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문제 정의
- 다음 절에서는 임의효과 공변량행렬, Σi의 이공분산성과 다양한 구조에 대한 모형들에 대해 알아보도록 한다.
- 앞의 수정/이동평균 콜레스키 분해는 임의효과 공분산행렬의 모형화를 위하여 제안되었다. 하지만 이 방법은 상관계수행렬에 그대로 사용할 수는 없다.
- 2장에서는 일반화 선형혼합모형에 대해 소개하고, 3장에서는 임의효과 공분산행렬의 모형화를 제시한다. 여기서 자기회귀와 이동평균을 각각을 포함한 수정한 콜레스키 분해와 부분자기상관계수 행렬를 이용한 상관행렬에 대한 다양한 모형화에 대해 소개한다. 마지막으로 4장에서는 결론을 제시한다.
- 이 논문에서 우리는 경시적 범주형 자료분석을 위한 일반화 선형혼합모형을 고찰하였고, 이 모형에서 임의효과 공분산행렬의 모수추정에 대한 방법들을 고찰하였다. 주로 사용되는 방법으로 수정/이동평균 콜레스키분해 방법과 부분 자기상관행렬을 이용한 방법을 제시하였다.
- 이 모형의 경우 임의효과를 이용하여 측정치들의 상관관계를 설명하고, 그것의 공분산행렬은 개체 내 변동을 또한 설명한다. 이 논문에서 우리는 일반화 선형혼합모형에 초점을 맞추고자 한다.
- 따라서 위의 공분산/상관계수행렬의 추정시의 제약조건을 만족하면서 일반적인 구조인 AR 또는 MA구조를 가지는 이질적(heterogeneous) 공분산/상관계수행렬의 추정방법들이 제안되었다 (Pourahmadi, 1999, 2000; Daniels와 Pourahmadi, 2002; Daniels와 Zhao, 2003; Pan와 Mackenzie, 2003, 2006; Lee 등, 2012; Zhang와 Leng, 2012; Lee와 Yoo, 2014). 이 논문에서 우리는 일반화 선형혼합모형의 임의효과 공분산/상관행렬의 추정을 위한 모형화를 살펴본다.
가설 설정
- 2절에서 제시된 임의효과의 분포를 다변량 정규분포로 가정하며, 그 공분산행렬을 다음 같이 분해한다.
- , N)의 응답변수(response variables)라고 하고, xi,t는 Yi,t에 상응하는 p × 1 공변량 벡터(covariate vector)이다. Yi,t는 임의효과 bi,t가 주어졌을 때, 조건부 독립(conditional independence)을 가정하고, 응답변수의 조건부 분포는 지수산포족(exponential dispersion family) 형태를 따른다고 가정한다.
- 그리고 hi,t = (1, SEXi)이라고 가정하자. 여기서 SEXi는 i번째 개체의 성별을 나타내고 남자일 때 1이고 여자일 때 0으로 가정한다. 그러면 #는 성별에 따라 다른 값을 가지게 된다.
- 여기서 임의효과는 시간에 따른 변동과 개체들 간의 변동을 동시에 설명하게 되는데 그 분포는 다변량 정규분포를 가정한다.
- 이러한 제약조건을 만족하는 공분산/상관계수행렬의 추정은 위에서 제시된 제약조건들 때문에 쉽지 않은 문제이다 (Lee 등, 2012). 일반화 선형 혼합모형에서는 일반적으로 이러한 제약조건을 피하기 위해서 공분산/상관계수행렬을 단순한 AR(1)과 같은 구조를 가정하였고, 그리고 동질적 공분산(homogeneous covariance)을 가정하였다. 하지만 이러한 가정은 너무 강하고 이로 인해 편의(bias)가 발생할 수 있다 (Heagerty와 Kurland, 2001).
- 일반화 선형혼합모형에서 임의효과의 분포는 주로 다변량 정규분포(multivariate normal distribution)를 가정한다. 이 분포의 공분산행렬(covariance matrix)은 반복 측정된 결과치들의 상관관계를 설명하므로 시간에 따른 변동과 개체들 간의 변동을 동시에 설명하게 된다.
- 임의효과의 분포는 앞의 수정 콜레스키 분해에서와 같이 bi ∼ N(0, Σi)를 가정한다.
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