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문제 정의
- 선행 연구에서는 초등학생들이 수감각을 활용하기보다 알고리즘을 활용하는 경향이 높다고 하였는데, 중학생들은 수감각과 알고리즘을 적절하게 활용하고 있는지에 대한 연구가 필요하다. 따라서 본 연구는 수감각이 지속적으로 필요한 중학생에 대한 수감각 발달 정도를 조사하여 이를 초등학생과 비교해 보고, 학생들의 문제해결 방법을 수감각 구성 요소별로 분석함으로써 수감각 지도 방향에 대한 시사점을 제공하고자 하였다.
- 초등학교 6학년까지 분수의 사칙연산과 소수의 사칙연산을 학습하고, 중학교 1, 2학년 과정에서는 정수와 유리수의 개념 및 연산을 학습하고, 중학교 3학년에서는 무리수를 포함함으로써 수의 범위가 실수까지 확장된다. 따라서 본 연구에서는 분수의 사칙연산과 소수의 사칙연산을 학습한 초등학교 6학년과 유리수의 개념이 완성되는 중학교 2학년을 대상으로 유리수 범위 내에서 수감각 검사를 실시하였다. 본 연구는 D광역시 소재의 초등학교 2개, 중학교 2개를 연구 대상으로 선정하였다.
- 2009개정 교육과정에 따르면 수와 연산 영역에서 계산 연습을 통한 단순한 연산 기능 신장이 아니라 연산 감각 및 양적 추론 능력을 강조하고 있다. 또한 사칙 연산의 계산 결과를 어림한 후 어림한 값을 확인하거나 소수의 복잡한 계산에 있어서 계산기를 도입하여 활용할 수 있게 함으로써, 지나친 계산 연습에서 기인하는 학습 부담을 경감하고자 하였다(교육인적자원부, 2009). 이처럼 수와 연산의 영역에서 뿐만 아니라, 더 나아가서 수학 전반에서 수감각의 중요성이 강조되고 있다.
- 본 연구는 검사 문항의 정답률뿐만 아니라 학생들이 어떤 방법으로 문제를 해결하는지 알아보는 데 초점이 있다. 수감각 검사 문항을 수감각 활용, 직접 계산, 설명 없음 등으로 분류하여 분석한 선행 연구(방정숙, 2005)를 바탕으로 <표 Ⅲ-5>와 같이 수감각에 대한 문제해결 방법의 분류 기준을 정하였다.
- 본 연구는 초등학교 6학년 학생과 중학교 2학년 학생이 문제해결 과정에서 얼마나 수감각을 활용하는지 분석하기 위해 검사 도구를 활용한 조사연구방법을 선택하였다.
- 본 연구는 학생들의 문제해결 방법을 분석하기 위한 것이므로 검사지의 모든 문제에는 답과 함께 그 이유를 적도록 하였다. 또한 학생들이 형식에 얽매이지 않고 자유롭게 이유를 적을 수 있도록 모든 문제의 풀이란에는 ‘구체적인 수식으로 표현하지 않아도 됨’이라는 진술을 덧붙였다.
- 그리고 수감각 구성 요소에 따라 학생들의 수감각 활용에 차이가 있다고 하였다. 본 연구에서는 이러한 경향이 중학교에서도 계속 되는지 혹은 학년이 올라가면서 자연스럽게 수감각이 길러지는지 알아보기 위하여 초등학생과 중학생의 수감각 활용 정도를 함께 분석하였다.
- Faulkner & Cain(2009)은 사실상 모든 수학 수업에서 만들어지는 논의와 연결을 나타내는 ‘수감각의 구성 요소’의 모델을 제시하면서 그 구성 요소로 양과 크기, 기수법, 같음, 십진법, 수의 형태, 비례추론, 기하와 대수의 사고를 제시했다. 수감각의 모듈식 구성 요소를 서술하면서 교사들이 습관적으로 수학적 연결을 제공하여 학생들이 수감각을 개발하도록 도와주고자 했다.
