[논문]역동적 기하 환경에서 곡선 탐구를 통한 수학영재들의 불변량 활용에 관한 사례 연구

최남광; 류희찬

역동적 기하 환경에서 곡선 탐구를 통한 수학영재들의 불변량 활용에 관한 사례 연구
A Case Study on Utilizing Invariants for Mathematically Gifted Students by Exploring Algebraic Curves in Dynamic Geometry Environments 원문보기

數學敎育學硏究 = Journal of educational research in mathematics, v.25 no.4, 2015년, pp.473 - 498

초록
AI-Helper

본 연구의 목적은 고대 그리스 시대부터 수학자들이 복잡한 기구를 손수 제작하는 수고를 감내하면서 탐구하였던 대수곡선을 기구가 아닌 공학을 사용해 재현하고 생성하는 활동을 수행할 때, 수학영재들은 곡선의 자취를 어떻게 작도하며 불변량(Invariants)은 곡선의 작도와 생성에 어떤 영향을 주는지를 구체적으로 살펴보는데 있다. 특히, 역동적 기하 환경에서 불변량(Invariants)의 역할과 의미에 관한 실증적인 자료를 확보해보는 연구와 수학영재들이 새로운 곡선을 창출하는 과정에서 나타나는 불변량의 활용 유형을 세분해보는 연구를 시도해 봄으로써, 불변량에 대한 교육적 활용 방안을 제시하고 그 활용 범위의 확대 가능성을 확인하고자 하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The purpose of this study is to examine thinking process of the mathematically gifted students and how invariants affect the construction and discovery of curve when carry out activities that produce and reproduce the algebraic curves, mathematician explored from the ancient Greek era enduring the trouble of making handcrafted complex apparatus, not using apparatus but dynamic geometry software. Specially by trying research that collect empirical data on the role and meaning of invariants in a dynamic geometry environment and research that subdivide the process of utilizing invariants that appears during the mathematically gifted students creating a new curve, this study presents the educational application method of invariants and check the possibility of enlarging the scope of its appliance.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

구체적으로, 제시된 곡선을 작도할 때 불변량을 인식하고 사용하는 수준의 차이를 확인함으로써, ‘1-수준 불변량’과 ‘2-수준 불변량’으로 구분한 Leung(2012; Leung et al, 2013)의 이론을 검증해보고, 학생(전략)과 DGS(활동), DGS(활동)와 과제(목표) 간의 상호 작용의 결과에 따라 이중 불일치(Double discrepancy), 단일 불일치(Single discrepancy), 조화(Harmony), 반성적 일반화 (Reflective Generalization)의 네 가지 범주로 구분한 윤옥교(2013)의 다중적 상호작용 이론의 타당성을 실험을 통해 확인해 보고자 한다.
후)작도 에">작도에 어떤 영향을 미치며, 학생들은 ‘1-수준 불변량’과 ‘2-수준 불변량’을 모두 사용할 수 있는지, 또는 어디까지 활용할 수 있는지와 같은 불변량에 관한 구체적인 자료나 실험을 통한 실증적인 연구가 요구된다. 그러므로 본 연구에서는 DGE에서 불변량의 역할과 의미에 관한 실증적인 자료를 확보해보는 연구를 통해 불변량의 교육적 활용 가능성을 제시해보고자 한다.
그러므로 본 연구에서는 다양한 곡선의 자취를 DGE에서 탐구해보는 활동을 수행할 때, 수학 영재들은 어떤 과정을 거쳐 곡선을 작도하고, 불변량을 어떻게 활용하는지를 살펴보고자 한다.
후)상호작용의">상호 작용의 결과에 따라 이중 불일치(Double discrepancy), 단일 불일치(Single discrepancy), 조화(Harmony), 반성적 일반화 (Reflective Generalization)의 네 가지 범주로 구분한 윤옥교(2013)의 다중적 상호작용 이론의 타당성을 실험을 통해 확인해 보고자 한다. 또한, 고대 수학자들이 기구를 이용해 새로운 곡선을 생성²⁾했던 것처럼 DGE에서 불변량을 이용해 새로운 곡선을 생성해 보는 창의적인 활동을 수행해 봄으로써 곡선 탐구와 발견을 위한 공학의 구체적인 활용 방안을 제시하는 한편, 불변량에 대한 교육적 활용 범위의 확대 가능성을 확인하고자 한다. 본 연구는 고대 그리스 시대부터 수학자들이 기구를 이용해 대수곡선을 작도하고 생성했던 것처럼 수학영재들로 하여금 기구를 대신해 공학을 이용해 곡선의 자취를 작도하고 탐구하게 할 때 나타나는 사고과정과 학생 스스로 새로운 곡선을 생성해보는 창의적인 활동 과정을 분석하기 위해 질적 사례연구 방법을 선택하였다. 연구 대상은 본 연구에서는 고대 수학자들이 기구를 제작 하여 탐구했던 곡선을 기구 대신 공학을 이용하여 탐구하는 활동을 통해 곡선의 자취를 예측하고 해석하는 능력을 향상시키는 한편, 학생들도 고대 수학자들처럼 새로운 곡선을 생성해보는 창의적인 활동을 수행해 봄으로써 곡선 탐구를 위해 공학의 구체적인 활용 방안의 가능성을 확인하였다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
이들 중 M4학생의 작도과정을 분석하여 ‘불변량 활용유형-3’ 반응을 설명하고자 한다.

