패턴 활동은 어린 학생들의 함수적 사고를 신장하는 데 효과적이지만, 구체적으로 패턴을 어떻게 지도해야 하는가에 대한 연구는 부족한 편이다. 이에 본 연구에서는 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 방안을 도출하여, 이를 초등학교 수학 수업으로 구현한 사례를 분석하였다. 이를 위하여 초등학교 4학년 3개 학급을 선정하였고, 동일한 교수 학습 과정안을 바탕으로 세 명의 초등학교 교사들이 각 학급에서 수업을 진행하였다. 수업은 크게 공통성을 인식하는 과정, 공통성에 대한 인식을 확장하는 과정, 공통성을 표현하는 과정으로 구성하였으며, 분석 결과 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동은 초등학교 4학년 학생들이 패턴의 일반화된 규칙을 추론하고 표현하는 활동에 영향을 주었다. 이와 같은 결과를 토대로 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 방안에 대하여 시사점을 논의하였다.
패턴 활동은 어린 학생들의 함수적 사고를 신장하는 데 효과적이지만, 구체적으로 패턴을 어떻게 지도해야 하는가에 대한 연구는 부족한 편이다. 이에 본 연구에서는 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 방안을 도출하여, 이를 초등학교 수학 수업으로 구현한 사례를 분석하였다. 이를 위하여 초등학교 4학년 3개 학급을 선정하였고, 동일한 교수 학습 과정안을 바탕으로 세 명의 초등학교 교사들이 각 학급에서 수업을 진행하였다. 수업은 크게 공통성을 인식하는 과정, 공통성에 대한 인식을 확장하는 과정, 공통성을 표현하는 과정으로 구성하였으며, 분석 결과 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동은 초등학교 4학년 학생들이 패턴의 일반화된 규칙을 추론하고 표현하는 활동에 영향을 주었다. 이와 같은 결과를 토대로 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 방안에 대하여 시사점을 논의하였다.
Pattern activities are useful to develop functional thinking of young students, but there has been lack of research on how to teach patterns. This study explored teaching methods of geometric patterns for developing functional thinking of elementary school students, and then analyzed the lessons in ...
Pattern activities are useful to develop functional thinking of young students, but there has been lack of research on how to teach patterns. This study explored teaching methods of geometric patterns for developing functional thinking of elementary school students, and then analyzed the lessons in which such methods were implemented. For this, three classrooms of fourth grades in elementary schools were selected and three teachers taught geometric patterns on the basis of the same lesson plan. The lessons emphasized noticing the commonality of a given pattern, expanding the noti ce for the commonality, and representing the commonality. The results of this study showed that experience of analyzing the structure of a geometric pattern had a significant impact on how the fourth graders reasoned about the generalized rules of the given pattern and represented them in various methods. This paper closes with several implications to teach geometric patterns in a way to foster functional thinking.
Pattern activities are useful to develop functional thinking of young students, but there has been lack of research on how to teach patterns. This study explored teaching methods of geometric patterns for developing functional thinking of elementary school students, and then analyzed the lessons in which such methods were implemented. For this, three classrooms of fourth grades in elementary schools were selected and three teachers taught geometric patterns on the basis of the same lesson plan. The lessons emphasized noticing the commonality of a given pattern, expanding the noti ce for the commonality, and representing the commonality. The results of this study showed that experience of analyzing the structure of a geometric pattern had a significant impact on how the fourth graders reasoned about the generalized rules of the given pattern and represented them in various methods. This paper closes with several implications to teach geometric patterns in a way to foster functional thinking.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
그 중 본 논문에서는 지면의 한계를 고려하여 두 번째 수업을 중심으로 기하 패턴을 지도하는 수업 사례를 분석하였다. 두 번째 수업은 첫 번째 수업과 과제는 다르지만 거의 동일한 흐름으로 수업이 진행되어, 첫 번째 수업 보다는 두 번째 수업에서 교사와 학생들의 자연스럽고 능숙한 패턴 탐구 과정을 살펴볼 수 있는 장점이 있었다.
한편 방정숙과 선우진(2016)은 위의 세 가지 활동을 중심으로 현행 초등학교 수학 교과서에 제시된 패턴 관련 내용을 분석하였는데, 그 결과, 현행 교과서에서는 수치적 증가 패턴을 주로 다루고 있으며, 패턴의 구조를 분석하는 활동은 별반 고려되지 않는다는 점 등을 확인하였다. 본 연구는 이러한 결과에 주목하여 현행 교육과정에서 다소 간과되고 있는 기하 패턴 지도 방안의 대안과 가능성을 모색해 보고자하였다.
본 연구에서는 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴 지도 방안을 제시하기 위하여 초등학교 4학년 세 학급의 수업 사례를 분석하였다. 특히 논문에서는 세 학급 사이에서 발생한 차이점보다는 공통적인 수업의 흐름과 그에 따른 학생들의 반응에 초점을 두어 기술하였는데, 이를 통하여 본 연구의 결과가 특정 학급에서만 발생하는 사례가 아니라 일반적으로 발생할 수 있는 사례라는 점을 보이고자 하였다.