- 본 연구에서는 수감각을 적절히 사용하여 문제를 해결하는 방법과 수감각으로 해결할 수 있는 문제를 알고리즘을 적용하는 계산 기능을 사용하여 문제를 해결하는 방법으로 수감각 문제의 해결 방법을 분류하였다. 이 분류를 바탕으로 초등학교 6학년과 중학교 2학년 학생들의 문제해결 방법, 수감각 검사 점수의 높고 낮음에 따른 문제해결 방법, 수감각의 구성 요소에 따른 문제해결 방법을 분석하여 수감각의 지도 방향에 대한 시사점을 제공하고자 한다.
제안 방법
- ‘수와 연산에 대한 지식의 적용과 반성’과 관련된 2문제, ‘수의 크기에 대한 감각’과 관련된 2문제, ‘수에 대한 연산의 결과 이해’와 관련된 1문제, ‘기준 척도의 사용’과 관련된 1문제로 분류하였다.
- ‘홀수×홀수=홀수’임을 활용하여 직접 곱해보지 않고도 주어진 수 중 홀수가 3개뿐이므로 4355를 주어진 4개의 수로 분해할 수 없음(또는 4개의 수로 4355를 구성할 수 없음)으로 답한 경우는 수감각 활용, 4개의 수를 직접 곱해보거나 4355를 직접 인수분해한 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다.
- 3명의 연구자는 각자 30명의 답안을 검토한 후 문항에 따른 채점의 세부기준 및 문제해결 방법 분류 기준을 다시 논의하였다. 그리고 초등학교 2개교와 중학교 2개교의 답안을 나누어 채점한 후 논의가 필요한 경우는 다시 협의하여 채점하였다.
- 본 검사를 실시하기 위해 해당 학교의 수학 교사들을 직접 만나 검사 의도를 설명하였고 학생들이 답과 함께 이유를 상세히 적을 수 있도록 지도해 줄 것을 요청하였다. 검사는 초등학교와 중학교 각 학교별로 2학기 개학 후 첫째 주에 실시하였다. 초등학교는 담임교사의 지도 아래, 중학교는 해당 수학 교사의 지도 아래 30분간 실시되었고, 검사 실시 후 검사지는 연구자들이 직접 회수하였다.
- 두 번째로 수감각 검사의 성취도 따라 문제해결 방법에 차이가 있는지 알아보기 위해 수감각 검사점수가 평균보다 높은 집단을 상집단으로, 낮은 집단을 하집단으로 분류하였다. 그리고 난 후 집단 별로 수감각 활용과 알고리즘 활용의 비율을 비교하였다. 마지막으로 수감각 구성 요소별로 초등학생과 중학생의 문제해결 방법의 빈도분석을 바탕으로 수감각 발달 정도를 분석하였다.
- 수감각 문제 5번에 대한 문제해결 방법 분석 결과는 <표 Ⅳ-9>와 같다. 나누어지는 수가 같은 경우 나누는 수가 클수록 값은 작아진다고 답한 경우는 수감각 활용, 직접 나눗셈을 하여 값을 비교한 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다. 6개의 문제 중에 학생들이 수감각을 활용하여 문제를 해결한 비율이 초등학생 47%, 중학생 52%로 가장 높게 나타났는데, 초등학생과 중학생 모두 제수의 의미를 알고 나눗셈 결과를 잘 이해하고 있다고 볼 수 있다.
- 답안 중 기준 척도인 과 1을 사용하여 크기를 비교한 경우는 수감각 활용, 모두 소수로 나타내거나 모두 분수로 나타내어 크기를 비교하는 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다.
- 대략적인 금액에 대한 감각으로 약 36000원이라고 답한 경우는 수감각 활용, 정확하게 2990×12=35580을 계산하여 답한 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다.
- 여기서 수감각을 활용한 해결 방법(이하, 수감각 활용)이란 무조건 계산을 먼저 시도하기보다 문제 상황에 따라 더 효율적인 방법이 있음을 알고 이를 활용하여 문제를 해결하는 경우이고, 알고리즘을 활용한 문제해결 방법(이하, 알고리즘 활용)이란 기계적인 알고리즘을 사용하여 문제를 해결하는 경우이다. 또한 무응답인 경우, 그냥 또는 느낌 등으로 답한 경우, 문제와 전혀 상관없는 무의미한 풀이를 적은 경우는 기타로 분류하였다.
