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가설 설정
- 따라서, rt의 평균이 0임을 검정하기 위해서 분포가정 없이 붓스트랩을 이용하여 검정을 시행한다 (Efron와 Tibshirani, 1993). 또한, ES는 과대추정보다 과소추정 할 때 더 큰 문제의 소지가 있고 본 연구에서는 분포의 아래 꼬리 부분만 다루며 VaR과 ES를 양수화 하지 않기 때문에 대립가설은 평균은 0보다 작다로 두고 단측검정을 시행한다.
제안 방법
- 우선, VaR와 ES를 추정하기 전에 포트맨토(Portmanteau) 검정법을 통해서 분석에 사용되는 기간 동안의 S&P500 지수 자료를 GARCH(1, 1) 모형에 적합시키기에 무리가 없음을 확인 하였다. 나아가, Table 4.1은 GARCH(1, 1) 모형에서 유도된 CAViaR, CARE 방법과 QMLE를 이용하여 구한 VaR의 추정치보다 같거나 큰 실제 손실이 발생한 비율과 UC와 CC검정 그리고 ES 추정에 대한 검정의 결과를 기록하였다. Table 4.
- 본 장에서는 S&P500 지수와 현대 자동차 주식의 로그 수익률을 가지고 2장에서 언급한 CAViaR, CARE 방법 그리고 Gaussian QMLE를 이용하여 수준 0.01과 0.05에서 조건부 1일 후 VaR와 ES를 추정하고 사후 검정을 실시한다.
- 셋째, 모수적 방법. 이 방법은 주어진 자료에 대한 모형과 오차항의 분포를 가정 한 후 모수를 추정하고 모수의 함수 형태로 표현 되는 VaR와 ES에 추정된 모수를 대입함으로써 VaR와 ES를 추정한다. 이 방법의 단점은 잘못된 모형 또는 오차항에 대한 가정이 추정의 정확도를 상당히 손상시킬 수 있다는 점이다.
- VaR와 ES를 추정하기 위해서 크기가 600인 이동식 윈도우(moving window)를 사용한다. 즉, 2000년 1월 3일 부터 2002년 05월 28일까지의 자료로 600개의 로그 수익률 얻고 이를 이용해서 모형 모수를 추정한 후 2002년 5월 29일 로그 수익률의 VaR와 ES를 추정한다. 다음으로, 2002년 5월 30일 로그 수익률의 VaR와 ES를 추정하기 위해서는 이동식 윈도우를 하루 이동하여 2000년 1월 4일부터 2002년 5월 29일까지의 자료로부터 얻은 600개의 로그 수익률을 이용한다.
- 따라서, 이러한 금융 위기에 대한 사전 대비는 반드시 필요하며, 특히 금융 상품의 가격 상승 또는 하락에 의해서 발생하는 위험, 즉 시장 위험을 전반적으로 관리하는 것은 매우 중요한 문제라고 할 수 있다. 통상적으로 시장 위험을 측정하는 방법은 주로 VaR(Value-at-risk)와 ES(Expected Shortfall)이 이용되고 있으며 본 논문에서도 이에 대한 준모수적 방법론을 다룰 것이다.
대상 데이터
- 두 번째 분석에서는 2004년 8월 17일 부터 2012년 5월 8일까지 2,000개의 현대 자동차 주식의 로그 수익률을 사용한다. 이 때, 이동식 윈도우의 크기는 1,000이고, 2008년 6월 19일부터 2012년 5월 8일까지 1,000개의 로그 수익률에 대하여 0.
- 첫 번째 분석에 사용된 자료는 2000년 1월 3일 부터 2005년 7월 29일까지 1400개의 S&P500 지수의 로그 수익률이다.
데이터처리
- 는 평균이 0이고 독립적이며 같은 분포를 따르는 표본처럼 그 값을 가질 것이다. 따라서, rt의 평균이 0임을 검정하기 위해서 분포가정 없이 붓스트랩을 이용하여 검정을 시행한다 (Efron와 Tibshirani, 1993). 또한, ES는 과대추정보다 과소추정 할 때 더 큰 문제의 소지가 있고 본 연구에서는 분포의 아래 꼬리 부분만 다루며 VaR과 ES를 양수화 하지 않기 때문에 대립가설은 평균은 0보다 작다로 두고 단측검정을 시행한다.
이론/모형
- 예를 들어 어떤 주식 수익률이 GARCH 모형을 따른다고 가정 할 때, GARCH 모형의 조건부 분위수로 부터 유도된 CAViaR(conditional autoregressive value at risk) 모형을 가지고 분위회귀를 통해 직접적으로 원하는 수준의 VaR 값을 얻을 수 있다. 또한, ES를 추정할 때는 CARE(conditional autoregressive expectile) 모형을 이용하여 비대칭 최소 제곱 회귀를 통해서 원하는 수준의 ES 값을 직접적으로 얻을 수 있다 (Kim와 Lee, 2016). 이러한 접근 방법은 오차항에 대한 분포 가정이 필요없다.