본 절에서는 구체적인 패턴 지도 방안을 제시하고 있는 연구들을 중심으로 살펴보겠다. 먼저 기하 패턴의 지도 방안을 탐색한 연구를 살펴보면 다음과 같다.
이를 위하여 선행 연구를 토대로 패턴 지도 방향을 도출한 뒤 그것을 바탕으로 초등학교 수학 수업을 계획하였고, 이를 세명의 초등학교 교사들이 수학 수업에서 어떻게 구현하는지 분석하였다. 이러한 연구 결과를 토대로 초등학생의 함수적 사고를 신장할 수 있는 기하 패턴 지도 방안에 대한 실질적인 시사점을 도출하고, 더불어 이러한 지도 방안을 수학 수업으로 구현할 수 있는 가능성을 탐색하고자 하였다.
이에 본 논문에서는 초등학생의 함수적 사고의 신장에 초점을 두어 구체적인 패턴 지도 방안 중 먼저 기하 패턴을 지도하는 방안에 대하여 연구하였다. 이를 위하여 선행 연구를 토대로 패턴 지도 방향을 도출한 뒤 그것을 바탕으로 초등학교 수학 수업을 계획하였고, 이를 세명의 초등학교 교사들이 수학 수업에서 어떻게 구현하는지 분석하였다.
연구 당시 학생들은 4학년 1학기 수학 중 자연수의 혼합 계산에 대한 학습을 마친 상태였고, 2학년 이후로는 패턴 활동을 집중적으로 학습한 경험이 없었다. 이에 본 연구를 통하여 학생들이 4학년 2학기에 수치적 패턴을 중심으로 두 변수 사이의 대응 관계를 집중적으로 학습하기에 앞서, 기하 패턴을 중심으로 패턴 일반화를 어떻게 탐구할 수 있는지 확인할 수 있으며, 사칙연산에 대한 학습을 마쳤다는 점에서 패턴의 일반화된 규칙을 일상 언어 뿐 아니라 다양한 수식으로도 표현할 수 있는 가능성을 고려하였다.
한편 C교사는 시간의 제약으로 위 활동을 진행하지 않고 각 단계별 사각형 블록 수를 확인하였는데, 이처럼 C교사가 패턴에서 변하는 부분과 변하지 않는 부분에 대하여 별도로 안내하지 않았음에도 불구하고 C학급의 일부 학생들은 스스로 5단계와 6단계의 사각형 블록 수를 구하는 방법을 패턴에서 변하는 부분과 변하지 않는 부분으로 나누어 설명하기도 하였다. 이와 같은 C교사의 선택은 이후 C학급 학생들의 패턴 일반화 결과에도 영향을 미쳤는데, 이에 대해서는 이후 다시 논의하였다.
본 연구에서는 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴 지도 방안을 제시하기 위하여 초등학교 4학년 세 학급의 수업 사례를 분석하였다. 특히 논문에서는 세 학급 사이에서 발생한 차이점보다는 공통적인 수업의 흐름과 그에 따른 학생들의 반응에 초점을 두어 기술하였는데, 이를 통하여 본 연구의 결과가 특정 학급에서만 발생하는 사례가 아니라 일반적으로 발생할 수 있는 사례라는 점을 보이고자 하였다. 연구 결과를 바탕으로 초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 방안에 대한 시사점을 논의하면 다음과 같다.
제안 방법
본 연구의 결과는 기하 패턴 수업의 단계를 고려하여 공통성을 인식하는 과정, 공통성에 대한 인식을 확장하는 과정, 공통성을 표현하는 과정으로 나누어 분석하였다. 구체적으로 각 과정마다 교사의 주요 수업 전략과 발문을 중심으로 수업의 흐름을 살펴보았고, 그 과정에서 기하 패턴을 탐색하는 학생들의 공통적인 반응에 초점을 두어 분석하였다.
먼저 문헌검토를 토대로 기하 패턴의 지도 방안에 대한 재구성 방향을 도출하고( 참조), 이를 바탕으로 교수ㆍ학습 과정안의 초고를 구성하였다.
첫째, 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동은 학생의 패턴 일반화에 영향을 미치는 것으로 보인다. 본 연구에서 세 교사들은 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동을 지도할 때, 주어진 패턴이 어떤 모양이며, 어떻게 만들어졌는지 발문하였으며, 특히 A교사와 B교사는 단계가 변할 때 패턴에서 변하는 부분과 변하지 않는 부분이 무엇인지를 분석하게 한 후 그 결과를 전체 논의를 통하여 공유하였다. 연구 결과, 패턴의 구조를 충분히 분석했던 A학급과 B학급의 학생들 중 절반 이상이 말이나 식으로 두 수 사이의 일반화된 규칙을 표현할 수 있었는데, 이는 유미경과 류성림(2013)에서 초등학교 6학년 학생들이 y=mx+b 유형의 패턴을 일반화하는 데 약 50% 정도만 성공하였다는 결과와 비교하여 주목할 만하다.
