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문제 정의
- 만약 시계열 모형의 참 모수값을 설정할 수 있다면, 잔차는 백색잡음과 유사한 성질을 갖게 되어 일반적인 Shewhart 관리도의 성능과 같을 것이다. 그러나 앞서 언급한대로 이러한 가정은 실제 문제에 적용하기 어려운 것으로 대부분 관리상태하의 일단계 표본으로부터 시계열 모형을 추정하게 되는데, 본 논문에서는 Shewhart 관리도 연구에서와 마찬가지로 시계열 모형에서 모수의 참값이 아닌 추정값을 사용함으로써, 이단계 공정모니터링의 관리 성능에 어떠한 영향이 미치는지 살펴보고자 한다. 실제 문제에서 공정 모니터링을 위해 관리도가 적용될 때 관리상태하에서의 런길이가 짧은 경우에는 가짜 알람률(false alarm rate)이 큰 것으로 공정의 흐름에 방해가 될 수 있고, 이상상태하에서의 런길이가 길어진다면 이상변화에 대한 탐지가 그만큼 늦어진다는 것으로 관리 성능은 매우 중요한 문제이다.
- 그러나 이러한 관계는 실제 모수값이 알려져 있거나 관리통계량인 잔차가 서로 독립일때만 만족하는것이다. 따라서 시계열 모형과 일단계 표본의 크기에 따라 잔차에 근거한 관리도가 어떠한 성능을 나타내는지 모의실험을 통해 자세히 살펴보기로 한다.
- 이처럼 모의실험 절차는 관리상태하의 일단계 표본으로부터 관리한계선을 추정하고 이단계로 미래 표본에 대한 모니터링을 하고 있는데, 이것은 실제 문제에 관리도를 적용하는 절차와 같다. 따라서, 시계열 모형에 대한 참값이 아닌 추정값을 사용함에 따라 관리도의 성능에 어떠한 영향력이 있는지 살펴봄으로써, 관리도를 적용할 때 주의해야 할 문제가 무엇인지 알아보기로 한다. 본 논문에서는 AR(1)과 MA(1) 모형에 대하여 일단계 표본의 크기 n을 변화시키며, 관리상태하에서의 런길이의 평균(ARL)과 표준편차(SDRL)를 알아보았다.
- 본 논문에서는 시계열 데이터의 참 모형은 알려져 있다고 가정함으로써 모형의 불확실성은 고려하지 않고, 모수의 추정에 대한 불확실성만을 고려하여 관리도의 성능에 어떠한 영향이 있는지 살펴보았다. 앞으로 이와 관련하여 모형의 잘못된 설정에 대해서 관리도의 성능이 얼마나 강건한지 알아보는 것도 매우 중요한 문제일 것이다.
- 그런데, 두 번째 방법을 적용하기 위해서는 데이터에 적절한 시계열 모형을 선택할 뿐 아니라 실제 문제에서 공정 데이터의 참 상관구조는 알려져 있지 않으므로, 관리도 작성을 위해 구한 잔차에는 모형에 대한 불확실성과 모수 추정에 따른 불확실성이 함께 존재한다. 본 논문에서는 자기상관을 설명하는 시계열 모형이 적절히 선택되었다는 가정 하에 잔차기반 Shewhart 관리도 작성에 있어 모수 추정에 따른 불확실성에 대해 알아보고자 한다.
- 본 논문은 실제 많은 응용분야에서 사용될 수 있는 시계열 데이터에 대한 잔차기반 관리도의 성능에 대해 알아보았다. Jensen 등 (2006)은 Shewhart X 관리도에서는 모수가 알려진 경우보다 추정되어 사용될 경우 관리상태 또는 이상상태하에서의 ARL과 SDRL이 모두 높게 나타난다고 보고하였다.
- 앞 절에서 AR(1) 모형과 MA(1) 모형에 대한 잔차를 구하고 각각의 기댓값과 분산을 구하였다. 이 절에서는 이러한 시계열 데이터의 평균 변화를 모니터링하기 위해 잔차에 기반한 X 관리도를 적용하는 절차에 관하여 설명하기로 한다. 먼저 관리한계선을 설정해야 하는데, 식 (2.
가설 설정
- 시계열의 평균 모수 µ = 0가 관리상태를 나타내고, µ = 1, 2, 3인 경우가 이상상태를 나타낸다. 또한 두 모형 모두 모수가 각각 0.6과 0.9로 변화한 이상상태를 가정하였다. AR(1) 모형의 경우 관리상태하에서의 평균 런길이를 살펴보면 이전 Shewhart X 관리도에서의 결과와 마찬가지로 표본의 크기가 작은 경우에는 원래 3σ 관리한계선에서 의도한 370보다는 훨씬 큰 평균 런길이를 보인다는 것을 알 수 있다.
- 로 나타낼 수 있으며 Φp(B) = ϕ1B + ϕ2B2 + · · · + ϕpBp로 차수가 p인 자기회귀 연산자, BkXt =Xt−k는 후진 연산자(Backshift operator), Θq(B) = θ1B + θ2B2 + · · · + θqBq는 차수가 q인 이동평균 연산자, 그리고 백색잡음 ϵt는 서로 독립이고 동일한 분포 N(0, σ2)을 따른다고 가정한다.
- 또한 µ = 0인 경우는 관리상태하에서의 표본을 나타내고, µ = 1, 2, 3인 경우는 이 단계 표본에서 시계열 Xt의 모평균이 변화한 것으로 이상상태가 발생한 것을 나타낸다. 일단계 표본의 크기는 n = 30, 100, 300, 500로 가정하였다.
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