 정적 처짐량에 의한 오차 등으로 보다 더 정밀한 실험 결과를 확보할 수 없었으나, 수치해석 결과에서 획득한 불균일 단면보의 모드형상에서 볼 수 있는 특징을 확인할 수 있었다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
불균일 단면을 갖는 보 구조물이 사용되는 이유는?
기계, 토목, 건축, 항공공학 등의 구조물에서 불균일 단면을 갖는 보 구조물이 전체 구조물을 이루는 부분 구조물로서 많이 이용되고 있다. 이는 때에 따라 균일단면을 갖는 보 구조물보다 더 좋은 강도나 하중분포를 가질 수도 있고, 특별한 건축이나 기능적인 요구를 만족시킬 수도 있기 때문이다. 따라서 다양한 특성을 갖는 보의 굽힘진동 문제는 공학의 제 분야에서 널리 사용되어 왔다.
어떤 구조물에서 불균일 단면을 갖는 보 구조물을 볼수 있는가?
기계, 토목, 건축, 항공공학 등의 구조물에서 불균일 단면을 갖는 보 구조물이 전체 구조물을 이루는 부분 구조물로서 많이 이용되고 있다. 이는 때에 따라 균일단면을 갖는 보 구조물보다 더 좋은 강도나 하중분포를 가질 수도 있고, 특별한 건축이나 기능적인 요구를 만족시킬 수도 있기 때문이다.
불균일 단면 보의 해석적 특징은?
따라서 다양한 특성을 갖는 보의 굽힘진동 문제는 공학의 제 분야에서 널리 사용되어 왔다. 불균일 단면 보는 지배적인 특성 미분방정식의 계수들이 변수적이기 때문에 균일 단면보의 진동문제에 비해 소수의 해석적 논문들이 주를 이루어 왔다[1-2]. Klein[3]은불균일 단면 보의 횡진동 문제를 유한요소법과 Rayleigh-Ritz 방법으로 연구하였고, Gupta[4]는 축 방향을 따라 변단면을 지닌 테이펴진 보의 진동문제를 형상요소를 포함하는 단순한 함수를 이용하여 해석하였다.
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B. K. Lee, S. J. Oh, C. E. Park and T. E. Lee, "Free Vibrations of Tapered Beams with Constant Surface Area", Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 21, No. 1, pp.66-73, 2011. DOI : http://dx.doi.org/10.5050/KSNVE.2011.21.1.066
J. W. Lee, J. H. Kim and J. Y. Lee, "Exact Solutions for Bending Vibration of Beam with Linearly Reduced Width Along Its Length", Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 25, No. 6, pp.66-73, 2015. DOI : http://dx.doi.org/10.5050/KSNVE.2015.25.6.420
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