본 연구에서는 선행 연구를 통하여 패턴 활동을 지도하기 위한 전체적인 방향을 와 같이 도출하였으며, 이를 토대로 현행 교과서 차시의 교수ㆍ학습 과정을 재구성하였다.
즉 공변적 사고로 탐구하는 경우는 함수표 상에서 두 수가 각각 어떻게 변화하는지 수직적으로 고려하는 반면, 대응 관계로 탐구하는 유형은 두 수를 동시에 수평적으로 고려하면서 그 변화를 탐색한다. 본 연구에서는 수업에서 드러나는 학생들의 사고를 이러한 사고 유형을 참고하여 분석하였다.
반면 Blanton 외(2015)에서는 함수적 관계가 잘 드러나는 수치적 패턴을 다루었고 이 과정에서 함수표를 적극 활용하였다. 본 연구에서는 이와 같은 선행 연구를 반영하여, 패턴 과제를 선정할 때에는 대수적으로 유용한 구조를 지니는지 고려하였고, 학생들이 기하 패턴의 형태적 특성을 분석하는 과정에서는 전체 논의나 소그룹 논의를 병행할 수 있도록 수업을 구성하였으며, 이 과정에서 함수표를 의도적으로 안내하지는 않았다.
본 연구의 결과는 기하 패턴 수업의 단계를 고려하여 공통성을 인식하는 과정, 공통성에 대한 인식을 확장하는 과정, 공통성을 표현하는 과정으로 나누어 분석하였다. 구체적으로 각 과정마다 교사의 주요 수업 전략과 발문을 중심으로 수업의 흐름을 살펴보았고, 그 과정에서 기하 패턴을 탐색하는 학생들의 공통적인 반응에 초점을 두어 분석하였다.
세 교사는 준수의 생각을 PPT 화면으로 안내하거나, 활동지에 적혀 있는 준수의 생각을 읽어보게 한 후에, 준수의 생각처럼 ‘단계 번호만 알면, 단계 번호 카드 밑에 놓을 사각형 블록의 수를 한 번에 알 수 있는지’에 대해 질문하였다.
수업 후 활동지를 확인한 결과, A수업과 B수업에 참여한 학생들 중 절반 이상이 3번 방법을 적용하여 9단계에 해당하는 사각형 블록 수를 ‘(4×9)+1’이라는 식을 세워 구하였으며, 9단계와 동일한 방법으로 20단계와 80단계를 해결하였다.
학생들이 4~6단계의 패턴을 그려보고 각 단계의 사각형 블록 수를 확인한 뒤에, A교사와 B교사는 1~6단계의 패턴을 살펴보며 ‘[패턴에서] 변하는 부분과 변하지 않는 부분’을 찾아보게 하였다. 이때 A교사는 변하는 부분과 변하지 않는 부분을 활동지에 다른 색깔이나 모양으로 표시해 보게 하고, 실물화상기를 이용하여 학생들의 분석 결과를 공유하고 이에 대해 전체 논의를 진행하였다.
이에 본 논문에서는 초등학생의 함수적 사고의 신장에 초점을 두어 구체적인 패턴 지도 방안 중 먼저 기하 패턴을 지도하는 방안에 대하여 연구하였다. 이를 위하여 선행 연구를 토대로 패턴 지도 방향을 도출한 뒤 그것을 바탕으로 초등학교 수학 수업을 계획하였고, 이를 세명의 초등학교 교사들이 수학 수업에서 어떻게 구현하는지 분석하였다. 이러한 연구 결과를 토대로 초등학생의 함수적 사고를 신장할 수 있는 기하 패턴 지도 방안에 대한 실질적인 시사점을 도출하고, 더불어 이러한 지도 방안을 수학 수업으로 구현할 수 있는 가능성을 탐색하고자 하였다.
위의 두 연구는 모두 기하 증가 패턴에 대한 학생들의 탐구를 중심으로 패턴 일반화를 연구하였다는 공통점이 있으나, Radford(2010)의 정의에서는 대수적인 패턴 일반화를 만족하는 요건을 제시하였고, Rivera(2013)에서는 학생들의 패턴 일반화에 영향을 주는 요인을 제시하였다는 차이가 있다. 이에 본 연구에서는 Radford(2010)의 주장을 토대로, 패턴 일반화를 지도하는 학습의 단계를 [그림 II-1]과 같이 구성하되, 구체적인 지도 방안을 모색할 때에는 Rivera(2013)를 반영하여 학생들의 패턴 일반화에 영향을 줄수 있는 요인을 고려하였다. 더불어 패턴의 일반화된 규칙을 표현하는 단계에서는 수식이나 기호와 같은 세련된 수단 뿐 아니라 학생들의 발달 특성 및 선행 연구를 고려하여 일상 언어나 몸짓 등도 의미 있는 표현 수단으로 인정하였다.