- 문제 1번은 Zazkis & Campbell(1996)이 예비초등교사를 대상으로 한 연구에서 사용한 문제로써 7의 배수와 12의 배수가 있는지 묻는 문제인데, 본 연구에서는 수감각에 초점을 맞추기 위해 7의 배수만 묻는 문제로 수정하였다.
- 본 연구는 학생들이 문제해결 과정에서 활용한 해결 방법을 분석하는 데 초점이 있으므로 문제에 대한 답과 그 이유가 모두 타당한 경우에만 정답(1점)으로 채점하였으며, 답은 맞았으나 이유를 적지 않았거나 타당하지 않은 이유인 경우에는 오답(0점)으로 채점하였다. 검사지의 채점 기준은 <표 Ⅲ-4>와 같다.
- 풀이 과정의 확인을 통해 학생들이 수감각을 활용하는 여부를 파악할 수 있으므로 학생들의 수감각 문제의 해결 방법에 대한 면밀한 분석이 필요하다. 본 연구에서는 수감각을 적절히 사용하여 문제를 해결하는 방법과 수감각으로 해결할 수 있는 문제를 알고리즘을 적용하는 계산 기능을 사용하여 문제를 해결하는 방법으로 수감각 문제의 해결 방법을 분류하였다. 이 분류를 바탕으로 초등학교 6학년과 중학교 2학년 학생들의 문제해결 방법, 수감각 검사 점수의 높고 낮음에 따른 문제해결 방법, 수감각의 구성 요소에 따른 문제해결 방법을 분석하여 수감각의 지도 방향에 대한 시사점을 제공하고자 한다.
- 수감각 검사 문항을 수감각 활용, 직접 계산, 설명 없음 등으로 분류하여 분석한 선행 연구(방정숙, 2005)를 바탕으로 와 같이 수감각에 대한 문제해결 방법의 분류 기준을 정하였다.
- 수감각 검사 점수의 높고 낮음에 따라 문제해결 방법에 차이가 있는지 알아보기 위해 상집단과 하집단으로 분류하여 비교하였다. 수감각 검사 점수의 평균(초:3.
- 수감각 검사 점수의 평균(초:3.07점, 중:3.58점)을 기준으로 수감각 검사 점수가 평균보다 높은 집단(4∼6점)을 상집단, 평균보다 낮은 집단(0∼3점)을 하집단으로 나누어 문제해결 방법을 비교하였다.
- 수감각의 구성 요소에 대한 문헌연구를 바탕으로 본 연구에서는 수감각의 다양한 구성 요소 중에서 특히 수와 연산에 대한 지식의 적용 및 반성, 수의 크기에 대한 감각, 수에 대한 연산의 결과 이해, 기준 척도의 사용을 강조하면서 그에 따른 문제를 구성하여 검사를 실시하였다.
- 수와 연산에 대한 지식을 주어진 문제 상황에서 적절하게 적용하고 활용하는지를 알아보기 위해 연산에 대한 적용 문제 1개, 수에 대한 적용 문제 1개로 구성하였다. 먼저 1번 문제는 연산에 대한 지식을 적절히 적용하고 반성하는 문제로서 7로 나누어떨어지는 것에 대한 의미를 이해하고 효율적인 전략을 선택하는지 알아보기 위한 문제이며, 학생들의 문제해결 방법을 분석한 결과는 <표 Ⅳ-5>와 같다.
- 수의 크기에 대한 감각은 수에 대한 이해를 바탕으로 수의 크기에 대한 감각을 지니는 것으로 상대적이고 절대적인 감각으로 나누어 문제를 선정하였다. 수의 절대적 크기에 대한 감각을 알아보기 위해 실제 생활에서 주로 사용되는 큰 수에 대한 문제 1개(문제3), 수의 상대적 크기에 대한 감각을 알아보기 위해 분수와 소수의 크기를 상대적으로 비교하는 문제 1개(문제4)로 구성하였다.
- 수의 크기에 대한 감각은 수에 대한 이해를 바탕으로 수의 크기에 대한 감각을 지니는 것으로 상대적이고 절대적인 감각으로 나누어 문제를 선정하였다. 수의 절대적 크기에 대한 감각을 알아보기 위해 실제 생활에서 주로 사용되는 큰 수에 대한 문제 1개(문제3), 수의 상대적 크기에 대한 감각을 알아보기 위해 분수와 소수의 크기를 상대적으로 비교하는 문제 1개(문제4)로 구성하였다.
