비정상성 빈도해석을 위해 개발된 비정상성 확률분포 모형들은 대부분 매개변수에 시간항을 포함하는 형태로 정의된다. 이 중에서도 우리나라에 널리 사용되고 있는 Gumbel 모형에 대해 살펴보면, 비정상성 Gumbel 모형의 위치 및 규모매개변수는 시간에 대해 선형(linear) 및 지수(exponential) 함수의 관계를 보이는 형태로 가정한다. 규모매개변수의 지수함수의 형태는 음(-)의 값이 추정되는 것을 방지하기 위해 제안되어 널리 사용되고 있으나 이로 인해 확률수문량이 과다산정되는 문제가 발생하기도 한다. 본 연구에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 비정상성 Gumbel 모형의 규모매개변수의 다양한 형태를 비교하고자 한다. 이를 위해 비정상성 Gumbel 모형의 규모매개변수를 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하여 비교하였다. 각 모형의 매개변수의 추정은 최우도법을 적용하였고 규모매개변수의 형태별 정확도 비교를 위해 모의실험을 수행하였으며, 실제 자료에 대한 적용으로 자료기간 30년 이상을 보유하면서 경향성을 가지는 강우량 자료들을 대상으로 비정상성 빈도해석을 수행하였다. 그 결과, 지수함수 형태를 가정한 규모매개변수를 가지는 비정상성 Gumbel 모형이 가장 작은 오차를 가지는 것으로 분석되었다.
비정상성 빈도해석을 위해 개발된 비정상성 확률분포 모형들은 대부분 매개변수에 시간항을 포함하는 형태로 정의된다. 이 중에서도 우리나라에 널리 사용되고 있는 Gumbel 모형에 대해 살펴보면, 비정상성 Gumbel 모형의 위치 및 규모매개변수는 시간에 대해 선형(linear) 및 지수(exponential) 함수의 관계를 보이는 형태로 가정한다. 규모매개변수의 지수함수의 형태는 음(-)의 값이 추정되는 것을 방지하기 위해 제안되어 널리 사용되고 있으나 이로 인해 확률수문량이 과다산정되는 문제가 발생하기도 한다. 본 연구에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 비정상성 Gumbel 모형의 규모매개변수의 다양한 형태를 비교하고자 한다. 이를 위해 비정상성 Gumbel 모형의 규모매개변수를 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하여 비교하였다. 각 모형의 매개변수의 추정은 최우도법을 적용하였고 규모매개변수의 형태별 정확도 비교를 위해 모의실험을 수행하였으며, 실제 자료에 대한 적용으로 자료기간 30년 이상을 보유하면서 경향성을 가지는 강우량 자료들을 대상으로 비정상성 빈도해석을 수행하였다. 그 결과, 지수함수 형태를 가정한 규모매개변수를 가지는 비정상성 Gumbel 모형이 가장 작은 오차를 가지는 것으로 분석되었다.
Most nonstationary frequency models are defined as the probability models containing the time-dependent parameters. For frequency analysis of annual maximum rainfall data, the Gumbel distribution is generally recommended in Korea. For the nonstationary Gumbel models, the time-dependent location and ...
Most nonstationary frequency models are defined as the probability models containing the time-dependent parameters. For frequency analysis of annual maximum rainfall data, the Gumbel distribution is generally recommended in Korea. For the nonstationary Gumbel models, the time-dependent location and scale parameters are defined as linear and exponential relationship, respectively. The exponentially time-varying scale parameter of nonstationary Gumbel model is generally used because the scale parameter should be positive. However, the exponential form of scale parameter occasionally provides overestimated quantiles. In this study, various forms of time-varying scale parameters such as exponential, linear, and logarithmic forms were proposed and compared. The parameters were estimated based on the method of maximum likelihood. To compare the accuracy of each scale parameter, Monte Carlo simulation was performed for various conditions. Additionally, nonstationary frequency analysis was conducted for the sites which have more than 30 years data with a trend in rainfall data. As a result, nonstationary Gumbel model with exponentially time-varying scale parameter generally has the smallest root mean square error comparing with another forms.