제안 방법

22분의 시간이 경과되었을 쯤, 한 학생(M5)이 “선생님 저 할 수 있어요” 라고 대답했으며, 다른 학생들이 작도 방법을 찾는데 방해가 되지 않도록 M5 학생에게만 자신의 작도과정을 조용히 반복해 보도록 유도하였다.
8명의 학생들에게 GeoGebra를 이용해서 자신이 예상한 곡선의 자취를 작도하게 유도하였다. 이때, 8명의 학생들 중 7명의 학생들이 다음과 같은 방법으로 곡선을 GeoGebra에서 드래그하면서 작도하는 과정은 학생들의 사고과정을 추적하기 위해 필수적이므로, 동영상 캡쳐 프로그램(oCam)을 통해 작도 과정을 저장하였다. 이 과정에서 연구자는 곡선의 작도 과정에서 표면적으로 드러나 있는 ‘1-수준 불변량’과 드러나 있지 않고 숨겨져 있는 ‘2-수준 불변량’ 중 어떤 불변량을 인식하고 활용하느냐에 따라 ‘단일불일치’ 반응 또는 ‘조화’ 반응으로 나눠지게 되었다.
후)실험 참여자에게는">실험참여자에게는 새로운 수학적 내용을 (재)창출해보는 창의적 경험을 수행해야 하므로 원하는 연구결과가 도출되기가 쉽지 않을 것으로 예상된다. 그러므로 다양하고 풍부한 반응과 그에 따른 원하는 결과를 최대한 얻기 위해 4시간(240분)을 기본 활동시간으로 부여하였으며, 학생이 시간이 더 필요하다면 특별히 제한을 두지 않고 개인별로 수학적 발견의 경험을 최대한 발휘될 수 있도록 기회를 제공하였다. 후)것이다 (윤옥교,">것이다(윤옥교, 2013). 또한 작도활동이 끝나면 스스로 작도한 곡선의 자취에 대한 점, 선분들 사이의 종속관계를 인식하고 구성해 보는 활동을 통해 규칙성을 파악하고 매개변수와 같은 대수적인 수식으로 나타내는 경험을 하게 된다.
본 연구에서 분석관점은 Leung(2012; Leung et al, 2013)이 제시한 불변량에 관한 이론과 윤옥교(2013)의 다중적 상호작용의 발단 단계를 기반으로 연구문제 가에서는 불변량이 곡선의 작도에 미치는 영향을 와 같은 관점으로, 연구 문제 나에서는 예비실험을 통해 나타난 수학영재들이 새로운 곡선을 생성하는 과정에서 불변량을 활용하는 유형을 토대로 본 연구자가 설계한 분석틀 를 사용하여 분석하였다.
실험에 참여한 학생들은 정규 수업 시간을 통해 이차곡선(원, 포물선, 타원, 쌍곡선), Cycloid, Epicycloid, Hypocycloid 곡선을 6개월 전에 학습하였다. 그리고 극좌표에서 극방정식으로 Cardioid, limaçon, Lemniscate 곡선을 학습하였으나, 본 실험에서 다뤄지는 기구를 이용해 곡선을 유도하는 방법으로 다루어 본 경험은 없다.
예비실험에서는 두 명의 학생이 한 조가 되어 컴퓨터를 사용하면서 서로 대화를 나누면서 과제를 해결하도록 유도해 보았으나, 습득능력이 빠르고 수학적 추론 능력이 우수한 수학영재들이다 보니 연구자가 원하는 다양한 대화를 나누면서 과제를 해결하기 보다는 자신만의 아이디어를 선호하고 다양한 전략을 구사하려는 경향이 더 크다는 판단 하에 본 실험에서는 개인별로 각자의 컴퓨터를 사용해 과제를 해결하도록 실험설계를 변경하였다. DGS는 GeoGebra 4.
후)사고 과정을">사고과정을 추적하기 위해 필수적이므로, 동영상 캡쳐 프로그램(oCam)을 통해 작도 과정을 저장하였다. 이 과정에서 연구자는 실험참여자의 작도 해결 과정을 세밀하게 관찰하고, 관찰노트를 작성하며, 해결과정에서 연구자가 이해하기 힘든 부분에 대한 보충설명이나 정당화 과정이 요구될 때에는 면담을 통해 학생들의 반응을 수집하였다.
후)3% 이내에">3%이내에 속하며, 과학영재학교에서 실시한 영재선발 기준에 적합한 절차에 따라 영재로 선발되어 영재교육을 받고 있다. 이들 중 수학적 재능이 탁월하고 평소 도전적이며 새로운 수학문제해결을 즐기는 학생들을 중심으로, 실험에 자발적으로 참여하기를 희망한 8명(예비실험에서는 16명)의 학생을 선정하여 개인별 반응을 세부적으로 관찰하였다.
이때, 학생(전략)과 DGS(활동), DGS(활동)와 과제(목표) 간의 상호 작용의 결과에 따라 다중적 상호작용의 발달 단계를 이중 불일치(Double discrepancy), 단일 불일치(Single discrepancy), 조화(Harmony), 반성적 일반화(Reflective Generalization)의 네 가지 범주로 구분하였으며, 발달 단계는 과제의 특성이나 실험 집단에 따라 일부 단계가 생략될 수는 있으나, 그 순서가 바뀌지는 않는다고 하였다. 후)창출하는 데">창출하는데 도움이 될 수 있는 발문이나 힌트는 제공하지 않으면서 연구자의 개입을 최소화하였다. 이와 같은 방법으로 연구자는 학생과 의사소통과정을 촬영한 비디오 자료, 학생의 사고활동을 추적할 수 있는 개별 활동지 및 관찰자 및 면담내용을 통해 자료를 수집하였다.
첫째, 본 실험에서 수학영재들이 제시된 곡선을 작도할 때 불변량을 인식하고 사용하는 수준의 차이를 확인함으로써, ‘1-수준 불변량’과 ‘2-수준 불변량’으로 구분한 Leung(2012; Leung et al, 2013)의 이론을 실제로 검증할 수 있었다.