- 각 문제에 대한 문제해결 방법을 <표 Ⅲ-5>에서 정의한 기준에 따라 분류하고, 문제해결 방법에 대한 빈도수를 분석하였다. 여기에서는 문제해결 방법에 초점을 맞추어 집단별로 문제해결 방법에 차이가 있는지 알아보기 위해 전체 6개 문제에 대하여 2검정을 실시하였으며, 각 문제별로는 그 해결 방법의 예를 중심으로 살펴보았다.
- 수감각 검사 문항을 수감각 활용, 직접 계산, 설명 없음 등으로 분류하여 분석한 선행 연구(방정숙, 2005)를 바탕으로 <표 Ⅲ-5>와 같이 수감각에 대한 문제해결 방법의 분류 기준을 정하였다. 우선 정답인 경우에는 문제해결 방법을 수감각을 활용한 경우와 알고리즘을 활용한 경우인 두 가지로 분류하였고, 오답인 경우에는 수감각 활용, 알고리즘 활용, 기타로 분류하였다. 여기서 수감각을 활용한 해결 방법(이하, 수감각 활용)이란 무조건 계산을 먼저 시도하기보다 문제 상황에 따라 더 효율적인 방법이 있음을 알고 이를 활용하여 문제를 해결하는 경우이고, 알고리즘을 활용한 문제해결 방법(이하, 알고리즘 활용)이란 기계적인 알고리즘을 사용하여 문제를 해결하는 경우이다.
- 답안 중 기준 척도인 과 1을 사용하여 크기를 비교한 경우는 수감각 활용, 모두 소수로 나타내거나 모두 분수로 나타내어 크기를 비교하는 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다. 이 문제는 기준 척도에 대한 감각을 요구하기도 하나, 본 연구에서는 수의 상대적인 크기에더 초점을 두고 수의 크기에 대한 문제로 분석하였다. 수감각을 활용하여 문제를 해결한 학생은 초등학생 5%, 중학생 10%이며 알고리즘을 활용하여 문제를 해결한 학생은 초등학생 31%, 중학생 50%로 나타났다.
- 먼저 1번 문제는 연산에 대한 지식을 적절히 적용하고 반성하는 문제로서 7로 나누어떨어지는 것에 대한 의미를 이해하고 효율적인 전략을 선택하는지 알아보기 위한 문제이며, 학생들의 문제해결 방법을 분석한 결과는 <표 Ⅳ-5>와 같다. 직접 나누어보지 않고도 두 수 12358과 12368의 차가 7보다 크기 때문에 7로 나누어떨어지는 수가 있다고 답한 경우는 수감각 활용, 직접 나눗셈 계산을 한 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다. 수감각을 활용하여 문제를 해결한 학생이 초등학생, 중학생 모두 7%에 불과하였으며, 초등학생과 중학생 사이에 비율의 차이가 없었다.
- 초등학교 3학년 대상으로 만들어진 (세 자리 자연수)×(두 자리 자연수)의 문제를 (네 자리 자연수)×(두 자리 자연수)의 문제가 되도록 수의 크기를 조정하였다.
- 초등학생과 중학생이 사용한 문제해결 방법의 빈도를 구한 후, 전체 6개 문제에 대하여 수감각 활용을 사용한 비율과 알고리즘 활용을 사용한 비율, 기타 비율을 각각 구하였다. 그리고 두 집단 사이에 문제해결 방법에 대한 차이를 알아보기 위해서 x2검정을 실시하였다.
대상 데이터
- D 중학교는 동일한 학군은 아니지만 C 중학교와 학력 수준 및 사회 경제적 수준이 비슷하다고 판단해서 선정하였다. A, B 초등학교는 6학년 전체 학급(A: 4학급, B: 3학급), C 중학교는 3학급, D 중학교는 2학급을 연구 대상으로 하였다. <표 Ⅲ-1>과 같이 336명의 자료를 수집하였으나 검사지를 백지 제출한 16명의 자료는 제외하고 320명의 자료를 분석 대상으로 하였다.
