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문제 정의
- 논의한 화살촉행렬을 이용한 희소행렬계산에 대한 생각은 Therneau와 Grambsch (2000)의 교재에서 언급이 되었듯이 이미 연구자들에 의하여 실제로 종종 쓰이는 계산기법이고 본 연구에서는 여러 가상실험을 통하여 해당 근사를 통하여 얻을 수 있는 계산시간의 절약과 이에 대한 비용으로 지불하여야 하는 근사오차에 대하여 이해하여 보고자 한다.
- 마지막으로 본 논문의 수정 원고를 준비함에 있어 근사오차와 관련하여 두 분 심사위원들의 의미 있는 의견이 있었고 또한 본 논문에서는 보고되지 않은 근사오차와 관련한 가상실험의 일부 결과를 독자들과 공유하며 논문을 마치고자 한다. 본 연구에서 제안한 희소행렬을 이용한 근사의 근사오차는 2절의 후반부에서 살펴보았듯이 헷시안 행렬의 오차인 M 자체보다는 헷시안의 역행렬에서의 발생하는 오차를 결정하게 되는 QMQ 행렬을 통하여 살펴볼 수 있고 여기서 행렬 Q는 랜덤효과의 분산에 정비례하는 항으로 랜덤효과의 분산이 커지면 근사오차 또한 커짐을 예측하여 볼 수 있다.
- 본 실험에서는 Fleming과 Harrington (2005)에서 보고된 만성육아종병 환자 자료를 10배로 복제한 자료에 대하여 논문에서 제안된 희소행렬근사 방법을 적용하여 보고 이를 통하여 계산시간의 변화와 함께 실제 모수 추정량 값들에의 영향에 대하여도 살펴본다. 만성육아종병 자료는 총 203개의 관측치로 구성되어 있는데 본 원고에서는 차원이 큰 행렬을 얻기 위해 이 자료를 10번 복제하여 총 2,030개의 관측치를 가진 자료를 만들었다. 감염까지 걸린 기간을 종속변수로 하였으며 설명변수는 모두 11개로 각각 처치 종류(treatment, β1), 성별(β2), 나이(β3), 키(β4), 몸무게(β5), 유전적 특질(β6), 스테로이드제 및 예방 목적 항생제(prophylactic antibiotics) 사용 여부(β7, β8), 병원 구분 변수(β9, β10, β11) 등을 포함한다.
- 본 논문에서는 ν의 차원이 큰 경우(또는 동등하게 q가 p에 비하여 상당히 큰 경우) 희소행렬을 이용한 추정방정식 (1.3)의 근사계산에 대하여 살펴본다.
- 본 메모에서는 K의 역행렬에 대한 계산 효율성을 지닌 수리적 식을 제시하고자 한다. 제시한 식은 우리가 무심코 지나친 여러 회귀분석 교재의 분할행렬의 역행렬식에 기반하고 있고 희소-가우스소거법과 같이 O(max(pq, p3))의 계산복잡성(computational complexity)을 지닌다.
- 본 실험에서는 Fleming과 Harrington (2005)에서 보고된 만성육아종병 환자 자료를 10배로 복제한 자료에 대하여 논문에서 제안된 희소행렬근사 방법을 적용하여 보고 이를 통하여 계산시간의 변화와 함께 실제 모수 추정량 값들에의 영향에 대하여도 살펴본다. 만성육아종병 자료는 총 203개의 관측치로 구성되어 있는데 본 원고에서는 차원이 큰 행렬을 얻기 위해 이 자료를 10번 복제하여 총 2,030개의 관측치를 가진 자료를 만들었다.
- 혼합모형에서 최대우도추정량의 계산은 Pinheiro와 Bates (2000)의 책을 통하여 알 수 있듯이 통계학에서 오랜 기간 연구되어 왔으나 현재까지도 어려움을 겪고 있는 문제 중 하나이다. 본 연구에서는 최대 우도추정량을 근사적으로 계산하는 절차를 제시하고 이의 계산효율성과 근사계산의 정확성에 대하여 살펴보았다. 본 연구에서 제안한 희소행렬을 이용한 근사절차는 (본 논문의 제한된 실험 하에서) 높은 계산효율성과 정확도를 보여주어 실제 많은 랜덤효과를 지니고 있는 모형들의 추정에 있어 유용하게 사용될 수 있으리라 사료된다.
가설 설정
- 고정효과 β와 랜덤효과 ν에 대응하는 설명변수 벡터를 각각 x와 z라 하고 이에 대응하는 반응변수 값을 Y 라 하면 혼합모형은 ν가 주어진 상태에서 Y 의 확률분포 f(Y |ν; β, θ)를 가정한다.
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