한편 방정숙과 선우진(2016)은 패턴을 지도하는 방안과 관련된 선행 연구를 분석한 결과, 대수적 사고를 신장하기 위한 패턴 지도 방안은 패턴의 구조를 분석하는 활동, 패턴에서 두 변수 사이의 관계를 탐색하는 활동, 패턴의 일반화된 규칙을 추론하고 표현하는 활동을 강조한다고 주장하였다. 이에 본 연구에서는 이러한 세 가지 주요 활동을 중심으로 수업 활동을 구성하되, 과제의 성격과 수업 상황 등을 고려하여 선행 연구에서 도출한 구체적인 지도 전략 들을 선택적으로 적용하였다. 한편 방정숙과 선우진(2016)은 위의 세 가지 활동을 중심으로 현행 초등학교 수학 교과서에 제시된 패턴 관련 내용을 분석하였는데, 그 결과, 현행 교과서에서는 수치적 증가 패턴을 주로 다루고 있으며, 패턴의 구조를 분석하는 활동은 별반 고려되지 않는다는 점 등을 확인하였다.
이와 같이 4~6단계의 사각형 블록 수에 대하여 탐구한 후 세 교사 모두 지금까지 확인한 패턴의 규칙을 바탕으로 9단계, 20단계, 80단계에 해당하는 사각형 블록 수를 탐구해 보도록 활동을 진행하였다. 이에 학생들은 9단계, 20단계, 80단계에 해당하는 사각형 블록의 수를 개인별 또는 모둠별로 해결하였고, 교사들은 그 과정에서 학생들의 활동 과정과 과제에 대한 이해 수준 등을 점검하였다. 교사들의 점검은 주로 학생들에게 어떻게 풀었는지, 활동지에 적은 수나 식이 무엇을 의미하는지 등에 대하여 설명을 요구하거나, 먼저 해결한 학생들은 다른 방법으로도 해결해 보도록 지도하는 식이었다.
이에 학생들은 각각 ‘×4’의 의미를 ‘[중심을 빼고] 늘어나는 개수’라고 대답하였으며(330줄), ‘+1’의 의미를 ‘중심’ 또는 ‘가운데’라고 대답하였다(333줄).
구체적으로 C교사는 학생들에게 어떤 규칙으로 4, 5, 6단계의 사각형 블록 수를 세었는지 발문하였다. 이에 한 학생이 사각형 블록 수가 4씩커진다고만 대답하자, C교사는 모든 단계에 해당하는 블록 수를 구하기 위하여 4씩 계속 더할 수는 없다고 지적하며, 4, 5, 6단계에 해당하는 사각형 블록의 수를 차례로 질문하였다. 이후 6단계에 해당하는 사각형 블록 수를 어떻게 세었는지 다시 질문하였는데, 이에 대하여 학생들은 주로 “다 세어 봤다”고 대답하거나 소수의 학생들이 “4단계는 이 대각선으로 4개가 있으니까, 4를 네 번 곱하고 1을 더했다”라고 발표하였다.
이와 같이 4~6단계의 사각형 블록 수에 대하여 탐구한 후 세 교사 모두 지금까지 확인한 패턴의 규칙을 바탕으로 9단계, 20단계, 80단계에 해당하는 사각형 블록 수를 탐구해 보도록 활동을 진행하였다. 이에 학생들은 9단계, 20단계, 80단계에 해당하는 사각형 블록의 수를 개인별 또는 모둠별로 해결하였고, 교사들은 그 과정에서 학생들의 활동 과정과 과제에 대한 이해 수준 등을 점검하였다.
이처럼 세 교사는 전체 논의를 통하여 학생들이 패턴의 모양과 구조를 분석한 다양한 결과를 공유하였고, 이후에는 학생들에게 활동지에 4, 5, 6단계의 패턴을 마저 그려보고 각 단계에 해당하는 사각형 블록의 수를 확인해 보도록 지시하였다. 이때 B교사와 C교사는 “규칙을 생각하면서 그려보세요”라고 안내하였고, A교사는 “[4, 5, 6단계의 블록을] 그리면서 단계 번호와 블록 수와의 관계를 생각하면서 그려보세요”라고 대응 관계를 더욱 명시적으로 강조하였다.
먼저 문헌검토를 토대로 기하 패턴의 지도 방안에 대한 재구성 방향을 도출하고(<표 III-2> 참조), 이를 바탕으로 교수ㆍ학습 과정안의 초고를 구성하였다. 이후 일차적으로 설계한 패턴 과제와 활동 문항들이 4학년 학생들의 수준에 적절한지를 판단하고자, 연구 대상과 동일한 학교에 재학 중인 4학년 학생들을 대상으로 예비 검사를 실시하였다. 예비 검사 결과를 토대로 교수ㆍ학습 과정안과 학생 활동지를 수정ㆍ보완하여 이차적으로 교수ㆍ학습 과정안을 완성한 후에는 수업 의도를 수업자에게 명확하게 전달하기 위하여 매 차시의 수업에 대하여 사전 논의를 진행하였다.