- A, B 초등학교는 6학년 전체 학급(A: 4학급, B: 3학급), C 중학교는 3학급, D 중학교는 2학급을 연구 대상으로 하였다. <표 Ⅲ-1>과 같이 336명의 자료를 수집하였으나 검사지를 백지 제출한 16명의 자료는 제외하고 320명의 자료를 분석 대상으로 하였다.
- 따라서 본 연구에서는 분수의 사칙연산과 소수의 사칙연산을 학습한 초등학교 6학년과 유리수의 개념이 완성되는 중학교 2학년을 대상으로 유리수 범위 내에서 수감각 검사를 실시하였다. 본 연구는 D광역시 소재의 초등학교 2개, 중학교 2개를 연구 대상으로 선정하였다. A, B 초등학교와 C 중학교는 지리적 위치가 비슷하고 같은 학군에 속한 학교이다.
데이터처리
- 각 문제에 대한 문제해결 방법을 에서 정의한 기준에 따라 분류하고, 문제해결 방법에 대한 빈도수를 분석하였다.
- 초등학생과 중학생이 사용한 문제해결 방법의 빈도를 구한 후, 전체 6개 문제에 대하여 수감각 활용을 사용한 비율과 알고리즘 활용을 사용한 비율, 기타 비율을 각각 구하였다. 그리고 두 집단 사이에 문제해결 방법에 대한 차이를 알아보기 위해서 x2검정을 실시하였다. 그 결과 <표 Ⅳ-2>에 나타난 바와 같이 초등학생과 중학생 사이에 사용하는 문제해결 방법에 유의미한 차이가 있었다.
- 그리고 난 후 집단 별로 수감각 활용과 알고리즘 활용의 비율을 비교하였다. 마지막으로 수감각 구성 요소별로 초등학생과 중학생의 문제해결 방법의 빈도분석을 바탕으로 수감각 발달 정도를 분석하였다.
- 본 연구에서는 먼저 초등학생과 중학생이 사용한 문제해결 방법에 차이가 있는지 알아보기 위해 x2 검정을 실시하였다. 두 번째로 수감각 검사의 성취도 따라 문제해결 방법에 차이가 있는지 알아보기 위해 수감각 검사점수가 평균보다 높은 집단을 상집단으로, 낮은 집단을 하집단으로 분류하였다.
이론/모형
- 검사 문항은 선행 연구(방정숙, 2005; 선춘화, 2005; 신창협, 2009; Zazkis & Campbell, 1996)의 문제들 중에서 선정하였다.
- 문제 2번과 5번은 방정숙(2005) 연구에서 초등학교 6학년을 대상으로 사용한 문제이고, 문제 4번과 6번은 선춘화(2005)연구에서 초등 6학년을 대상으로 사용한 문제로, 초등학교 6학년 및 중학교 2학년에게 적절한 문제로 생각되어 수정 없이 그대로 사용하였다. 문제 3번은 신창협(2009)의 연구에서 사용한 문제를 근거로 하였다. 초등학교 3학년 대상으로 만들어진 (세 자리 자연수)×(두 자리 자연수)의 문제를 (네 자리 자연수)×(두 자리 자연수)의 문제가 되도록 수의 크기를 조정하였다.
성능/효과
- 1번과 2번 문제를 바탕으로 ‘수와 연산에 대한 지식의 적용과 반성’에서의 문제해결 방법에 대해 살펴본 결과, 초등학생과 중학생 모두 수감각 활용보다 알고리즘 활용을 사용한 비율이 훨씬 높게 나타났다.
- 3번과 4번 문제를 바탕으로 ‘수의 크기에 대한 감각’에서의 문제해결 방법에 대해 알아본 결과, 전반적으로 알고리즘을 활용하는 비율이 높게 나타났다.
- 나누어지는 수가 같은 경우 나누는 수가 클수록 값은 작아진다고 답한 경우는 수감각 활용, 직접 나눗셈을 하여 값을 비교한 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다. 6개의 문제 중에 학생들이 수감각을 활용하여 문제를 해결한 비율이 초등학생 47%, 중학생 52%로 가장 높게 나타났는데, 초등학생과 중학생 모두 제수의 의미를 알고 나눗셈 결과를 잘 이해하고 있다고 볼 수 있다. 이처럼 교과서에서 자주 다루어 본 유형에 대해서는 수감각 활용 비율이 높게 나타나므로, 수감각의 다른 요소들도 학생들이 잘 활용할 수 있도록 지도할 필요가 있다.