대상 데이터

후)해결하기보다는">해결하기 보다는 자신만의 아이디어를 선호하고 다양한 전략을 구사하려는 경향이 더 크다는 판단 하에 본 실험에서는 개인별로 각자의 컴퓨터를 사용해 과제를 해결하도록 실험설계를 변경하였다. DGS는 GeoGebra 4.4.45를 사용하였다.
본 실험에서 ‘불변량 활용유형-2’반응을 보인 학생은 M3, M6 학생이었다.
본 연구에서 ‘불변량 활용유형-4’의 반응을 보인 학생은 M2 학생이었다.
실험에서 ‘불변량 활용유형-3’에 해당하는 반응을 보여준 학생은 M1, M4, M5, M7학생이었다.
후)사례연구방법을">사례연구 방법을 선택하였다. 연구 대상은 연구목적에 맞는 풍부한 반응을 보여줄 것으로 기대되는 학생들로서 영재교육진흥법 시행령에 따라 설립 및 지정․운영되는 과학영재학교에 재학 중인 2학년 학생들이다. 영재고 입학 당시 또래 연령의 상위 연구문제 ‘가’ 실험에 투입되는 과제는 Strophoid (또는 Cissoid) 곡선과 Lemniscate 곡선의 자취를 소재로 제작하였다.