전체적인 모양을 살펴본 후에는 1~3단계의 패턴이 구체적으로 어떻게 만들어졌는지 발문하여 패턴의 구조를 파악할 수 있도록 하였다. 이때 세 교사는 특히 ‘어떤 규칙으로’ 만들어졌는지를 강조하였는데, 이에 대부분의 학생들은 사각형 블록이 4개씩 증가한다는 것에 주목하였다.
초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴 수업을 진행하기 위하여 연구자는 2차시의 교수ㆍ학습 과정안을 설계하였고, 이를 세명의 교사들이 각자의 교실에서 수업을 진행하여 총 6차시의 수업 자료를 수집하였다. 이때 각 교실별로 2대의 카메라를 설치하여 매 수업을 촬영하였고, 6편의 수업 영상 및 전사 자료, 학생 활동지, 관찰 기록지, 사전ㆍ사후 평가 자료 등을 모두 수거하여 분석 자료로 활용하였다.
특히 A교사는 “누가 틀렸다는 게 아니고, 어떻게 생각하는 게 더 편리한지를 생각해 보는 거야”라고 안내하며 학생들이 원하는 분석 방법을 선택하여 문제를 해결해 보도록 독려하였다.
위 사례에서 학생 1의 반응은 세 학급에서 공통적으로 드러난 가장 빈번한 반응의 전형적인 사례이다(31줄, 33줄). 학생 1은 패턴의 전항과 후항을 비교하여, 대각선의 끝부분에 사각형 블록이 1개씩 더 생기기 때문에 사각형 블록의 수가 4개씩 증가한다는 것을 파악하였으며, 이때 자신의 생각을 설명하기 위하여 손으로 패턴의 가장자리를 가리켰다. 이와 같이 패턴의 구조를 분석하는 방법은 단계 번호와 사각형 블록 수 사이의 공변을 고려하기 보다는, 사각형 블록 수의 변화만을 고려했다는 점에서 재귀적인 탐구라고 볼 수 있다.
학생들의 활동을 10~15분 정도 점검한 후에 A교사와 C교사는 9단계와 20단계에 해당하는 사각형 블록 수를 어떻게 구했는지에 대한 해결 방법을 전체 논의를 통하여 공유하였다. 먼저 A수업에서는 <표 IV-1>과 같은 네 가지의 해결 방법이 공유되었는데, 1번 방법은 사각형 블록의 수를 계속 4씩 더하여 구한 경우이고, 2, 3번 방법은 단계 번호와 블록 수 사이의 대응 관계를 탐구하여 구한 방법이다.
학생들이 80단계와 같이 먼 단계에 해당하는 사각형 블록의 수를 구하기 위하여 단계 번호에 4를 곱한 후 1을 더한다는 등의 식을 세워서 해결하자, 세 교사는 임의의 단계 번호에 대한 사각형 블록의 수를 일반화된 규칙으로 표현하는 활동을 진행하였다. 이에 해당하는 활동지의 내용은 [그림 IV-2]와 같다.
한편 C교사는 앞서 언급하였듯이, 패턴에서 변하는 부분과 변하지 않는 부분에 대한 논의는 생략한 채, 4~6단계의 사각형 블록 수를 ‘규칙을 찾아서 세어 보는 활동’으로 진행하였다.
대상 데이터
본 연구를 위하여 각기 다른 시ㆍ도에 위치한 초등학교에서 4학년 3개 학급을 선정하였다 ( 참조).
본 연구에서 선택한 재구성 차시는 4학년 1학기 5단원 혼합 계산 중 9차시 이며([그림 III-1] 참조), 이를 기하 증가 패턴 2차시와 수치적 증가 패턴 1차시 총 3차시로 증배하였다.
초등학생의 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴 수업을 진행하기 위하여 연구자는 2차시의 교수ㆍ학습 과정안을 설계하였고, 이를 세명의 교사들이 각자의 교실에서 수업을 진행하여 총 6차시의 수업 자료를 수집하였다. 이때 각 교실별로 2대의 카메라를 설치하여 매 수업을 촬영하였고, 6편의 수업 영상 및 전사 자료, 학생 활동지, 관찰 기록지, 사전ㆍ사후 평가 자료 등을 모두 수거하여 분석 자료로 활용하였다.
성능/효과
결과적으로 학생들은 이러한 용어들을 사용하여 일반화된 규칙을 말 뿐 아니라 식으로도 나타냈으며, 그 때 ‘단계 번호’를 계속 변화하는 임의의 수를 나타내는 변수로도 사용하였다.
기하 패턴을 지도할 때 패턴의 구조를 분석하는 활동이 유용하다는 것은 선행 연구에서도 확인되었지만(Moss & McNab, 2011; Rivera, 2013), 본 연구에서는 학생들이 패턴의 구조를 분석한 결과가 어떻게 학생들의 일반화 표현과 연결되는지를 실제 수업 사례를 통하여 제시했다는 점에서 의미가 있다. 구체적으로 각 단계의 블록 수가 몇 개씩 증가하느냐에 주목한 학생보다는 패턴의 어느 부분이 단계가 변하여도 일정하게 유지되는지, 변하는 부분은 단계 번호와 어떤 관계에 있는지를 관찰한 학생들이 패턴의 일반화된 규칙을 추론하고 표현할 수 있는 가능성이 높았으며, 기하 패턴의 어느 부분을 변하지 않는다고 인식하느냐에 따라 각 단계별 블록 수를 구하는 계산 방법과 일반화된 규칙을 표현하는 데 차이를 보였다.
