[논문]잔차 수정을 이용한 불연속 분산함수의 비모수적 추정

허집

doi:10.7465/jkdi.2016.27.1.111

잔차 수정을 이용한 불연속 분산함수의 비모수적 추정
Nonparametric estimation of the discontinuous variance function using adjusted residuals 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.27 no.1, 2016년, pp.111 - 120

초록
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대부분의 불연속 회귀함수의 커널추정량은 알고 있거나 추정된 불연속점을 기준으로 자료를 분리하여 각각을 독립적으로 회귀함수를 적합하고 있다. 회귀모형에서 분산함수가 불연속점을 가지고 있을 때에도 잔차제곱들을 이용하여 위와 같은 불연속 회귀함수의 커널추정법을 활용하고 있다. Kang 등 (2000)은 $M{\ddot{u}}ller$ (1992)의 불연속점과 점프크기 커널추정량을 이용하여 반응변수의 표본을 연속인 회귀함수로부터 표본인 것처럼 수정하여 불연속 회귀함수를 추정하였다. 본 연구에서는 불연속 분산함수를 추정하기 위하여 Kang 등 (2000)의 방법을 이용한다. Kang과 Huh (2006)의 분산함수의 불연속점과 점프크기 추정량으로 잔차제곱들을 수정하고, 수정된 잔차제곱들을 이용하여 불연속 분산함수 커널추정량을 제안할 것이다. 제안된 추정량의 적분제곱오차의 수렴속도를 보여주고 모의실험을 통하여 기존의 추정량과 제안된 추정량을 비교하고자 한다.

Abstract ▼ AI-Helper

In usual, the discontinuous variance function was estimated nonparametrically using a kernel type estimator with data sets split by an estimated location of the change point. Kang et al. (2000) proposed the Gasser-$M{\ddot{u}}ller$ type kernel estimator of the discontinuous regression function using the adjusted observations of response variable by the estimated jump size of the change point in $M{\ddot{u}}ller$ (1992). The adjusted observations might be a random sample coming from a continuous regression function. In this paper, we estimate the variance function using the Nadaraya-Watson kernel type estimator using the adjusted squared residuals by the estimated location of the change point in the discontinuous variance function like Kang et al. (2000) did. The rate of convergence of integrated squared error of the proposed variance estimator is derived and numerical work demonstrates the improved performance of the method over the exist one with simulated examples.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

Kang 등 (2000)은 회귀함수가 불연속인 경우에 Gasser-Müller 추정량으로 추정된 불연속점의 점프 크기 추정량으로 반응변수의 표본을 연속인 회귀함수로부터 얻어진 표본인 것처럼 수정하여, 회귀함수의 커널추정량을 제시하고 다시 역으로 추정된 점프크기로 재수정한 불연속 회귀함수의 추정법을 제시하였다. 본 연구에서는 Kang 등 (2000)의 방법을 이용하여 불연속인 분산함수를 연속인 것처럼 수정하여 불연속 분산함수의 커널추정량을 제시하고자 한다.
전자의 경우는 회귀함수의 불연속점의 추정으로 분산함수의 불연속점을 추정할 수 있다. 본 연구에서는 후자의 경우를 고려하고자 한다.
불연속점 추정량 주변에서 일어나는 경계점 문제를 극복하기 위하여, 본 연구에서는 회귀함수가 불연속인 경우에 Gasser-M¨uller 추정량으로 추정된 불연속점에서 점프크기 추정량으로 반응변수의 표본을 연속인 회귀함수로부터 얻어진 표본인 것처럼 수정하여 회귀함수의 커널추정량을 제시하고 다시 역으로 추정된 점프크기로 재수정한 불연속 회귀함수의 추정법을 제시한 Kang 등 (2000)의 방법을 이용하여 불연속 분산함수의 커널추정량을 제시하고자 한다.