성능/효과

공학 도구를 능숙하게 활용할 수 있어도, 보다 유연한 사고로 기하학적 관계에 대한 통찰의 결과를 작도에 반영하지 못하면 ‘단일불일치’ 반응에 이르게 됨을 실험을 통해 확인함으로써 동적 기하 교육에서 도구를 잘 다루는 능력도 중요하지만, 더욱 강조되어야 할 점은 보다 유연한 사고로 기하학적 관계들을 통찰하고 통찰한 아이디어를 작도에 반영할 수 있는 학생들의 수학적 능력임을 확인할 수 있었다.
넷째, 윤옥교(2013)의 다중적 상호작용을 토대로 DGE에서 불변량을 활용하여 주어진 곡선을 작도하고, 새로운 곡선을 생성하는 학생들의 반응을 분석함으로써, 다중적 상호작용 이론의 타당성을 뒷밭침하는 결과를 얻을 수 있었다. 특히, 자신의 전략대로 공학을 사용해 둘째, 수학영재들이 다양한 전략과 아이디어로 새로운 불변적 관계를 창출해내고, 생성한 불변적 관계를 지속적으로 확장, 발전시키는 수학영재들의 반응을 통해서 DGE에서 곡선을 산출하는 과정에서의 불변량 활용 유형을 과 같이 세분할 수 있었다.
또한, ‘2-수준 불변량’은 도형 사이의 기하학적 관계에 관한 본질적 구조를 통찰하고, 보다 융통성을 발휘하여 추론해 낸 결과임을 확인할 수 있었다.
셋째, ‘1-수준 불변량’을 이용해 작도하느냐 또는 ‘2-수준 불변량’을 이용해 작도하느냐에 따라 작도의 결과가 달리 나타났는데, 이는 불변량을 인식하고 활용하는 수준의 차이를 보여주는 결과이었다.
셋째, DGE에서 곡선을 작도해보는 활동은 먼저 불변량을 사용해 도형들 사이의 성질이나 관계에 대한 분석이 선행되지 않고서는 의도한 작선을 작도할 수 없기 때문에, 반드시 기하학적 분석을 수행하게 되므로 다소 대수적인 관점에서 접근했던 기존의 곡선 학습 활동을 기하학적 사고와 대수적 사고의 균형을 이루는 교수 학습 활동으로의 전환이 가능하게 해주었다.
이와 같이 ‘불변량 활용유형-3’반응을 보인 M4 학생은 자신이 처음에 창출한 곡선을 더욱 발전시켜 더욱 새로운 곡선으로 발전시켰을 뿐만 아니라, 새롭게 창출한 곡선을 분석하여 대수적인 수식으로도 나타낼 수 있으므로, 본 연구에서 정의한 ‘불변량 활용 유형-5’ 반응으로 분류할 수 있었다.
후)자료 수집">자료수집 및 분석의 신뢰성을 확보하기 위하여 참여자의 작도해결과정과 심층면담과정을 비디오로 기록하였으며, 참여자의 새로운 아이디어를 창출하는데 도움이 될 수 있는 발문이나 힌트는 제공하지 않으면서 연구자의 개입을 최소화하였다. 이와 같은 방법으로 연구자는 특히, 자신의 전략대로 공학을 사용해 능숙하게 도구를 조작할 수 있고, 과제에 대한 이해가 부족한 상황이 아닌데도 과제 목표를 달성하지 못하는 ‘단일 불일치’ 반응이 일어나게 되는 원인을 불변량을 인식하고 활용하는 수준으로 설명할 수 있었다.
특히, 자신의 전략대로 공학을 사용해 능숙하게 도구를 조작할 수 있으며, 과제에 대한 이해가 부족한 상황이 아닌데도 불구하고 작도 과제를 해결하지 못하는 ‘단일 불일치’ 반응이 일어나게 되는 원인을 규명할 수 있었다.
한편, 학생 스스로 생성한 곡선에 대한 매개변수 방정식을 점검하고 신중하게 반성해보는 사고과정을 거쳐 추론 과정에 대한 오류를 수정하는 반성적 사고의 질적 변화를 경험하였으며, 학생 스스로 새롭게 산출한 곡선에서 얻어낸 불변적 성질이나 관계를 다른 대상에서 유사한 작도 방법으로 적용해보거나 또는 작도 방법을 일부 수정해서 작도함으로서 새로운 곡선을 지속적으로 유창하게 산출해내는 풍부한 반응을 통해 ‘반성적 일반화’ 반응을 확인 수 있었다.