더불어 연구를 통하여 패턴을 어떻게 분석했느냐에 따라 패턴의 일반화된 규칙을 표현하는데 차이가 있다는 것을 확인하였다. 기하 패턴을 지도할 때 패턴의 구조를 분석하는 활동이 유용하다는 것은 선행 연구에서도 확인되었지만(Moss & McNab, 2011; Rivera, 2013), 본 연구에서는 학생들이 패턴의 구조를 분석한 결과가 어떻게 학생들의 일반화 표현과 연결되는지를 실제 수업 사례를 통하여 제시했다는 점에서 의미가 있다.
마지막으로 방법 3은 일반화된 규칙을 ‘(단계 번호)×4+1’과 ‘(단계 번호-1)×4+5’ 두 가지 수식으로 나타낸 경우로써, 이러한 방법에 대한 논의는 A학급과 B학급에서 모두 있었으나 [그림 IV-3]과 같이 일반화된 식으로 나타낸 경우는 A학급에서만 확인되었다.
세 수업을 분석한 결과, 방법 1보다는 방법 2와 같이 분석하는 학생들이 상대적으로 많았는데, 이는 4학년 학생들이 첫 번째 단계의 모양과 두 번째 단계의 모양을 비교하는 과정에서 사각형 블록의 수가 대각선 방향으로 4개 증가했다는 것을 관찰한 것과 연관된다고 생각된다. 더불어 아직 4학년 학생들은 1단계 패턴을 여러 단계 중에 하나로 분석하기보다 그 자체를 고정된 대상으로 인식할 수도 있다.
셋째, 초등학생의 패턴 일반화에는 일상 용어가 중요한 역할을 한다. 본 연구에서 학생들은 패턴의 모양이나 특정 부분을 지칭하는 일상 언어(예, 대각선, 중심)를 교사의 안내 없이 스스로 사용하였다.
본 연구에서 세 교사들은 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동을 지도할 때, 주어진 패턴이 어떤 모양이며, 어떻게 만들어졌는지 발문하였으며, 특히 A교사와 B교사는 단계가 변할 때 패턴에서 변하는 부분과 변하지 않는 부분이 무엇인지를 분석하게 한 후 그 결과를 전체 논의를 통하여 공유하였다. 연구 결과, 패턴의 구조를 충분히 분석했던 A학급과 B학급의 학생들 중 절반 이상이 말이나 식으로 두 수 사이의 일반화된 규칙을 표현할 수 있었는데, 이는 유미경과 류성림(2013)에서 초등학교 6학년 학생들이 y=mx+b 유형의 패턴을 일반화하는 데 약 50% 정도만 성공하였다는 결과와 비교하여 주목할 만하다.
더불어 아직 4학년 학생들은 1단계 패턴을 여러 단계 중에 하나로 분석하기보다 그 자체를 고정된 대상으로 인식할 수도 있다. 이러한 결과를 통하여 연구에 참여한 4학년 학생들은 기하 패턴을 탐구할 때 1단계일 때의 사각형 블록 수, 2단계일 때의 사각형 블록 수와 같이 두 변수를 동시에 고려하는 대응 관계로 탐구하기 보다, 단계 번호와 사각형 블록 수의 변화를 각각 파악하고 있다는 점에서 패턴을 재귀적 또는 공변적 사고로 탐구하는 경향이 강하다는 것을 확인하였다.
이렇게 반응하는 학생들은 사각형 블록의 수와 ‘단계’를 동시에 언급하였다는 점에서 일부는 패턴을 공변적 사고로 탐구하였다고 볼 수도 있으나, 대부분은 사각형 블록의 수가 ‘4개씩 늘어나는’ 것에 더 주목하고 있다는 점에서 4학년 학생들이 처음 기하 패턴의 구조를 분석할 때에는 대개 재귀적으로 탐구한다는 것을 확인하였다.
이를 통하여 일부 4학년 학생들은 ‘단계 번호’라는 용어를 고정된 미지수가 아니라 어떠한 단계 번호든지 상관없는 임의의 수를 나타내는 변수의 의미로도 사용할 수 있다는 것을 확인하였다.
이상의 연구 결과를 통하여 알 수 있듯이, 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 는 일반적인 초등학교 수학 수업에서 충분히 적용 가능하다. 이에 본 연구에서 도출한 구체적인 지도 방안이 많은 교사들 사이에서 공유되고, 여러 수학 수업에의 적용을 통하여 수정 보완되기를 기대한다.
이에 학생들은 각각 ‘×4’의 의미를 ‘[중심을 빼고] 늘어나는 개수’라고 대답하였으며(330줄), ‘+1’의 의미를 ‘중심’ 또는 ‘가운데’라고 대답하였다(333줄). 즉 앞의 활동에서와 같이 일반화된 규칙을 표현할 때에도 패턴의 모양을 지칭하는 용어들을 사용한다는 것을 알 수 있었다.