Most nonstationary frequency models are defined as the probability models containing the time-dependent parameters. For frequency analysis of annual maximum rainfall data, the Gumbel distribution is generally recommended in Korea. For the nonstationary Gumbel models, the time-dependent location and scale parameters are defined as linear and exponential relationship, respectively. The exponentially time-varying scale parameter of nonstationary Gumbel model is generally used because the scale parameter should be positive. However, the exponential form of scale parameter occasionally provides overestimated quantiles. In this study, various forms of time-varying scale parameters such as exponential, linear, and logarithmic forms were proposed and compared. The parameters were estimated based on the method of maximum likelihood. To compare the accuracy of each scale parameter, Monte Carlo simulation was performed for various conditions. Additionally, nonstationary frequency analysis was conducted for the sites which have more than 30 years data with a trend in rainfall data. As a result, nonstationary Gumbel model with exponentially time-varying scale parameter generally has the smallest root mean square error comparing with another forms.
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문제 정의
인천의 경우 유역면적 25km2 에 대한 지속시간 48시간의 가능최대강수량은 약 1,160mm로 이와 비교했을 때 비정상성 모형에 의해 산정된 확률수문량이 과다산정될 가능성이 크다는 것을 알 수 있다. 따라서 본 연구에서는 비정상성 Gumbel 모형을 대상으로 규모매개변수의 적정한 형태에 대해 연구하고자 한다. 이를 위해 규모매개변수의 형태를 시간을 고려한 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하고 다양한 조건 하의 모의실험을 수행하였으며, 실제 자료에 대한 적용을 위해 자료기간 30년 이상을 보유하면서 경향성을 가지는 연최대 강우량 자료들을 대상으로 비정상성 빈도해석을 수행하였다.
가설 설정
05, 로그함수는 +1, +2, +3, +4, +5, +6으로 가정하였다. 발생시킨 표본크기는 30, 50, 70, 100, 150이며, 발생된 자료에 최우도법을 적용하여 다시 규모매개변수를 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정한 NS-GUM(0,1)EXP, NS-GUM(0,1)LIN, NS-GUM(0,1)LOG 모형에 대한 매개변수를 추정하였다. 또한, 각각의 NS-GUM (0,1)EXP, LIN, LOG 모형을 기준으로 본 연구에서 제안한 NS-GUM(0,1)EXP, LIN, LOG 모형 간의 평균제곱근오차 (root mean square error, RMSE)를 비교하였다.
본 연구에서는 비정상성 Gumbel 모형을 대상으로 규모매개변수의 적정한 형태에 대해 연구하고자 규모매개 변수를 각각 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하였으며, 각각의 규모매개변수 형태와 누가분포함수를 정리하면 Table 2와 같다.
제안 방법
본 연구에서는 비정상성 Gumbel 모형을 대상으로 규모매개변수의 형태를 시간에 대해 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하고, 본 연구에서 제안한 각각의 NS-GUM(0,1) EXP, LIN, LOG 모형을 기준으로 평균제곱근오차를 산정하여 정확도를 비교하였으며, 실제 자료에 대한 적용을 위해 국내 62개 지점을 대상으로 빈도해석을 수행한 결과 다음과 같은 결론을 도출하였다.
본 연구에서는 비정상성 Gumbel 모형을 대상으로 규모매개변수의 형태별 정확도를 비교하였다. 이를 위해 규모매개변수를 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하여 Monte Carlo 모의실험을 통해 각 모형에 대한 자료를 발생시켰다.
따라서 본 연구에서는 비정상성 Gumbel 모형을 대상으로 규모매개변수의 적정한 형태에 대해 연구하고자 한다. 이를 위해 규모매개변수의 형태를 시간을 고려한 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정하고 다양한 조건 하의 모의실험을 수행하였으며, 실제 자료에 대한 적용을 위해 자료기간 30년 이상을 보유하면서 경향성을 가지는 연최대 강우량 자료들을 대상으로 비정상성 빈도해석을 수행하였다.
데이터처리
Gumbel 분포의 연최대강우량 평균(mean of annual maximum rainfall, MAMR)과 매개변수에 대한 변화를 관찰하기 위해 초기 20년을 시작으로 1년씩 강우자료를 누적시키는 방법을 이용하였으며, Table 3은 남원 지점의 자료기간에 따른 연최대강우량 평균과 최우도법으로 추정된 Gumbel 분포의 매개변수를 보여주고 있다. 경향성 검정 방법으로는 Mann- Kendall test 를 이용하였고 유의수준 5%에 대하여 수행하였다. 경향성 분석 결과 62개 지점 중 21개 지점에서 경향성이 존재하는 것을 확인하였으며 그 결과를 Table 4에 나타내었다.