- 넷째, 수감각 구성 요소별로 비교했을 때, ‘수와 연산에 대한 지식의 적용과 반성’과 ‘수의 크기에 대한 감각’의 요소에서 수감각 활용을 사용한 비율이 다른 요소에 비해서 낮게 나타났다(4%∼13%).
- 검정을 실시하였다. 두 번째로 수감각 검사의 성취도 따라 문제해결 방법에 차이가 있는지 알아보기 위해 수감각 검사점수가 평균보다 높은 집단을 상집단으로, 낮은 집단을 하집단으로 분류하였다. 그리고 난 후 집단 별로 수감각 활용과 알고리즘 활용의 비율을 비교하였다.
- 둘째, 같은 학교급 내에서는 상집단의 학생들이 하집단의 학생들보다 수감각 활용을 사용한 비율, 알고리즘 활용을 사용한 비율이 모두 높았고 하집단의 학생들은 정답 중 알고리즘 활용을 사용한 비율이 높게 나타났다. 이를 통해 상집단의 학생들은 수감각과 알고리즘을 둘 다 잘 활용하고 있으나 하집단의 학생들은 문제에 따라 융통성 있게 대처하기보다 전반적으로 알고리즘을 활용하여 해결하려는 경향을 보임을 알 수 있었다.
- 수감각을 활용하여 문제를 해결한 학생이 초등학생, 중학생 모두 7%에 불과하였으며, 초등학생과 중학생 사이에 비율의 차이가 없었다. 또한 알고리즘을 활용하여 문제를 해결한 학생이 초등학생과 중학생 각각 47%, 44%로 수감각을 활용하는 비율보다 높았다. 학생들은 정확한 계산을 통해 답을 찾는 문제에 익숙해서 수의 존재성을 묻는 문제에서도 알고리즘을 활용한 계산을 통해서 답을 찾는 경향이 있었다.
- 어려운 수학적 내용이나 복잡한 계산을 요구하는 문제가 아니라 수감각을 활용하면 간단히 해결할 수 있는 문제임에도 불구하고 성취도가 높지 않음을 알 수 있다. 또한 초등학생과 중학생 두 집단 간에 수감각 점수의 평균에 차이가 있는지 알아보기 위하여 t-검정을 실시한 결과, 초등학생과 중학생의 수감각 점수에 대한 평균은 통계적으로 유의미한 차이가 있었다. 중학생들의 점수가 초등학생들의 점수보다 높았다.
- 다음으로 초등학교와 중학교 사이에 상하집단의 문제해결 방법을 비교한 결과는 <표 Ⅳ-4>와 같다. 먼저 중학교 상집단과 초등학교 상집단의 문제해결 방법을 비교해 본 결과 두 집단 사이에 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 중학교 상집단은 초등학교 상집단에 비해 상대적으로 수감각 활용 비율이 높게 나타났으며, 초등학교 상집단은 중학교 상집단에 비해 상대적으로 알고리즘 활용 비율이 높게 나타났다.
- 초등학교와 중학교 모두 상하집단이 사용한 문제해결 방법에 유의미한 차이가 있다고 나타났다. 상집단은 하집단에 비해 수감각 활용을 사용한 비율, 알고리즘 활용을 사용한 비율이 높았으며, 하집단은 상집단에 비해 기타의 비율이 높게 나타났다. 즉, 초등학교와 중학교 모두 상집단에서 수감각 활용, 알고리즘 활용을 사용하여 문제해결을 더 많이 시도하며, 하집단은 일단 알고리즘 활용을 먼저 시도하거나 또는 문제에 따른 적절한 문제해결 방법을 찾지 못하고 있는 것으로 보인다.
- 셋째, 중학교 상집단과 초등학교 상집단을 비교했을 때, 중학교 상집단들은 수감각 활용을 더 많이 시도하고, 초등학교 상집단들은 알고리즘 활용을 더 많이 시도하는 경향이 있었다. 하지만 하집단들은 모든 부분에서 유의미한 차이가 없었다.