후속연구

그러므로, 이것은 불변량을 인식하고 사용하는 차이를 보여주는 실험 결과이며, 동적 기하 분야에서 더 많은 학생들이 ‘2-수준 불변량’을 인식하고 사용할 수 있도록 도와주는 교수학적 방안에 관한 연구가 필요함을 시사한다.
둘째, 본 연구에서는 2차원 평면에서 다루는 곡선을 국한하여 연구하였으나, 3차원 공간에서 다루어지는 곡면이나 곡선을 대상으로 공간도형의 성질을 탐구하는 연구를 시도해 볼만하다. 더구나, 3차원 공간에서 다룰 수 있는 다양한 본 연구를 통해 공학 분야에서 불변적 성질은 잠재성이 풍부한 탐구 활동임을 확인할 수 있었던 만큼, 학생들이 불변적 성질을 적극적으로 활용할 수 있는 교육적 방안에 관한 연구가 필요하다. 수학에서 변하지 않는 불변적 성질은 매우 중요한 내용적 요소이다.
첫째, 고대 수학자들이 기구를 이용해 다양한 곡선을 탐구했던 것처럼 학생들도 현대적 기구인 공학을 이용해 곡선을 탐구함으로써, 다양한 변화 현상에서 동적인 종속관계와 불변량을 사용하여 곡선의 자취를 예측하고 해석하는 능력을 향상시키기 위한 대수곡선의 풍부한 교육적 활용 가능성을 시사해주었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	이중 불일치란?	이중 불일치(Double discrepancy)란 학습자가 DGE에서 주어진 과제를 해결하기 위해 전략을 세우고 DGS를 조작하지만 마음속에 형성된 전략과 DGS를 조작하는 활동 간의 불일치를 경험하고 따라서 과제 해결이라는 목표와 DGS활동도 일치하지 않게 되어 ①과 ②에서 모두 불일치를 경험하게 되는 상호작용 단계를 의미하고, 단일 불일치(Single discrepancy)란 학습자가 자신의 의도나 전략대로 DGS를 이용해서 구현할 수 있게 되었지만 여전히 과제의 목표와 DGS 활동 간의 불일치를 경험하게 되는 상황을 의미한다.
	DGS에서 조화가 의미하는 것은?	조화(Harmony)는 DGS와의 상호작용을 통해 DGS의 특성을 이해하고 그 특성을 바탕으로 새로운 전략을 세우거나 DGS 활동을 통해 기존의 전략을 의도대로 구현하여 과제의 목표를 달성 하는 것을 의미한다. 즉, ①과 ②에서 모두 일치되는 경험을 하여 ③의 과정이 이루어지는 단계를 의미하고, 반성적 일반화(Reflective Generalization)는 도구의 특성을 활용해서 주어진 과제의 의미를 전체적으로 돌아보거나(③′ ) 새로운 과제를 통한 일반화 가능성을 탐색하는 단계를 의미한다.
	이중 불일치 반응이 발생하는 이유는?	‘이중 불일치’ 반응이 발생하는 이유는 분명하다. 즉, (공학)도구를 능숙하게 다룰 수 없어 자신이 의도한 바를 구현할 수 없기 때문에 과제 해결이라는 목표도 달성하지 못하는 것이다. 그러나 ‘단일 불일치’ 반응은 자신이 의도하는 대로 능숙하게 도구를 조작할 수 있는데도 불구하고 과제의 목표를 달성하지 못하는 상황을 의미하는데, 이러한 상황이 발생하는 원인이나 이유에 대한 보다 구체적인 설명이 필요하다.