발생시킨 표본크기는 30, 50, 70, 100, 150이며, 발생된 자료에 최우도법을 적용하여 다시 규모매개변수를 지수함수, 선형, 로그 형태로 가정한 NS-GUM(0,1)EXP, NS-GUM(0,1)LIN, NS-GUM(0,1)LOG 모형에 대한 매개변수를 추정하였다. 또한, 각각의 NS-GUM (0,1)EXP, LIN, LOG 모형을 기준으로 본 연구에서 제안한 NS-GUM(0,1)EXP, LIN, LOG 모형 간의 평균제곱근오차 (root mean square error, RMSE)를 비교하였다.
앞서 수행한 모의실험을 통하여 비정상성 Gumbel 모형을 대상으로 한 규모매개변수의 형태별 정확도를 비교하였으며, 실제 자료에 대한 적용을 위해 국내 62개 지점을 대상으로 비정상성 빈도해석을 수행하였다.
우리나라 기상청 산하 관측 지점 중 관측기간이 30년 이상인 지속시간 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48시간 연최대 강우자료에 대하여 규모매개변수에 경향성이 나타나 는 것으로 판단된 지점 중 4개 이상의 지속시간에서 경향성을 보이는 6개 지점에 대해 NS-GUM(0,1) 모형을 이용하여 비정상성 빈도해석을 수행하였다.
이론/모형
(5)를 ε, α0, α1에 대하여 각각 미분하고, 그 값이 0에 수렴하는 ε, α0, α1을 구하는 방법으로 그 절차가 매우 복잡하다. 따라서 보다 효율적인 매개변수 추정을 위하여 Newton-Raphson 기법을 적용하였다.
본 연구에서는 ‘한국 확률강우량도 작성’(Ministry of Contruction and Transportation, 2000)에서 우리나라 강우 빈도해석에 적용하도록 추천되고 있는 Gumbel 분포형을 사용하였다. Gumbel 분포형의 확률밀도함수와 누가분포함수는 Eqs.
Gumbel 분포형을 대상으로 비정상성을 고려하기 위해서는 시간항 t를 각각 위치매개변수와 규모매개변수에 적용할 수 있으며, 시간항 t를 위치매개변수에 적용한 모형은 NS-GUM(1,0), 규모매개변수에 적용한 모형은 NS-GUM(0,1), 위치와 규모매개변수 모두에 적용한 모형은 NS-GUM(1,1)으로 나타낼 수 있다. 본 연구에서는 규모 매개변수의 적정한 형태에 대해 알 수 있는 NS-GUM (0,1) 모형만을 이용하여 연구를 수행하였다. 시간항 t를 고려한 NS-GUM(0,1)의 확률밀도함수와 누가분포함수는 각각 Eqs.
본 연구에서는 비정상성 Gumbel 모형의 매개변수 추정법으로 최우도법을 사용하였다. 최우도법은 추출된 표본자료가 나올 수 있는 확률이 최대가 되도록 매개변수를 추정하는 방법으로 일반적으로 계산의 편리성을 고려하여 Eq.
본 연구에서는 우리나라 기상청 산하 관측 지점 중 관측기간이 30년 이상이 되는 62개 지점을 대상으로 비정상성을 고려한 NS-GUM(0,1) 모형을 이용하여 빈도해석을 수행하였다. 먼저 62개 지점 중 자료의 경향성 존재 여부를 판별하기 위하여 지속시간 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 48시간의 연최대 강우자료에 대해서 규모매개변수의 경향성 분석을 실시하였다.
성능/효과
1) NS-GUM(0,1)EXP 모형을 기준으로 진행한 모의실험에서 NS-GUM(0,1)EXP, LOG, LIN 순으로 평균제곱 근오차가 작게 산정되었다. 그러나 규모매개변수가 지수함수적 관계를 가지는 형태는 표본크기에 따라 발생 오차가 커지는 오류를 포함하고 있는 것으로 나타났다.
2) NS-GUM(0,1)LIN 모형을 기준으로 산정한 평균제곱 근오차에서 NS-GUM(0,1)EXP 모형이 모든 표본크기에 걸쳐 가장 작은 평균제곱근오차가 산정되었으며, 이어 NS-GUM(0,1)LOG, LIN 순으로 정확도가 높게 나타났다. 또한 일정 표본크기 이상에서는 NS-GUM (0,1)LOG 모형의 추정이 이루어지지 않았는데, 실제 자료 적용에서도 유사한 결과를 확인하였다.