즉 학생들은 사각형 블록 수가 단계 번호에 따라 달라진다는 것을 이해하였으며, ‘단계 번호’라는 용어를 자연스럽게 사용한다는 것을 알 수 있다.
그리고 학생 4는 단계 번호만 알면 블록의 수를 구할 수 있는 이유를 ‘단계 수에다 4를 곱하고 1을 더하면’ 되기 때문이라고 명확하게 설명하였다(326줄). 즉 학생들은 임의의 단계 번호에 따른 사각형 블록의 수를 적절하게 표현 했는지 평가할 수 있고, 그에 대하여 논리적으로 정당화할 수 있다는 것을 확인했다. 이후 B 교사는 <에피소드 5>와 같이 학생들이 패턴의 일반화된 규칙을 식으로 표현할 수 있도록 안내하였다(<에피소드 5> 참조).
첫째, 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동은 학생의 패턴 일반화에 영향을 미치는 것으로 보인다. 본 연구에서 세 교사들은 기하 패턴의 구조를 분석하는 활동을 지도할 때, 주어진 패턴이 어떤 모양이며, 어떻게 만들어졌는지 발문하였으며, 특히 A교사와 B교사는 단계가 변할 때 패턴에서 변하는 부분과 변하지 않는 부분이 무엇인지를 분석하게 한 후 그 결과를 전체 논의를 통하여 공유하였다.
현행 교과서에서는 거의 모든 함수 관계를 함수표로 나타내도록 하며, 주로 종속변수에 해당하는 값만을 기록하게 하는 경향이 있다(방정숙, 선우진, 2016). 하지만 본 연구 결과를 통하여, 기하 패턴을 다룰 때에는 함수표 없이 패턴의 모양과 구조를 관찰 및 분석하는 활동만으로도 패턴의 일반화된 규칙을 탐구할 수 있다는 것을 확인하였다. 즉 패턴의 유형에 따라 함수표의 활용 방안을 적절히 차별화할 필요성을 시사한다.
후속연구
이에 학생들이 □와 같은 기호를 변수로 사용할 때에는 일상 언어를 충분히 활용하여, 자신이 사용하는 변수의 의미를 명확하게 이해할 수 있도록 지도해야 할 것이다. 덧붙여 학생들의 변수 사용 능력을 신장하기 위하여, 일상 언어를 □, △ 등의 기호로 전환하여 사용할 수 있도록 지도하는 체계적인 방안에 대한 후속 연구도 요구된다.
이에 본 연구에서 도출한 구체적인 지도 방안이 많은 교사들 사이에서 공유되고, 여러 수학 수업에의 적용을 통하여 수정 보완되기를 기대한다. 또한 본 연구가 초등학생들의 함수적 사고를 신장하기 위한 다양한 지도 방안을 모색하는 데 조금이나마 보탬이 되기를 바란다.
또한 몇 개의 사례만을 보고 두 수의 관계를 □와 △를 사용한 식으로 나타낼 때에는 학생들이 두 수의 관계를 임의의 상황까지 확장하여 이해한 것인지, 아니면 특정한 대상 자체를 □와 △로 표현했을 뿐인지 분명히 알 수 없다. 이에 두 수 사이의 관계를 수식으로 나타내는 것 자체에 초점을 두기 보다는 학생들이 두 수를 대응 관계로 탐구하고, 나아가 두 수 사이의 일반화된 규칙을 충분히 탐색할 수 있도록 본 연구에서 제안한 다양한 지도 전략이 활용될 수 있기를 바란다.
이상의 연구 결과를 통하여 알 수 있듯이, 함수적 사고를 신장하기 위한 기하 패턴의 지도 는 일반적인 초등학교 수학 수업에서 충분히 적용 가능하다. 이에 본 연구에서 도출한 구체적인 지도 방안이 많은 교사들 사이에서 공유되고, 여러 수학 수업에의 적용을 통하여 수정 보완되기를 기대한다. 또한 본 연구가 초등학생들의 함수적 사고를 신장하기 위한 다양한 지도 방안을 모색하는 데 조금이나마 보탬이 되기를 바란다.
반면 □와 같은 기호를 사용하는 학생들은 드물었는데, 초등학교 4학년들에게는 아직 □와 같은 기호보다는 구체적인 대상을 지칭하는 일상 언어의 사용이 더욱 자연스럽다는 것을 보여주는 결과이기도 하다. 이에 학생들이 □와 같은 기호를 변수로 사용할 때에는 일상 언어를 충분히 활용하여, 자신이 사용하는 변수의 의미를 명확하게 이해할 수 있도록 지도해야 할 것이다. 덧붙여 학생들의 변수 사용 능력을 신장하기 위하여, 일상 언어를 □, △ 등의 기호로 전환하여 사용할 수 있도록 지도하는 체계적인 방안에 대한 후속 연구도 요구된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
패턴 일반화에 대한 대표적인 정의는?