제안 방법

4절에서는 모의실험을 통하여 Kang과 Huh (2006)가 제안한 분산함수의 추정량과 본 연구에서 제안한 분산함수의 추정량을 비교해보고자 한다. 설명변수 X의 분포는 토대 [0, 1]을 가지는 균등분포를 선택하였다.
또한 Kang과 Huh는 τ과 잔차제곱들인 #들을 이용하여 Nadaraya-Watson 커널추정량으로 다음과같이 불연속 분산함수를 추정하였다
잔차의 계산에 쓰이는 m (x)의 띠폭 hm은 0.05, 0.10, 0.15를 선택하였고 불연속점 τ에서 점프크기 추정 ∆( τ )의 띠폭 h1도 0.05, 0.10, 0.15를 선택하여 다양한 띠폭들에 대한 분산함수의 추정량의 추정 정도를 조사하였다.
추정량들 (2.3)을 이용하여 점 x의 점프크기 추정량을 ∆(x) = v+(x)−v−(x)라 정의하여 |∆(x)|가 최대가 되는 점 x를 불연속점 추정량 τ으로 제안하였고 추정된 불연속점 τ에서 점프크기 ∆(τ)를 식 (2.2)의 점프크기 ∆의 추정량으로 제안하였다.

데이터처리

15를 선택하여 다양한 띠폭들에 대한 분산함수의 추정량의 추정 정도를 조사하였다. 분산함수의 추정량들의 계산에 쓰이는 띠폭 h는 다양하게 변화를 주면서 Kang과 Huh의 분산함수 추정량과 제안한 추정량의 적분제곱오차들을 계산하였다.

성능/효과

따라서, 분산함수 모형 v₁과 v₂의 모의실험 결과에 의하면 제안한 점프크기 추정량에 의해 수정된 잔차들을 이용한 분산함수 추정량이 Kang과 Huh가 제안한 분산함수 추정량보다 우수함을 알 수 있다. 이는 3절에서 언급하였듯이 제안한 분산함수 추정량은 불연속점 근처에서 점프크기 추정량에 의해 잔차들의 수정으로 경계점 문제를 보완하여 추정하였기 때문이다.
두 추정량의 각각의 추가적인 수렴속도는 그 외의 수렴속도 부분들에 비해 빠르기 때문에 적분제곱오차의 수렴속도에 영향을 주지 않는다. 비록 본 연구의 분산함수 추정량의 적분제곱오차의 수렴속도가 Kang과 Huh의 분산함수의 추정량의 적분제곱오차의 수렴속도와 동일하지만, 본 연구의 분산함수의 추정량은 불연속점 추정량 근처에서 점프크기 추정량에 의한 잔차들의 수정으로 경계점 문제를 보완하였기에 실제 구현에서는 Kang과 Huh의 추정량보다 추정의 정도가 우수할 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	분산함수란 무엇인가?	분산함수는 회귀함수의 신뢰구간 혹은 가설검정 등의 추론에 이용되어 회귀함수의 추정 정도 (precision)에 영향을 주는 함수이다. 또한 커널함수를 이용한 비모수적 함수 추정의 띠폭 (bandwidth)의 선택에서도 추정되어져야 하는 함수이다.
	Huh (2005)는 분산함수의 불연속점의 추정을 무엇으로 제안하였는가?	분산함수가 불연속점을 가질 때, Kang과 Huh (2006)는 연속인 회귀함수의 커널추정량으로 만들어진 잔차제곱들을 이용한 Nadaraya-Watson 추정량으로 불연속점과 점프크기 및 분산함수의 추정을 연구하였다. Huh (2005)는 회귀함수가 연속인 경우에 분산함수의 불연속점의 추정을 이차적률함수의 불연속점의 추정으로 제안하였다. 한편, Yu와 Jones (2004)는 음이 아닌 분산함수를 로그 변환하여 국소 선형적합 (local linear fit)에 의한 로그분산함수 (log-variance function)의 추정으로 분산함수의 추정을 연구하였다.
	불연속 분산함수를 추정하기 위해 Kang 등(2000)의 방법을 어떻게 이용하는가?	본 연구에서는 불연속 분산함수를 추정하기 위하여 Kang 등 (2000)의 방법을 이용한다. Kang과 Huh (2006)의 분산함수의 불연속점과 점프크기 추정량으로 잔차제곱들을 수정하고, 수정된 잔차제곱들을 이용하여 불연속 분산함수 커널추정량을 제안할 것이다. 제안된 추정량의 적분제곱오차의 수렴속도를 보여주고 모의실험을 통하여 기존의 추정량과 제안된 추정량을 비교하고자 한다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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