- 금융 자료의 대표적인 특성으로서 자기상관성, 이분산성 및 왜도 등이 널리 알려져 있다. 통상적으로 이러한 특성을 가지는 자료를 모델링 하기 위해서 GARCH 유형의 모형들을 사용한다. Engle와 Manganelli (2004)는 조건부 VaR를 추정하기 위하여 여러 GARCH 유형의 모형에서 유도된 조건부 분위 수를 이용하여 CAViaR 모형을 제안하였고, 분위 회귀를 통하여 그 모수를 추정하고 VaR 값을 추정하는 방법을 제안하였다.
성능/효과
- 01 수준에서는 UC와 CC 검정 둘 다 채택된다. ES 추정한 결과는 CARE 방법은 0.01, 0.05 수준 모두 유의수준 0.05하에서 채택이 되지만, QMLE를 이용한 경우에는 0.05 수준에서는 유의수준 0.05하에서 기각되므로 0.05 수준에서는 그 추정의 결과를 믿기엔 무리가 있음을 알 수 있다. Figure 4.
- 즉, 전체적인 자료를 GARCH(1, 1) 모형에 적합하기엔 무리가 있지만, 꼬리 부분에 대한 움직임을 설명하기엔 GARCH(1, 1) 모형이 상당히 적합할 수 있기 때문이다. 따라서, GARCH(1, 1) 모형에서 유도된 CAViaR와 CARE 방법을 통해서 직접적으로 주어진 수준에 해당하는 VaR와 ES에 대한 추정한 결과가 우수하였다고 고려된다. Figure 4.
- 01 수준에서의 VaR 추정은 QMLE 방법을 사용하기엔 무리가 있음을 알 수 있다. 반면, CAViaR 방법은 유의 수준 0.05하에서 수준 0.01, 0.05에서의 모든 검정이 채택됨을 확인 할수 있다. 또한, CARE 방법의 경우 비록 수준 0.
- 그러나 이러한 조건이 성립되지 않는다면 로버스트한 성질을 가지고 있는 CAViaR 방법이 더 우수한 결과를 도출할 것이라고 예상할 수 있다. 본 연구에서의 결과는 이와 같은 현상을 잘 설명해주고 있으며, QMLE 방법론을 보완하는 방법으로써 보다 더 다양한 분포를 포함하는 오차항의 분포족을 이용할 것을 암시하고 있다. 추후에 이에 대한 연구를 계속과제로서 추진할 계획이다.
- 05 수준에서 조건부 1일 후 VaR를 추정한다. 사실, 이 자료가 GARCH(1, 1) 모형의 적합한지를 포트만트 검정을 통하여 확인한 결과 부적합하다는 결론을 얻을수 있었다. 그럼에도 불구하고 Table 4.
- 우선, VaR와 ES를 추정하기 전에 포트맨토(Portmanteau) 검정법을 통해서 분석에 사용되는 기간 동안의 S&P500 지수 자료를 GARCH(1, 1) 모형에 적합시키기에 무리가 없음을 확인 하였다.
후속연구
- 만일 자료를 적합시키는 모형이 대부분의 자료는 물론 꼬리부분의 자료도 잘 설명해주고, 이와 동시에 모형의 오차항의 분포가 정규분포와 유사하다면 QMLE 방법론이 좀 더 좋은 결과를 도출할 것이라고 생각된다. 그러나 이러한 조건이 성립되지 않는다면 로버스트한 성질을 가지고 있는 CAViaR 방법이 더 우수한 결과를 도출할 것이라고 예상할 수 있다. 본 연구에서의 결과는 이와 같은 현상을 잘 설명해주고 있으며, QMLE 방법론을 보완하는 방법으로써 보다 더 다양한 분포를 포함하는 오차항의 분포족을 이용할 것을 암시하고 있다.
- 일반적으로 QMLE 방법론과 CAViaR (또는 CARE) 방법론의 우열성을 가리가는 쉽지 않다고 할 수 있다. 만일 자료를 적합시키는 모형이 대부분의 자료는 물론 꼬리부분의 자료도 잘 설명해주고, 이와 동시에 모형의 오차항의 분포가 정규분포와 유사하다면 QMLE 방법론이 좀 더 좋은 결과를 도출할 것이라고 생각된다. 그러나 이러한 조건이 성립되지 않는다면 로버스트한 성질을 가지고 있는 CAViaR 방법이 더 우수한 결과를 도출할 것이라고 예상할 수 있다.
- 본 연구에서의 결과는 이와 같은 현상을 잘 설명해주고 있으며, QMLE 방법론을 보완하는 방법으로써 보다 더 다양한 분포를 포함하는 오차항의 분포족을 이용할 것을 암시하고 있다. 추후에 이에 대한 연구를 계속과제로서 추진할 계획이다.
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