- #가 대략 1이고, #는 대략 #이라는 기준 척도를 사용하여 문제를 해결한 경우는 수감각 활용, 주어진 분수를 모두 소수로 고치거나 소수를 모두 분수로 고쳐서 그 값을 계산한 후 1에 가까운 수를 찾는 경우는 알고리즘 활용으로 분류하였다. 수감각을 활용하여 문제를 해결한 비율이 초등학생 13%, 중학생 39%로 초등학생에 비해 중학생이 기준 척도 사용에 대한 비율이 높은 것으로 나타났다. 반면 알고리즘을 활용하여 문제를 해결한 비율은 초등학생이 더 높게 나타났다.
- 이 문제는 기준 척도에 대한 감각을 요구하기도 하나, 본 연구에서는 수의 상대적인 크기에더 초점을 두고 수의 크기에 대한 문제로 분석하였다. 수감각을 활용하여 문제를 해결한 학생은 초등학생 5%, 중학생 10%이며 알고리즘을 활용하여 문제를 해결한 학생은 초등학생 31%, 중학생 50%로 나타났다. 초등학생에 비해 중학생들의 정답률이 높게 나타났으며, 초등학생들은 알고리즘의 방법을 많이 활용했으나 계산상의 오류로 오답으로 분류된 경우가 많았다.
- 57로 높은 비율로 나타났다. 알고리즘을 활용하는 성향은 수감각의 구성 요소별, 문항별에 관계없이 전반적으로 높은 비율로 나타났으며, 정답률이 높다고 해서 해당 문제의 수감각 활용 비율이 높은 것도 아니었다. 다만, 나눗셈의 결과를 비교하는 문제는 직접 나누어보지 않고 수감각을 활용하여 그 이유를 작성한 비율이 상대적으로 높았다( Ⅳ-9 참조).
- 둘째, 같은 학교급 내에서는 상집단의 학생들이 하집단의 학생들보다 수감각 활용을 사용한 비율, 알고리즘 활용을 사용한 비율이 모두 높았고 하집단의 학생들은 정답 중 알고리즘 활용을 사용한 비율이 높게 나타났다. 이를 통해 상집단의 학생들은 수감각과 알고리즘을 둘 다 잘 활용하고 있으나 하집단의 학생들은 문제에 따라 융통성 있게 대처하기보다 전반적으로 알고리즘을 활용하여 해결하려는 경향을 보임을 알 수 있었다. 따라서 상황에 따라 언제 알고리즘이 필요한지, 언제 수감각을 활용하는 것이 효율적인지 분별할 수 있는 안목을 지속적으로 길러줄 필요가 있다.
- 첫째, 학생들의 알고리즘을 활용한 계산 성향이 본 연구에서 전반적으로 높게 나타났다. 전체 6문제 중에 수감각 활용을 사용하여 문제해결을 시도한 비율이 초등학생은 0.16, 중학생은 0.23으로 상당히 낮은 비율이었고, 알고리즘 활용을 사용하여 문제해결을 시도한 비율이 초등학생은 0.55, 중학생은 0.57로 높은 비율로 나타났다. 알고리즘을 활용하는 성향은 수감각의 구성 요소별, 문항별에 관계없이 전반적으로 높은 비율로 나타났으며, 정답률이 높다고 해서 해당 문제의 수감각 활용 비율이 높은 것도 아니었다.
- 먼저 중학교 상집단과 초등학교 상집단의 문제해결 방법을 비교해 본 결과 두 집단 사이에 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 중학교 상집단은 초등학교 상집단에 비해 상대적으로 수감각 활용 비율이 높게 나타났으며, 초등학교 상집단은 중학교 상집단에 비해 상대적으로 알고리즘 활용 비율이 높게 나타났다. 중학교 하집단과 초등학교하집단에는 문제해결 방법에 있어서 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다.
- 중학교 상집단은 초등학교 상집단에 비해 상대적으로 수감각 활용 비율이 높게 나타났으며, 초등학교 상집단은 중학교 상집단에 비해 상대적으로 알고리즘 활용 비율이 높게 나타났다. 중학교 하집단과 초등학교하집단에는 문제해결 방법에 있어서 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다. 이를 통해 학년이 올라갈수록 상집단에서는 수감각이 향상되었으나, 하집단에서는 그렇지 못한 것으로 볼 수 있다.