패턴 일반화에 대한 대표적인 정의는 Radford (2010)에서 살펴볼 수 있다. Radford(2010)는 모든 패턴 일반화 활동이 대수적인 활동은 아니라고 주장하며, 패턴 일반화가 대수적인 활동이 되기 위해서는 학생들이 몇 개의 특정 항들 사이에서 공통성(commonality)을 인식하고, 그 공통성이 나머지 모든 항에서도 항상 적용된다는 것을 이해한 후, 이를 몸짓, 일상 언어나 기호 등으로 표현하는 활동이 모두 포함되어야 한다고 하였다.
패턴 활동이란?
패턴 활동은 패턴의 구조와 관계를 다루고 그것을 일반화하여 표현하는 활동을 강조하는데, 이는 Blanton, Levi, Crites와 Dougherty(2011)가 제시한 함수적 사고의 정의와도 일맥상통하기 때문이다. 구체적으로 Blanton 외(2011)는 함수적 사고를 공변하는 양 사이의 관계를 일반화하고, 그것을 언어, 기호, 표, 그래프 등으로 표현하며, 함수 행동(function behavior)을 분석하기 위하여 그러한 표현을 바탕으로 추론하는 일련의 사고 과정을 포함한다고 정의하였으며, 이를 대수적 사고를 신장하기 위한 핵심적인 아이디어 중 하나로 보았다.
Rivera의 패턴 일반화 관련 주장은?
한편 Rivera(2013)는 개인의 인지적 요소 뿐아니라 사회문화적 요소와 그 외의 다양한 요소들이 패턴 일반화 과정에 영향을 미친다고 보았고, 그러한 요소들을 고려하여 의도적인 학습과 훈련을 지속함으로써 학생들의 패턴 일반화를 신장할 수 있다고 주장하였다. 그는 초등학생들이 기하 패턴을 일반화한 결과에 대해 ‘대략적 일반화(approximate generalizations)’와 ‘정확한 일반화(exact generalizations)’로 구별하기도 하였는데, 먼저 대략적 일반화는 학생들이 기하 패턴이 가지고 있는 전체적이고 외형적인 모양의 유사성에 의존하여 패턴 일반화를 구성하는 경우이고, 정확한 일반화는 패턴의 외형적인 모양에 의존하기 보다는 그 구조가 가지고 있는 개념적인 일관성을 인식한 일반화라고 보았다.
참고문헌 (18)
교육부(2014a). 교사용 지도서 수학 4-1. 서울:천재교육.
교육부(2014b). 수학 4-1. 서울: 천재교육.
교육부(2014c). 수학 4-2. 서울: 천재교육.
교육부(2015). 수학과 교육과정. 교육부 고시 제2015-74호.
김남균, 김은숙(2009). 초등학교 6학년의 패턴의 일반화를 통한 대수 학습에 관한 연구. 수학교육논문집, 23(2), 399-428.
Beatty, R. (2010). Supporting algebraic thinking: Prioritizing visual representations. Ontario Association for Mathematics Education Gazette, 49(2), 28-34.
Becker, J. R., & Rivera, F. (2006). Establishing and justifying algebraic generalization at the sixth grade level. In J. Novotna, H. Moraova, M. Kratka, & N. Stehlikova (Eds.), Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp. 465-472). Prague,
Czech Republic: Charles University. Blanton, M., Brizuela, B. M., Sawrey, K., & Newman-Owens, A. (2015). A learning trajectory in six-year-olds' thinking about generalizing algebraic relationships in functions. Journal for Research in Mathematics Education, 46(5), 511-558.
Blanton, M., Levi, L., Crites, T., & Dougherty, B. (2011). Developing essential understanding of algebraic thinking for teaching mathematics in grades 3-5. In B. J. Dougherty, & R. M. Zbiek (Eds.), Essential understandings series. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Kieran, C., Pang, J., Schifter, D., & Ng, S. F. (2016). Early algebra: Research into its nature, its learning, its teaching. New York: Springer.
Moss, J., & McNab, S. L. (2011). An approach to geometric and numeric patterning that fosters second grade students' reasoning and generalizing about functions and co-variation. In J. Cai, & E. Knuth (Eds.), Early algebraization (pp. 277-301). New York: Springer.
Radford, L. (2010). Layers of generality and types of generalization in pattern activities. Pentose Nucleic Acid (PNA), 4(2), 37-62.
Rivera, F. (2013). Teaching and learning patterns in school mathematics: Psychological and pedagogical considerations. New York: Springer.
Smith, E. (2003). Stasis and change: Integrating patterns, functions, and algebra throughout the K-12 curriculum. In J. Kilpatrick, W. G. Martin., & D. Shifter (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 136-150). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Warren, E., & Cooper, T. J. (2008). Patterns that support early algebraic thinking in the elementary school. In C. E. Greenes, & R. Rubenstein (Eds.), Algebra and algebraic thinking in school mathematics (70th Year book of the National Council of Teachers of Mathematics, pp. 113-126). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.