3) NS-GUM(0,1)LOG 모형을 기준으로 진행한 모의실험에서 NS-GUM(0,1)EXP, LIN, LOG의 순으로 평균제 곱근오차가 작게 산정되었으며, 실제 자료를 적용한 결과 많은 경우 매개변수 추정이 이루어지지 않았다.
4) 본 연구에서 제시한 각 모형을 기준으로 규모매개변수 형태의 정확도를 비교한 결과, 규모매개변수가 지수함 수적 관계를 가지는 NS-GUM(0,1)EXP 모형이 가장 좋은 결과를 보였다. 그러나 지수함수적 관계를 가지는 규모매개변수를 사용하였을 때 표본크기에 따라 오차가 커지거나 이로인해 확률수문량이 과다산정되는 경우가 발생할 수 있으므로, 규모매개변수의 형태에 관한 추가적인 연구가 이루어져야 할 것으로 판단 된다.
위의 결과로 미루어보아 본 연구에서 제시한 NS-GUM (0,1)EXP, LIN, LOG 모형 중 지수함수적 관계를 가지는 NS-GUM(0,1)EXP 모형이 가장 오차가 작은 것으로 나타났다. 그러나 지수함수 형태를 가지는 규모매개변수는 기울기가 급격하게 증가하는 형태로 시간이나 표본크기에 따라 오차가 커지는 오류를 포함하기 때문에 확률수문량이 과다산정되는 경우가 발생할 수도 있다.
후속연구
4) 본 연구에서 제시한 각 모형을 기준으로 규모매개변수 형태의 정확도를 비교한 결과, 규모매개변수가 지수함 수적 관계를 가지는 NS-GUM(0,1)EXP 모형이 가장 좋은 결과를 보였다. 그러나 지수함수적 관계를 가지는 규모매개변수를 사용하였을 때 표본크기에 따라 오차가 커지거나 이로인해 확률수문량이 과다산정되는 경우가 발생할 수 있으므로, 규모매개변수의 형태에 관한 추가적인 연구가 이루어져야 할 것으로 판단 된다.
그러나 지수함수 형태를 가지는 규모매개변수는 기울기가 급격하게 증가하는 형태로 시간이나 표본크기에 따라 오차가 커지는 오류를 포함하기 때문에 확률수문량이 과다산정되는 경우가 발생할 수도 있다. 이러한 오류를 해결하기 위하여 규모매개변수의 형태에 관한 추가적인 연구가 이루어져야 할 것으로 판단된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
과거에는 기후변화가 어떻게 알려져 있는가?
, 2007). 기후변화는 과거에는 발생하지 않았던 기간에 강수가 발생하거나 단기간에 집중되어 강우강도가 증가하는 등의 기상이변 현상이 원인인 것으로 알려져 있다. 그러나 기존의 빈도해석은 시간의 변화에 따라 자료의 통계적 특성이 변하지 않는다는 정상성(stationarity)을 기본 가정으로 수행되기 때문에 극한 사상에 경향성이 있는 경우 적용하기에는 한계가 있다.
빈도해석은 어떤 한계가 있는가?
기후변화는 과거에는 발생하지 않았던 기간에 강수가 발생하거나 단기간에 집중되어 강우강도가 증가하는 등의 기상이변 현상이 원인인 것으로 알려져 있다. 그러나 기존의 빈도해석은 시간의 변화에 따라 자료의 통계적 특성이 변하지 않는다는 정상성(stationarity)을 기본 가정으로 수행되기 때문에 극한 사상에 경향성이 있는 경우 적용하기에는 한계가 있다. 시간에 따라 통계적 특성이 변하는 비정상성 극한 수문사상에 대한 새로운 빈도해석 방법이 요구됨에 따라 많은 연구가 진행되고 있다.
지수함수 형태를 가지는 규모매개변수는 항상 양(+)이어야 하는 매개변수의 조건을 만족시키기 위해 널리 사용되지만 어떠한 경우가 발생되는가?
지수함수 형태를 가지는 규모매개변수는 항상 양(+)이어야 하는 매개변수의 조건을 만족시키기 위해 널리 사용되고 있다(Coles, 2001). 그러나 시간에 따라 기울기가 급격하게 증가하여 확률수문량이 과다산정되는 경우가 발생하기도 한다. 그 예로 Fig.
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