- 하지만 하집단들은 모든 부분에서 유의미한 차이가 없었다. 즉 학년이 올라갈수록 상집단에서는 수감각이 향상되었으나, 하집단에서는 그렇지 못한 것으로 나타났다. 상대적으로 하집단이 상집단에 비해 수감각 활용에 대한 경험이 부족한 것으로 보이며, 수감각은 연령이 높아진다고 저절로 길러지는 것이 아니므로 학교수학에서 다양한 수업 전략을 통해 수감각을 기를 수 있는 기회를 제공할 필요가 있다.
- 첫째, 학생들의 알고리즘을 활용한 계산 성향이 본 연구에서 전반적으로 높게 나타났다. 전체 6문제 중에 수감각 활용을 사용하여 문제해결을 시도한 비율이 초등학생은 0.
- 초등학교 2개교를 연구 대상으로 하였기 때문에 두 초등학교 사이에 수감각 점수의 평균에 차이가 있는지 알아보기 위하여 이후 수감각 검사 결과에 대한 t-검정을 실시한 결과, 두 학교는 수감각 점수의 평균에 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다. 초등학교와 마찬가지로 두 개의 중학교에서도 수감각 점수의 평균에 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다.
후속연구
- 또한 앞으로 학생들의 수감각을 지속적으로 향상시키기 위한 구체적인 교수학습 방법에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다. 그리고 본 연구에서는 수감각 구성 요소별로 한 문제 또는 두 문제의 문제해결 방법만을 분석하였으나 연구를 확장하여 더 수의 검사 문항을 분석할 필요가 있으며, 초등학교 이후의 학생들을 위한 수감각 문제도 더 개발할 필요가 있다.
- 기준 척도의 사용에 있어서 중학생들의 수감각이 발전된 모습을 보여주었다. 기준 척도는 어림을 할 때나 답의 적절성을 판단할 때 사용되는 중요한 수감각이므로 앞으로도 지속적으로 지도할 필요가 있다.
- 마지막으로 본 연구는 초등학교 6학년과 중학교 2학년을 대상으로 이루어진 것이기 때문에 연구를 확장하여 다른 학년의 학생들을 대상으로 한 연구가 필요하며, 중학교 이후에 학생들을 대상으로 수감각 활용에 대한 비교 연구 또는 국제적 측면에서의 비교 연구가 필요하다. 또한 앞으로 학생들의 수감각을 지속적으로 향상시키기 위한 구체적인 교수학습 방법에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다. 그리고 본 연구에서는 수감각 구성 요소별로 한 문제 또는 두 문제의 문제해결 방법만을 분석하였으나 연구를 확장하여 더 수의 검사 문항을 분석할 필요가 있으며, 초등학교 이후의 학생들을 위한 수감각 문제도 더 개발할 필요가 있다.
- 마지막으로 본 연구는 초등학교 6학년과 중학교 2학년을 대상으로 이루어진 것이기 때문에 연구를 확장하여 다른 학년의 학생들을 대상으로 한 연구가 필요하며, 중학교 이후에 학생들을 대상으로 수감각 활용에 대한 비교 연구 또는 국제적 측면에서의 비교 연구가 필요하다. 또한 앞으로 학생들의 수감각을 지속적으로 향상시키기 위한 구체적인 교수학습 방법에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다.
- 또한 다른 수감각 구성 요소에 비해 기타의 비율이 높게 나타난 것으로 보아 학생들이 이 구성 요소에 대해 적절한 문제해결 방법을 찾지 못하는 것으로 보이며 따라서 다양한 문제 유형이나 상황을 통해 수와 연산에 대한 지식을 적용하고 반성하는 경험을 제공할 필요가 있다. 마지막으로 이 구성 요소에서는 초등학생과 중학생 사이에 수감각 활용을 사용한 비율에 거의 변화가 없는 것으로 나타나 학년이 올라감에 따라 이 구성 요소의 수감각도 함께 발전할 수 있도록 유의하여 지도할 필요가 있다.
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