참고문헌 (26)

김진호, 김용대, 서보억(2011). 3대 작도 문제 해결을 위한 곡선과 기구. 서울: 교우사.
김향숙, 박진석, 도석수, 윤삼열, 김영미, 이세룡, 정성곤, 배옥향, 이혜경, 박혜정(2007). 창의성 신장을 위한 문제일반화. 서울: 경문사.
남선주(2006). 역동적 기하 환경에서 분석법을 활용한 증명학습에 관한 연구. 한국교원대학교 대학원 석사학위 논문.
류희찬(2004). 수학교육에서 탐구형 소프트웨어의 활용과 의미. 청람수학교육, 14, 1-15.
류희찬, 윤옥교(2013). 역동적 기하 환경에서 비례를 이용한 중학교 함수의 작도. 학교수학 13(1), 19-36.
류희찬, 제수연(2009). 역동적 기하 환경에서 파푸스의 분석법을 이용한 이차곡선의 작도활동에서 나타난 학생들의 수학적 발견과 정당화. 한국교원대학교 교육연구원, 25(4), 168-189.
유윤재(2010). 수학영재교육. 서울: 교우사.
윤옥교(2014). 역동적 기하 환경에서 비례에 기반한 함수와 이차방정식 작도 문제 해결 과정 연구. 한국교원대학교 박사학위논문.
장혜원(1997). 중학교 기하 영역 중 작도 단원에 관한 고찰. 대한수학교육학회 논문집 7(2), 327-336.

상세보기
조정수, 이은숙(2013), 역동기하 환경에서 "끌기(Dragging)"의 역할에 대한 고찰, 학교수학 15(2), 481-501.

원문보기 상세보기
진만영, 김동원, 송민호, 조한혁(2012). 원뿔곡선의 수학사와 수학교육. 한국수학사학회지. 25(4), 83-99.

원문보기 상세보기
Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D., & Robutti, O.(2002). A Cognitive Analysis of Dragging Practices in Cabri Environments. ZDM, 34(3), 66-72.
Baccaglini-Frank, A., Mariotti, M. A., & Antonini, S.(2009). Different perceptions of invariants and generality of proof in dynamic geometry. Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, 89-96.
Baccaglini-Frank, A. & Mariotti, M.A.,(2010). GeneratingConjectures through Dragging in DynamicGeometry: the Maintaining Dragging Model.International Journal of Computers forMathematical Learning 15(3), 225-253.

상세보기
Drijvers, P., Kieran, C., Mariotti, M. A., Ainley, J., Andresen, M., Chan, Y. C., Dana-Picard, T., Gueudet, G., Kidron, I., Leung, A., & Meagher, M.(2010). Integrating technology into mathematics education : Theoretical perspectives. In C. Hoyles & JB. Lagrange (Eds.), Mathematics education and technology-Rethinking the terrain. pp. 89-132. New York: Springer.
Falcaede, R., Laborde, C., & Mariotti, M. A.(2007). Approaching functions; Cabri tools as instruments of semiotic mediation. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 317-333.

상세보기
Jones, K.(2000). Providing a foundation for deductive reasoning: Students' interpreations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations. Educational Studies in Mathematics, 44(1), 55-85.

상세보기
Laborde, C.(2003). Technology used as a tool for mediating knowledge in the teaching of mathematics: The case of Cabri-geometry. In W.-C. Yang, S. C. Chu, T. de Alwis, & M. G. Lee (Eds.), Proceedings of the 8th Asian Technology Conference in Mathematics(1), 23-38.
Laborde, C., & Laborde, J. M. (1995). What about a learning environment where Euclidean concepts are manipulated with a mouse? In A. di Sessa, C. Hoyles, R. Noss (Eds.), Computers and exploratory learning. 241-262.
Leung, A.(2008). Dragging in a dynamic geometry environment through the lens of variation. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 13, 135-157.

상세보기
Leung, A.(2012). Discernment and reasoning in dynamic geometry environments. Paper presented at the 12th International Congress on Mathematical Education, Seoul, Korea.
Leung, A., Baccaglini-Frank, A., Mariotti, M. A.(2013). Discernment of invariants in dynamic geometry environments. Educational Studies in Mathematics, 84(3). 439-460.

상세보기
Marrades, R., & Gutierrez, A.(2000). Proofs produced by secondary school students learning geometry in a dynamic computer environment. Educational studies in mathematics, 44(1-2), 87-125.

상세보기
Olivero, F. (2002). The proving process within a dynamic geometry environment. Doctoral thesis. Bristol: University of Bristol.
Tall, D.(1995). Cognitive developments, representations and proof. Paper presented at the conference Justifying and Proving in School Mathematics, Institute of Education, London, pp. 27-38.
Weisberg, R. W. (2006). Creativity: Understanding Innovation in Problem Solving, Science, Invention, and the Arts. NJ: John Wiley & Sons. (김미선 역). 서울: 시그마프레스.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증